圆形磁场中的几个典型问题分析.docx
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圆形磁场中的几个典型问题分析
圆形磁场中的几个典型问题
许多同学对带电粒子在圆形有界磁场中的运动问题常常无从下手,分别是“最值问题、汇聚发散问题、边界交点问题、周期性问题”体类型，抓住关键要素，问题就能迎刃而解，下面举例说明.
一、最值问题的解题关键一一抓弦长
1.求最长时间的问题
例1真空中半径为R=3X10m的圆形区域内，有一磁感应强度为B=0.2T的匀强磁场，方向如图1所示一带正电的粒子以初速度vo=106m/s从磁场边界上直径ab一端a点处射入磁场，已知该粒子比荷为q/m=108c/kg，不计粒子重力，若要使粒子飞离磁场时偏转角最大，其入射时粒子初速度的方向应如何？
（以V。
与
Oa的夹角二表示）最长运动时间多长？
小结：
本题涉及的是一个动态问题，即粒子虽然在磁场中均做同一半径的匀速圆周运动，但因其初速度方向变化，使粒子运动轨迹的长短和位置均发生变化，并且弦长的变化一定对
应速度偏转角的变化，同时也一定对应粒子做圆周运动轨迹对应圆心角的变化，因而当弦长
为圆形磁场直径时，偏转角最大.
2.求最小面积的问题
例2一带电质点的质量为m，电量为q,以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射人如图3所示第一象限的区域.为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于x轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xoy平面、磁感应强度为B的匀强
磁场.若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求此圆形磁场区域的最小面积，重力忽略不计.
小结：
这是一个需要逆向思维的问题，而且同时考查了空间想象能力，即已知粒子运动
轨迹求所加圆形磁场的位置.解决此类问题时，要抓住粒子运动的特点即该粒子只在所加磁场中做匀速圆周运动，所以粒子运动的1/4圆弧必须包含在磁场区域中且圆运动起点、终
点必须是磁场边界上的点，然后再考虑磁场的最小半径.
上述两类“最值”问题，解题的关键是要找出带电粒子做圆周运动所对应的弦长.
二、汇聚发散问题的解题关键一一抓半径
当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时，存在两条特殊规律；
规律一：
带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场，如杲圆形磁场的半径与圆轨迹
半径相等，则粒子的出射速度方向与圆形磁场上入射点的切线方向平行，如甲图所示。
规律二：
平行射入圆形有界磁场的相同带电粒
子，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则所有粒子都从磁场边界上的同一点射出，并且出射点的切线与入射速度方向平行，如乙图所示。
例3如图5所示，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向
上.在半径为R的圆形区域内加一与xoy平面垂直的匀强磁场.在坐标原点0处放置一带电微粒发射装置，它可以连续不断地发射具有相同质量m、电荷量q（q>0）且初速为v°的带电粒子，不计重力.调节坐标原点0处的带电微粒发射装置，使其在xoy平
面内不断地以相同速率v0沿不同方向将这种带电微粒射入x轴上
方，现要求这些带电微粒最终都能平行于x轴正方向射出，则带电
微粒的速度必须满足什么条件？
小结：
研究粒子在圆形磁场中的运动时，要抓住圆形磁场的半径和圆周运动的半径，建
立二者之间的关系，再根据动力学规律运动规律求解问题.
3.如图甲所示，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上。
在xoy平面内有与y轴平行
的匀强电场，在半径为R的圆形区域内加有与xoy平面垂直的匀强磁场。
在坐标原点0处
放置一带电微粒发射装置，它可以连续不断地发射具有相同质量m、电荷量q（0》°）和
（1）当带电微粒发射装置连续不断地沿y轴正方向发射这种带电微粒时，这些带电微粒将
沿圆形磁场区域的水平直径方向离开磁场，并继续沿x轴正方向运动。
求电场强度和磁感应
强度的大小和方向。
（2）调节坐标原点处的带电微粒发射装置，使其在xoy平面内不断地以相同速率vO沿不同
方向将这种带电微粒射入第1象限，如图乙所示。
现要求这些带电微粒最终都能平行于x
轴正方向运动，则在保证匀强电场、匀强磁场的强度及方向不变的条件下，应如何改变匀强
磁场的分布区域？
并求出符合条件的磁场区域的最小面积。
答案
（1）（8^）由题目中“带电粒子从坐标原点0处沿y轴正方冋逬入腿场后+最绛沿圆形磁场区域的水平直径离开確场并堆爨沿r轴正方同运討“可知*带电徹粒所赍重力与电场力平衡。
设电场强度大小为匚由平衡条件得，
啊二我二誉=竺电场方向沿*抽正方向
带电微粒进人磁场后，做匀速圆周运动，且圆运动半径r=臨*
设匀吨眄的瑋感应程厦大屮为B*由牛極第二定存存,
磁场方冋垂亘干妖面向外
⑵（&管）设由带电微越主射黄負射入弟I集岷的带电徽赴的制速度方向与x轴威夬甬6
则3满足尺恥巴由于带电樹：
粒最集搐沿X轴正方向运动+
2
故B应垂負于X妙平西同外"带电抽粗在磁场内就半径为氏=
运动"
由干制电擁粒的入射方问下同.若磁场充満旣面.
它『1所对匯的运动的轨迹如图所示.
