届一轮复习人教A版文第九章 第二节古典概型 学案Word文档下载推荐.docx
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2.从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,其和为5的概率是________.
解析:
两数之和等于5有两种情况(1,4)和(2,3),总的基本事件有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10种,故所求概率P==.
3.从一副混合后的扑克牌(除去大、小王52张)中,随机抽取1张.事件A为“抽到红桃K”,事件B为“抽到黑桃”,则P(A∪B)=________(结果用最简分数表示).
∵P(A)=,P(B)=,
∴P(A∪B)=P(A)+P(B)=+==.
4.袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球.从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为________.
设4只球分别为白、红、黄1、黄2,从中一次随机摸出2只球,所有基本事件为(白,红),(白,黄1),(白,黄2),(红,黄1),(红,黄2),(黄1,黄2),共6个,颜色不同的有5个,所以2只球颜色不同的概率为.
5.(教材习题改编)一个口袋内装有2个白球和3个黑球,则在先摸出1个白球后放回的条件下,再摸出1个白球的概率是________.
先摸出1个白球后放回,再摸出1个白球的概率,实质上就是第二次摸到白球的概率,因为袋内装有2个白球和3个黑球,因此概率为.
[考什么·
怎么考]
对古典概型的直接考查是每年高考的重点,题型为选择题、填空题,有时也出现在解答题中,难度适中,属中档题.
1.(2017·
天津高考)有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )
A. B.
C.D.
选C 从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,有10种不同取法:
(红,黄),(红,蓝),(红,绿),(红,紫),(黄,蓝),(黄,绿),(黄,紫),(蓝,绿),(蓝,紫),(绿,紫).而取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有4种不同取法:
(红,黄),(红,蓝),(红,绿),(红,紫),故所求概率P==.
2.(2017·
全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )
A.B.
选D 法一:
记两次取得卡片上的数字依次为a,b,则一共有25个不同的数组(a,b),其中满足a>b的数组共有10个,分别为(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),因此所求的概率P==.
法二:
画出树状图如图:
可知所有的基本事件共有25个,满足题意的基本事件有10个,故所求概率P==.
3.(2017·
山东高考)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,B3中选择2个国家去旅游.
(1)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率;
(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.
解:
(1)由题意知,从6个国家中任选2个国家,其所有可能的结果组成的基本事件有:
{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{B1,B2},{B1,B3},{B2,B3},共15个.
所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有:
{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},共3个.
则所求事件的概率为P==.
(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,其所有可能的结果组成的基本事件有:
{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},共9个.
包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有:
{A1,B2},{A1,B3},共2个,
则所求事件的概率为P=.
[怎样快解·
准解]
1.求古典概型概率的步骤
(1)判断本试验的结果是否为等可能事件,设出所求事件A;
(2)分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m;
(3)利用公式P(A)=,求出事件A的概率.
2.基本事件个数的确定方法
方法
适用条件
列表法
此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验,也可看成是坐标法
树状图法
树状图是进行列举的一种常用方法,适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求
[注意] 在利用列举法列举基本事件的个数时,一定要注意,试验的抽取方式是“有放回抽取”还是“无放回抽取”,否则极易发生解题错误.(如第1题为无放回抽取,而第2题为有放回抽取)
古典概型在高考中常与平面向量、解析几何、统计等知识交汇命题,命题的角度新颖,考查知识全面,能力要求较高.
常见的命题角度有:
(1)古典概型与平面向量相结合;
(2)古典概型与直线、圆相结合;
(3)古典概型与统计相结合.
[题点全练]
角度
(一) 古典概型与平面向量相结合
1.设平面向量a=(m,1),b=(2,n),其中m,n∈{1,2,3,4},记“a⊥(a-b)”为事件A,则事件A发生的概率为( )
C.D.
选A 有序数对(m,n)的所有可能结果为:
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16个.由a⊥(a-b),得m2-2m+1-n=0,即n=(m-1)2,由于m,n∈{1,2,3,4},故事件A包含的基本事件为(2,1)和(3,4),共2个,所以所求的概率P(A)==.
