概率论与数理统计浙大四版习题答案第一章.doc

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第一章概率论的基本概念

1.[一]写出下列随机试验的样本空间

（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一]1）

，n表小班人数

（3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。

（[一]2）

S={10，11，12，………，n，………}

（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。

查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。

（[一]（3））

S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，}

2.[二]设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件。

（1）A发生，B与C不发生。

表示为：

或A－（AB+AC）或A－（B∪C）

（2）A，B都发生，而C不发生。

表示为：

或AB－ABC或AB－C

（3）A，B，C中至少有一个发生 表示为：

A+B+C

（4）A，B，C都发生， 表示为：

ABC

（5）A，B，C都不发生， 表示为：

或S－（A+B+C）或

（6）A，B，C中不多于一个发生，即A，B，C中至少有两个同时不发生

相当于中至少有一个发生。

故表示为：

。

（7）A，B，C中不多于二个发生。

相当于：

中至少有一个发生。

故表示为：

（8）A，B，C中至少有二个发生。

相当于：

AB，BC，AC中至少有一个发生。

故表示为：

AB+BC+AC

6.[三]设A，B是两事件且P（A）=0.6，P（B）=0.7.问

（1）在什么条件下P（AB）取到最大值，最大值是多少？

（2）在什么条件下P（AB）取到最小值，最小值是多少？

解：

由P（A）=0.6，P（B）=0.7即知AB≠φ，（否则AB=φ依互斥事件加法定理，P（A∪B）=P（A）+P（B）=0.6+0.7=1.3>1与P（A∪B）≤1矛盾）.

从而由加法定理得

P（AB）=P（A）+P（B）－P（A∪B） （*）

（1）从0≤P（AB）≤P（A）知，当AB=A，即A∩B时P（AB）取到最大值，最大值为

P（AB）=P（A）=0.6，

（2）从（*）式知，当A∪B=S时，P（AB）取最小值，最小值为

P（AB）=0.6+0.7－1=0.3。

7.[四]设A，B，C是三事件，且，.求A，B，C至少有一个发生的概率。

解：

P（A，B，C至少有一个发生）=P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）－P（AB）－P（BC）－P（AC）+P（ABC）=

8.[五]在一标准英语字典中具有55个由二个不相同的字母新组成的单词，若从26个英语字母中任取两个字母予以排列，问能排成上述单词的概率是多少？

记A表“能排成上述单词”

∵从26个任选两个来排列，排法有种。

每种排法等可能。

字典中的二个不同字母组成的单词：

55个

∴

9.在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率。

（设后面4个数中的每一个数都是等可能性地取自0，1，2……9）

记A表“后四个数全不同”

∵后四个数的排法有104种，每种排法等可能。

后四个数全不同的排法有

∴

10.[六]在房间里有10人。

分别佩代着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的号码。

（1）求最小的号码为5的概率。

记“三人纪念章的最小号码为5”为事件A

∵10人中任选3人为一组：

选法有种，且每种选法等可能。

又事件A相当于：

有一人号码为5，其余2人号码大于5。

这种组合的种数有

∴

（2）求最大的号码为5的概率。

记“三人中最大的号码为5”为事件B，同上10人中任选3人，选法有种，且每种选法等可能，又事件B相当于：

有一人号码为5，其余2人号码小于5，选法有种

11.[七]某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，红漆3桶。

在搬运中所标笺脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问一个定货4桶白漆，3桶黑漆和2桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？

记所求事件为A。

在17桶中任取9桶的取法有种，且每种取法等可能。

取得4白3黑2红的取法有

故

12.[八]在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。

（1）求恰有90个次品的概率。

记“恰有90个次品”为事件A

∵在1500个产品中任取200个，取法有种，每种取法等可能。

200个产品恰有90个次品，取法有种

∴

（2）至少有2个次品的概率。

记：

A表“至少有2个次品”

B0表“不含有次品”，B1表“只含有一个次品”，同上，200个产品不含次品，取法有种，200个产品含一个次品，取法有种

∵ 且B0，B1互不相容。

∴

13.[九]从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？

记A表“4只全中至少有两支配成一对”

则表“4只人不配对”

∵从10只中任取4只，取法有种，每种取法等可能。

要4只都不配对，可在5双中任取4双，再在4双中的每一双里任取一只。

取法有

15.[十一]将三个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别是1，2，3，的概率各为多少？

记Ai表“杯中球的最大个数为i个”i=1,2,3,

三只球放入四只杯中，放法有43种，每种放法等可能

对A1：

必须三球放入三杯中，每杯只放一球。

放法4×3×2种。

（选排列：

好比3个球在4个位置做排列）

对A2：

必须三球放入两杯，一杯装一球，一杯装两球。

放法有种。

（从3个球中选2个球，选法有，再将此两个球放入一个杯中，选法有4种，最后将剩余的1球放入其余的一个杯中，选法有3种。

对A3：

必须三球都放入一杯中。

放法有4种。

（只需从4个杯中选1个杯子，放入此3个球，选法有4种）

16.[十二]50个铆钉随机地取来用在10个部件，其中有三个铆钉强度太弱，每个部件用3只铆钉，若将三只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱，问发生一个部件强度太弱的概率是多少？