技聲送垄帝电嗷粒炷蹤场傭特后曲戏轴正方问运动"
由图可知*它力爵须胎至D点佯團运罰的各圆的最高自飞离確场*这祥应场边畀上P盘的坐标P0亦应淸足方程*
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三、边界交点问题的解题关键一抓轨迹方程
例4如图7所示，在xoy平面内x>0区域中，有一半圆形匀强磁场区域，圆心为0,半径为R=0.10m，磁感应强度大小为B=0.5T，磁场方向垂直xoy平面向里.有一线状粒子源放在y轴左
侧（图中未画出），并不断沿平行于x轴正方向释放出电荷量为
-196
q=+1.6x10C，初速度vo=1.6x10m/s的粒子，粒子的质量为
26
m=1.0x10-kg，不考虑粒子间的相互作用及粒子重力，求：
从y轴
任意位置（0,y）入射的粒子离开磁场时的坐标.
点评：
带电粒子在磁场中的运动是最能反映抽象思维与数学方法
小结：
对于周期性问题，因为粒子运动轨迹和磁场边界都是圆，所以要充分利用圆的对
称性及圆心角的几何关系，寻找运动轨迹的对称关系和周期性.
五、磁场问题的规律
前面分析的六个典型例题，其物理情景各异，繁简不同，但解题思路和方法却有以下四个共同点.
（1）物理模型相同即带电粒子在匀强磁场中均做匀速圆周运动.
（2）物理规律相同即洛伦兹力提供运动的向心力，通常都由动力学规律列方程求解.
（3）数学规律相同即运用几何知识求圆心角、弧长、半径等物理量.
（4）解题关键相同：
一是由题意画出正确轨迹；二是寻找边界圆弧和轨迹圆弧的对应
圆心角关系；三是确定半径和周期，构建合适的三角形或平行四边形，再运用解析几何知识
求解圆的弦长、弧长、圆心角等，最后转化到题目中需求解的问题.
【同步练习】
1.如图所示，在半径为R的圆形区域内充满磁感应强度为B的匀强磁场，MN是一竖直放置的感光板.从圆形磁场最高点P垂直磁场射入大
量的带正电，电荷量为q,质量为m,速度为v的粒子，不考虑粒子间的相互作用力，关于
这些粒子的运动以下说法正确的是（）D
A.只要对着圆心入射，出射后均可垂直打在MN上
B•对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线不一定过圆心
C.对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的弧长越长，时间也越长
D.只要速度满足v^■qBR，沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN上
m
D.从ad边射人的粒子，出射点全部通过b点
（1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径
由图可知，
T2^n
q=—=
（2）粒子从O至a做匀速圆周运动的时间'W从a飞出磁场后做匀速直线运动
**+於®fT<
a盲匸心
2R
3mv0
故b点的坐标为（「，0）
42'饥仔
5.如图所示，在坐标系xoy内有一半径为a的圆形区域，圆心坐标为Oi（a,0）,圆内分布有垂直纸面向里的匀强磁场，在直线y=a的上方和直线x=2a的左侧区域内，有一沿x轴负方向的匀强电场，场强大小为E，—质量为m、电荷量为+q（q>0）的粒子以速度v从O点垂直于磁场方向射入，当入射速度方向沿x轴方向时，粒子恰好从Oi点正上方的A点射出磁场，不计粒子重力，求：
（1）磁感应强度B的大小；
（2）粒子离开第一象限时速度方向与y轴正方向的夹角；
（3）若将电场方向变为沿y轴负方向，电场强度大小不变，粒子以速度v从O点垂直于磁场方向、并与x轴正方向夹角9=30°射入第一象限，求粒子从射入磁场到最终离开磁场的总时间to
解得
yi
（2）粒子从A点向上在电场中做匀减运动，设在电场中减速的距离为
1
-说X]=0/wv
曲
y1=
12&
所以在电场中最高点的坐标为（
2Eq
（3）粒子在磁场中做圆运动的周期
2na
v
P点的出
粒子从磁场中的P点射出，因磁场圆和粒子的轨迹圆的半径相等，OO1PO2构成菱形，故粒子从
射方向与y轴平行，粒子由O到P所对应的圆心角为01=60
由几何知识可知，粒子由P点到x轴的距离S=acos0
粒子在电场中做匀变速运动，在电场中运动的时间
到Q的偏向角为02=120
粒子先后在磁场中运动的总时间
粒子在场区之间做匀速运动的时间
解得粒子从射入磁场到最终离开磁场的时间
（2+开一寸5）口*2mvvqE
【答案】
go；
（1）
（2）
a-v
a-v
[Ama
'；
a
一卫+
（3）
轨迹如图。
【解析】
（1）
由题意可得粒子在磁场中的轨迹半径为
r=a（1分）
（2分）
（2）所有粒子在电场中做类平抛运动（1分）
从O点射出的沿x轴正向的粒子打在屏上最低点
从O点沿y轴正向射出的粒子打在屏上最高点
（3）粒子在磁场中做匀速圆周运动，出磁场时:
x=r-rcos60°=-
#（2分）
Av=
”2qE
（2分）
（1分）
所以在电场中最远坐标为
因为粒子的轨迹半径与磁场的边界半径相等，粒子返回磁场后射入点和射出点与轨
迹圆心及磁场的边界圆心的连线构成棱形。
所以最后射出磁场的坐标为（2a,0）（2
分）
⑷可以加一个匀强磁场或者两个方向不同的匀强电场方向如图，
大小与已知条件相同（2分）
轨迹如图所示（2分）
E
'J
/J
F
Q
y
Af
00
r=2人
C
li「■
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1
i4
1
6.如图所示的直角坐标系中，从直线x=-2lo到y轴区域存在两个大小相等、方向相反的有界匀强电场，其中x轴上方的电场方向沿y轴负方向，x轴下方的电场方向沿y轴正方向。
在电场左边界从A（-2lo,
-Io）点到C（-2lo,0）点区域内，连续分布着电量为+q、质量为m的粒子。
从某时刻起，A点到C点
间的粒子依次连续以相同速度vo沿x轴正方向射入电场。
从A点射入的粒子恰好
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