角度
(二) 古典概型与直线、圆相结合
2.(2018·
湘中名校联考)从集合A={-2,-1,2}中随机选取一个数记为a,从集合B={-1,1,3}中随机选取一个数记为b,则直线ax-y+b=0不经过第四象限的概率为( )
A.B.
选A 从集合A,B中随机选取后组合成的数对有(-2,-1),(-2,1),(-2,3),(-1,-1),(-1,1),(-1,3),(2,-1),(2,1),(2,3),共9种,要使直线ax-y+b=0不经过第四象限,则需a>
0,b>
0,共有2种满足,所以所求概率P=,故选A.
3.(2018·
洛阳统考)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a,b,则直线ax+by=0与圆(x-2)2+y2=2有公共点的概率为________.
依题意,将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a,b)有(1,1),(1,2),(1,3),…,(6,6),共36种,其中满足直线ax+by=0与圆(x-2)2+y2=2有公共点,即满足≤,即a≤b,则当a=1时,b=1,2,3,4,5,6,共有6种,当a=2时,b=2,3,4,5,6,共5种,同理当a=3时,有4种,a=4时,有3种,a=5时,有2种,a=6时,有1种,故共6+5+4+3+2+1=21种,因此所求的概率等于=.
角度(三) 古典概型与统计相结合
4.(2017·
南昌一模)交强险是车主必须为机动车购买的险种,若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用(基准保费)统一为a元,在下一年续保时,实行的是费率浮动机制,且保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系.发生交通事故的次数越多,费率也就越高,具体浮动情况如下表:
交强险浮动因素和费率浮动比率表
浮动因素
浮动比率
A1
上一个年度未发生有责任道路交通事故
下浮10%
A2
上两个年度未发生有责任道路交通事故
下浮20%
A3
上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故
下浮30%
A4
上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故
0%
A5
上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故
上浮10%
A6
上一个年度发生有责任道路交通死亡事故
上浮30%
某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况,随机抽取了60辆车龄已满三年该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况,统计得到了下面的表格:
类型
数量
10
5
20
15
(1)求一辆普通6座以下私家车在第四年续保时保费高于基本保费的频率;
(2)某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车,且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车.假设购进一辆事故车亏损5000元,一辆非事故车盈利10000元.且各种投保类型车的频率与上述机构调查的频率一致,完成下列问题:
①若该销售商店内有6辆(车龄已满三年)该品牌二手车,某顾客欲在店内随机挑选2辆车,求这2辆车恰好有一辆为事故车的概率;
②若该销售商一次购进120辆(车龄已满三年)该品牌二手车,求一辆车盈利的平均值.
(1)一辆普通6座以下私家车第四年续保时保费高于基本保费的频率为=.
(2)①由统计数据可知,该销售商店内的6辆该品牌(车龄已满三年)的二手车有2辆事故车,设为b1,b2,4辆非事故车设为a1,a2,a3,a4.从6辆车中随机挑选2辆车的情况有(b1,b2),(b1,a1),(b1,a2),(b1,a3),(b1,a4),(b2,a1),(b2,a2),(b2,a3),(b2,a4),(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a2,a3),(a2,a4),(a3,a4),共15种.
其中2辆车恰好有一辆为事故车的情况有(b1,a1),(b1,a2),(b1,a3),(b1,a4),(b2,a1),(b2,a2),(b2,a3),(b2,a4),共8种.
所以该顾客在店内随机挑选2辆车,这2辆车恰好有一辆为事故车的概率为.
②由统计数据可知,该销售商一次购进120辆该品牌(车龄已满三年)的二手车有事故车40辆,非事故车80辆,
所以一辆车盈利的平均值为[(-5000)×
40+10000×
80]=5000(元).
[题“根”探求]
求解古典概型的交汇问题,关键是把相关的知识转化为事件,然后利用古典概型的有关知识解决,其解题流程为:
[冲关演练]
1.某同学同时掷两颗骰子,得到点数分别为a,b,则椭圆+=1的离心率e>
的概率是________.
同时掷两颗骰子,得到的点数所形成的数组共有36种情况,当a>
b时,e=>
⇒<
⇒a>
2b,符合a>
2b的情况有:
当b=1时,有a=3,4,5,6,4种情况;
当b=2时,有a=5,6,2种情况,故共有6种情况,则概率是=.