记A表“10个部件中有一个部件强度太弱”。

法一：

用古典概率作：

把随机试验E看作是用三个钉一组，三个钉一组去铆完10个部件（在三个钉的一组中不分先后次序。

但10组钉铆完10个部件要分先后次序）

对E：

铆法有种，每种装法等可能

对A：

三个次钉必须铆在一个部件上。

这种铆法有〔〕×10种

法二：

用古典概率作

把试验E看作是在50个钉中任选30个钉排成一列，顺次钉下去，直到把部件铆完。

（铆钉要计先后次序）

对E：

铆法有种，每种铆法等可能

对A：

三支次钉必须铆在“1，2，3”位置上或“4，5，6”位置上，…或“28，29，30”位置上。

这种铆法有种

17.[十三]已知。

解一：

注意.故有

P（AB）=P（A）－P（A）=0.7－0.5=0.2。

再由加法定理，

P（A∪）=P（A）+P（）－P（A）=0.7+0.6－0.5=0.8

于是

18.[十四]。

解：

由

由乘法公式，得

由加法公式，得

19.[十五]掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为7，求其中有一颗为1点的概率（用两种方法）。

解：

（方法一）（在缩小的样本空间SB中求P（A|B），即将事件B作为样本空间，求事件A发生的概率）。

掷两颗骰子的试验结果为一有序数组（x,y）（x,y=1,2,3,4,5,6）并且满足x,+y=7，则样本空间为

S={（x,y）|（1,6）,（6,1）,（2,5）,（5,2）,（3,4）,（4,3）}

每种结果（x,y）等可能。

A={掷二骰子，点数和为7时，其中有一颗为1点。

故}

方法二：

（用公式

S={（x,y）|x=1,2,3,4,5,6;y=1,2,3,4,5,6}}每种结果均可能

A=“掷两颗骰子，x,y中有一个为“1”点”，B=“掷两颗骰子，x,+y=7”。

则，

故

20.[十六]据以往资料表明，某一3口之家，患某种传染病的概率有以下规律：

P（A）=P{孩子得病}=0.6，P（B|A）=P{母亲得病|孩子得病}=0.5，P（C|AB）=P{父亲得病|母亲及孩子得病}=0.4。

求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。

解：

所求概率为P（AB）（注意：

由于“母病”，“孩病”，“父病”都是随机事件，这里不是求P（|AB）

P（AB）=P（A）=P（B|A）=0.6×0.5=0.3,P（|AB）=1－P（C|AB）=1－0.4=0.6.

从而P（AB）=P（AB）·P（|AB）=0.3×0.6=0.18.

21.[十七]已知10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。

（1）二只都是正品（记为事件A）

法一：

用组合做在10只中任取两只来组合，每一个组合看作一个基本结果，每种取法等可能。

法二：

用排列做在10只中任取两个来排列，每一个排列看作一个基本结果，每个排列等可能。

法三：

用事件的运算和概率计算法则来作。

记A1，A2分别表第一、二次取得正品。

（2）二只都是次品（记为事件B）

法一：

法二：

法三：

（3）一只是正品，一只是次品（记为事件C）

法一：

法二：

法三：

（4）第二次取出的是次品（记为事件D）

法一：

因为要注意第一、第二次的顺序。

不能用组合作，

法二：

法三：

22.[十八]某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？

如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？

记H表拨号不超过三次而能接通。

Ai表第i次拨号能接通。

注意：

第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码。

如果已知最后一个数字是奇数（记为事件B）问题变为在B已发生的条件下，求H再发生的概率。

24.[十九]设有甲、乙二袋，甲袋中装有n只白球m只红球，乙袋中装有N只白球M只红球，今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？

（此为第三版19题

（1））

记A1，A2分别表“从甲袋中取得白球，红球放入乙袋”

再记B表“再从乙袋中取得白球”。

∵ B=A1B+A2B且A1，A2互斥

∴ P（B）=P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）

=

[十九]

（2）第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球。

先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。

记C1为“从第一盒子中取得2只红球”。

C2为“从第一盒子中取得2只白球”。

C3为“从第一盒子中取得1只红球，1只白球”，

D为“从第二盒子中取得白球”，显然C1，C2，C3两两互斥，C1∪C2∪C3=S，由全概率公式，有

P（D）=P（C1）P（D|C1）+P（C2）P（D|C2）+P（C3）P（D|C3）

26.[二十一]已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。

今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？

解：

A1={男人}，A2={女人}，B={色盲}，显然A1