届广东省汕头市高三第一次模拟考试数学理试题Word版含答案Word格式.docx
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1．已知集合，，则=
A．B．C．D．
2．若实数满足（为虚数单位），则
3．甲、乙两人参加“社会主义核心价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为和，且两人是否获得一等奖相互独立，则两人中恰有一个人获得一等奖的概率是
A．B．C．D．
4．若，则的值为
5．上海浦东新区2008年生产总值约3151亿元人民币，如果从此浦东新区生产总值的年增长率为10.5%，求浦东新区最早哪一年的生产总值超过8000亿元人民币？
某同学为解答这个问题设计了一个程序框图，如图1，但不慎将此框图的一个处理框中的内容污染而看不到了，则此框图中因被污染而看不到的内容的数学运算式应是
（图1）（图2）
6．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图2，描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
7．平行四边形中，，，，点在边上，则的最大值为
A．2B．C.0D．
8．函数在区间内是增函数，则
A．B．的周期为
C．的最大值为4D．
9．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，若三棱锥
体积的最大值为2，则球的表面积为
10．已知双曲线的右焦点为，右顶点为，过作的垂线与双曲线交于、两点，过、分别作、的垂线，两垂线交于点，若到直线的距离小于，则双曲线的渐近线斜率的取值范围是
A．B．
C．D．
11．如图3，画出的是某四棱锥的三视图，网格纸上小正方形
的边长为1，则该几何体的体积为
A．15B．16
C.D．
12．已知、都是定义域为的连续函数．已知：
满足：
①当时，恒成立；
②都有．
①都有；
②当时，．
若关于的不等式对恒成立，则的取值范围是
A．B．
C．D．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。
第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22~23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分。
13．的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为__________．
14．已知椭圆的左右焦点是、，设是椭圆上一点，在上的投影的大小恰好为，且它们的夹角为，则椭圆的离心率为__________．
15．若平面区域夹在两条平行直线之间，则当这两条平行直线间的距离最短时，它们的斜率是__________．
16．在中，且，边上的中线长为，则的面积是__________．
三、解答题：
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
已知数列的前项和为，，且，．
（1）求证：
数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
18．（本小题满分12分）
如图4，多面体中，面为正方形，，，，二面角的余弦值为，且．
（1）证明：
平面平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
19．（本小题满分12分）
某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量与尺寸x（mm）之间近似满足关系式（b、c为大于0的常数）．按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间内时为优等品．现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：
尺寸x（mm）
38
48
58
68
78
88
质量y（g）
16.8
18.8
20.7
22.4
24
25.5
质量与尺寸的比
0.442
0.392
0.357
0.329
0.308
0.290
（1）现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记为取到优等品的件数，试求随机变量的分布列和期望；
（2）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表：
75.3
24.6
18.3
101.4
（ⅰ）根据所给统计量，求y关于x的回归方程；
（ⅱ）已知优等品的收益（单位：
千元）与的关系为，则当优等品的尺寸x为何值时，收益的预报值最大？
（精确到0.1）
附：
对于样本，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，，.
20．（本小题满分12分）
已知抛物线的焦点为，直线交于两点．
（1）若直线过焦点，过点作轴的垂线，交直线于点，求证：
点的轨迹为的准线；
（2）若直线的斜率为，是否存在抛物线，使得且的面积为，若存在，求的方程；
若不存在，说明理由.
21．（本小题满分12分）
已知函数，其中．
（1）设是的导函数，讨论的单调性；
（2）证明：
存在，使得恒成立，且在区间内有唯一解．
请考生在第22，23题中任选一题作答．作答时一定要用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑（都没涂黑的视为选做第22题）。
22．（本小题满分10分）选修4-4：
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）射线与曲线，分别交于，两点（异于原点），定点，求的面积.
23．（本小题满分10分）选修4-5：
不等式选讲
已知函数．
（1）若，求不等式的解集；
（2）关于的不等式有解，求实数的取值范围．
参考答案及评分标准
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
B
D
C
题号
13
14
15
16
答案
或
说明：
14题没有分母有理化不扣分，15题只答一个数不给分（即得0分）
（1）法一：
∵，
∴-----------------2分
又
∴数列是首项为2，公差为1的等差数列------------------------3分
∴，即：
---------------4分
当时，，
当时，
∴，------------------6分
法二：
，
即①
故②
②-①得：
化简得：
-----------------2分
又由①可知，即
是首项为2，公差为2的等差数列，-----------------3分
-----------------4分
，-----------------5分
是首项为2，公差为1的等差数列.-----------------6分
（2）法一：
解：
由（Ⅰ）得：
设数列的前项和分别为，则-----------7分
记，数列的前项和为
当时，，则
当时，
∴---------------------11分
∴----------------------12分
由
（1）知
设，①
则②
1-②得------------8分
-----------------10分
又，-----------------11分
，-----------------12分
法三：
由
（1）知：
-----------------8分
又，-----------------11分
-----------------12分
∵，，，由勾股定理得：
--------1分
又正方形中，……2分
且，∴面----3分
∵面，∴平面平面----4分
（注：
第
（1）只有一种证明方法，必须前面两个线线垂直和都出现，下面的3、4分才能给分，只写一个，本题只给1分。
上面一个垂直各占1分。
）
（2）解：
由（Ⅰ）知是二面角的平面角……5分
作于，则，
由平面平面，平面平面，面得：
面------6分（第6分给在OE=2上，如果后面E的坐标写对，也可给这1分）
如图，建立空间直角坐标系，
则、、、∴
的一个方向向量---7分
设面的一个法向量，
则，……8分
取，得：
-----9分
其他法向量坐标可按比例正确给，比如之类，也是正确的）
又面一个法向量为：
---10分
∴----11分
设面与面所成二面角为，由为锐角得：
----12分
最后需要根据条件作答案为“正值”的说明，只算法向量答案，不做文字说明，扣1分。
（第
（2）问解法2）
∵∴（）……7分
则……8分
令，得，……9分（后面步骤相同）
（第
（2）问解法3）
以D点建系的解法，求出来的法向量与以上建系的坐标一样。
（第
（2）问解法4：
几何法）
连结BD，
延长CB至G，使得GB=BC=2，连结GA并延长交CD的延长线于H，连结EH
过C作的延长线于点K，连结BK……5分
∵B为CG中点，AB//CD∴A为GH中点，∴HD=CD=4
∴BD//GH∴GH//EF，∴H、A、G、E、F共面……6分
由
（1）知∴又∵∴
∴为所求二面角的一个平面角……8分
∵而
∴……9分∴……10分
∴……11分
∵为锐角∴面与面
所成二面角的锐角余弦值为……12分
（1）解：
由已知，优等品的质量与尺寸的比在区间内，即
则随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品，3件为非优等品-----------1分
现从抽取
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