范文简单线性规划教案Word文档下载推荐.docx
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一是将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是；
另一种方法可利用围成可行域的直线的斜率来判断．④若实际问题要求的最优解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解，应作适当的调整．其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点，不要在用图解法所得到的近似解附近寻找．如果可行域中的整点数目很少，采用逐个试验法也是很有效的办法．⑤在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：
一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；
二是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小．
如果条件允许，可将本节的思考与讨论融入课堂．
三维目标
．使学生了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；
了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题．
2．通过本节内容的学习，培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力．
3．通过本节学习，理解线性规划求最优解的原理，明确线性规划在现实生活中的意义．
重点难点
教学重点：
求线性目标函数的最值问题，培养学生“用数学”的意识，理解线性规划最优解的原理．
教学难点：
把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答．
课时安排
2课时
教学过程
第1课时
导入新课
思路1.由身边的线性规划问题导入课题，同时阐明其重要意义．如6枝玫瑰花与3枝康乃馨的价格之和大于24元．而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元．如果想买2枝玫瑰与3枝康乃馨，那么价格比较结果是怎样的呢？
可由学生列出不等关系，并画出平面区域．由此导入新课．
思路2.在生产与营销活动中，我们常常需要考虑：
怎样利用现在的资源取得最大的收益，或者怎样以最少的资源投入去完成一项给定的任务．我们把这一类问题称为“最优化”问题．线性规划知识恰是解决这类问题的得力工具．由此展开新课．
推进新课
新知探究
提出问题
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回忆二元一次不等式Ax＋By＋c＞0在平面直角坐标系中的平面区域的确定方法.
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怎样从实际问题中抽象出不等式组，并画出所确定的平面区域？
3&
阅读教材，明确什么是目标函数，线性目标函数，约束条件，线性约束条件，线性规划问题，最优解，可行域.,&
4&
你能给出解决线性规划问题的一般步骤吗？
活动：
教师引导学生回顾二元一次不等式表示平面区域常用的方法是：
直线定界、原点定域，即先画出对应直线，再将原点坐标代入直线方程中，看其值比零大还是比零小；
不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，是它们平面区域的公共部分．
教师引导学生探究教材本节开头的问题．根据上节所学，学生很容易设出计划生产甲种产品x工时，生产乙种产品y工时，且很容易地列出获得利润总额为f＝30x＋40y，①
及x，y满足的条件
3x＋2y≤1200，x＋2y≤800，x≥0，y≥0.②
教师引导学生画出上述不等式组表示的区域，如下图．
结合图形，教师与学生一起探究，原问题就是在x，y满足②的情况下，求f的最大值．也就是在图中阴影部分内找一点，把它的坐标代入式子30x＋40y时，使该式值最大．若令30x＋40y＝0，则此方程表示通过原点的一条直线，记为l0，则在区域oABc内有30x＋40y≥0.设这个区域内任意一点P到l0的距离为d，则d＝|30x＋40y|302＋402＝30x＋40y302＋402，即30x＋40y＝302＋402&
#8226;
d.
由此可发现，点P到直线l0的距离d越大，式子30x＋40y的值就越大．这样问题又转化为：
在区域oABc内，找与直线l0距离最大的点．观察图象易发现，平移直线l0，最后经过的点为B，易知区域oABc内的点B即为所求．
解方程组3x＋2y＝1200，x＋2y＝800，得B，代入式子①，得fmax＝30×
200＋40×
300＝18000.
即问题中，用200工时生产甲种产品，用300工时生产乙种产品，能获得最大利润18000元．
进一步探究上述问题，不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件．z＝2x＋y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，我们把它称为目标函数．由于z＝2x＋y又是关于x、y的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数．线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示．[
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．例如：
我们刚才研究的就是求线性目标函数z＝2x＋y在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题．满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域．其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解，接着让学生说出上述问题中的目标函数，约束条件，可行域，最优解分别是什么．
根据以上探究，我们可以得出用图解法解决线性规划问题的一般步骤：
分析并将已知数据列出表格；
确定线性约束条件；
确定线性目标函数；
画出可行域；
利用线性目标函数求出最优解．在可行域内平行移动目标函数，从图中能判定问题有唯一最优解，或者是无穷最优解，或是无最优解；
实际问题需要整数解时，应适当调整确定最优解．
讨论结果：
～略．
应用示例
例1已知x、y满足不等式x＋2y≥2，2x＋y≥1，x≥0，y≥0，求z＝3x＋y的最小值．
可先找出可行域，平行移动直线l0：
3x＋y＝0找出可行解，进而求出目标函数的最小值．
解：
不等式x＋2y≥2表示直线x＋2y＝2上及其右上方的点的集合；
不等式2x＋y≥1表示直线2x＋y＝1上及其右上方的点的集合．
可行域如图所示．
作直线l0：
3x＋y＝0，作一组与直线l0平行的直线l：
3x＋y＝t．
∵x、y是上面不等式组表示的区域内的点的横纵坐标，
由图可知，当直线l：
3x＋y＝z通过点P时，z取到最小值1，即zmin＝1.
点评：
简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的．
寻找线性约束条件，线性目标函数；
由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；
在可行域内求目标函数的最优解.
变式训练
若变量x，y满足2x＋y≤40，x＋2y≤50，x≥0，y≥0，则z＝3x＋2y的最大值是________．
答案：
70
解析：
由不等式组2x＋y≤40，x＋2y≤50，x≥0，y≥0画出可行域如下图．
结合图形，
由2x＋y＝40，x＋2y＝50x＝10，y＝20，
于是zmax＝3×
10＋2×
20＝70.
例2
教材此例的数据以表格的形式给出．这样可使量与量之间的关系一目了然，非常有助于我们顺利地找出约束条件和目标函数，特别是对于那些量比较多的问题．本例难度不大，可由学生自己完成，教师给予适当点拨．
完成此例后，可让学生对应用线性规划解决实际问题作一简单归纳．对较好的学生，教师可结合思考与讨论进行归纳.
某家具厂有方木料90m3，五合板600m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1m3、五合板2m2；
生产每个书橱需要方木料0.2m3、五合板1m2.出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元，如果只安排生产书桌，可获利润多少？
如果只安排生产书橱，可获利润多少？
怎样安排生产可使所得利润最大？
设只生产书桌x张，可获得利润z元，
则0.1x≤90，2x≤600x≤900，x≤300x≤300.
z＝80x，∴当x＝300时，zmax＝80×
300＝24000，
即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24000元．
设只生产书橱y张，可获利润z元，
则0.2y≤90，y≤600y≤450，y≤600y≤450.
z＝120y，∴当y＝450时，zmax＝120×
450＝54000，
即如果只安排生产书橱，最多可生产450个，获得利润54000元．
设生产书桌x张，书橱y个，利润总额为z元．
则0.1x＋0.2y≤90，2x＋y≤600，x≥0，y≥0x＋2y≤900，2x＋y≤600，x≥0，y≥0，
z＝80x＋120y，可行域如图．
由图可知：
当直线y＝－23x＋z120经过可行域上的点m时，截距z120最大，即z最大，解方程组x＋2y＝900，2x＋y＝600，得m的坐标为．
∴zmax＝80x＋120y＝80×
100＋120×
400＝56000．
因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大，最大利润为56000元.
例3某工厂生产甲、乙两种产品．已知生产甲种产品1t需耗A种矿石10t、B种矿石5t、煤4t；
生产乙种产品需耗A种矿石4t、B种矿石4t、煤9t．每1t甲种产品的利润是600元，每1t乙种产品的利润是1000元．工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300t、B种矿石不超过200t、煤不超过360t，甲、乙两种产品应各生产多少，能使利润总额达
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