概率论与数理统计教案课程性质数学研究内容概率论研究随机Word文档格式.docx

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注：

随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性,但在大量试验或观察中,这种结果的出现具有一定的统计规律性。

2、随机试验：

在概率论中,把具有以下三个特征的试验称为随机试验..可以在相同的条件下重复地进行;

每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;

进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.

3、样本空间：

称随机试验所有可能的结果所组成的集合为样本空间,记为Ω。

样本空间的元素,即随机试验的每一个结果,称为样本点.

例1、抛掷一枚骰子,观察出现的点数.

4、随机事件：

样本空间Ω的子集成为随机事件，一般以大写字母表示。

特别的，由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。

上例中，分别表示结果为“一点”至“六点”，都是基本事件。

，表示结果为“偶数点”，非基本事件。

Ω—必然事件。

--不可能事件

二、事件的关系及运算

关系

1.包含关系:

“发生必导致发生”记为

且

2.和事件:

表示与事件至少发生一个。

3.积事件:

表示与事件同时发生。

4.互斥事件：

若事件的出现必然导致事件不出现,出现也必然导致不出现,则称事件与互不相容或互斥,即

5、对立事件：

称为的对立事件或者逆事件，记作

，反之不然

6、差事件：

由事件出现而事件不出现所组成的事件称为事件与的差.记作

II.运算（与集合运算法则相同）

（1）交换律

（2）结合律，

（4）德.摩根律

例2、设为三个随机事件，用运算关系表示下列各事件

（1）发生，而不发生---

（2）都发生，而不发生---

（3）至少一个发生---

（4）不多于一个发生---

（5）至少两个发生---或者

三、概率的定义

1、频率及频率的性质

（1）定义1：

在相同的条件下，重复进行了次试验，若事件发生了次，则称比值为事件在次试验中出现的频率，记为。

（2）频率的性质：

⑴非负性：

对任意，有

⑵规范性：

⑶可加性：

若、互斥，则

（3）频率的稳定性：

在大量的重复试验中，频率常常稳定于某个常数，称为频率的稳定性。

通过大量的实践，我们还容易看到，若随机事件出现的可能性越大，一般来讲，其频率也越大。

由于事件发生的可能性大小与其频率大小有如此密切的关系，加之频率又有稳定性，故而可通过频率来定义概率。

2.概率的定义和性质

（1）定义2若对随机试验所对应的样本空间中的每一事件，均赋予一实数，满足条件：

[1]非负性：

对任一事件，有

[2]规范性：

[3]可列可加性：

设是一列两两互不相容的事件，即（ij）,

有，则称为事件的概率。

（2）概率的性质

[1]不可能事件概率零：

[2]有限可加性：

设是个两两互不相容的事件，即,，则有

[3]单调不减性：

若事件，则，且

[4]互补性：

且1;

[5]加法公式：

对任意两事件、，有=

公式可推广到任意个事件的情形；

[6]可分性：

对任意两事件、，有

例3设为两事件，且问：

（1）在什么条件下，取最大值，最大值是多少？

（2）在什么条件下，取最小值，最小值是多少？

解：

（1）由概率的单调性故

所以最大值，此时即

（2）由加法公式＝P（A）＋P（B）－P（AB）得

所以当时，有最小值0.3

2古典概型、几何概型、条件概率、乘法公式

一、古典概型、几何概型的基本概念和公式

1、古典概型：

如果随机试验满足：

（2）试验中每个基本事件发生的可能性相同；

则这样的试验模型称为古典概率模型。

古典概型中事件概率的计算公式：

设试验的样本空间由个样本点构成，为的任意一个事件，且包含个样本点，则事件出现的概率记为:

例1、掷一颗均匀骰子，设表示结果为“四点或五点”，表示结果为“偶数点”，

求：

和

由得，

例2、摸球模型（无放回）

设袋中有4只白球和2只黑球,现从袋中无放回地依次摸出2只球，求这2只球都是白球的概率。

，A所包含基本事件的个数为，基本事件总数为，故。

摸球模型（有放回）

设袋中有4只白球和2只黑球,现从袋中有放回地摸球2次,求第1次摸到黑球，第2次摸到白球的概率.

，A所包含基本事件的个数为，基本事件总数为，故

例3、抽样模型

设有件产品，其中有件次品，今从中随即抽取件，问

（1）在有放回的方式下，

（2）在无放回的方式下，

（1）

（2）

2、几何概型：

当随机试验的样本空间是某个区域，并且任意一点落在度量（长度、面积、体积）相同的子区域是等可能的，则事件A的概率可定义为

）,这样借助于积几何上的度量来规定的概率模型称为几何概型。

特点基本事件数无限等可能性：

随机点落在某区域g的概率与区域g的测度（长度、面积、体积等）成正比，而与其位置及形状无关。

例4、会面问题

甲、乙两人相约在0到这段时间内,在预定地点会面.先到的人等候另一个人,经过时间后离去.设每人在0到这段时间内各时刻到达该地是等可能的,且两人到达的时刻互不牵连.求甲、乙两人能会面的概率.

两人会面的充要条件为，

若以x,y表示平面上点的坐标,故所求的概率为

则。

例、（会面问题）两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，这时就可离去，试求这两人能会面的概率？

以x，y分别表示两人到达时刻（7点设为零时刻），则会面的充要条件为这是一几何概率问题，可能的结果全体是边长为60的正方形里的点，能会面的点为图中阴影部分，所求概率

例5、蒲丰投针试验

1777年,法国科学家蒲丰（Buffon）提出了投针试验问题.平面上画有等距离为的一些平行直线,现向此平面任意投掷一根长为的针,试求针与某一平行直线相交的概率.

针与该平行直线的夹角，则针落在平面上的位置完全可以由确定，投针试验中的所有点一一对应，事件

，则=

二、条件概率

0、引言

设为任意两个事件，假设事件已发生，前面我们已经研究了，而在实际问题往往需要我们去研究此时发生的概率，为区别起见，我们把这种情况下的概率记为，称为事件已经发生条件下事件发生的条件概率。

引例、考虑有两个孩子的家庭：

，下列事件

A=｛家中至少有一个男孩｝，则

B=｛家中一男一女｝，则，

=｛家中一男一女｝，

若条件改变为：

考虑有两个孩子的家庭，一直其中至少一个男孩（A），再求出现“一男一女”（B）的概率。

分析：

条件改变后样本空间缩小为，此时根据古典概率计算得，从数值上可以得到

1、定义为发生的条件下事件发生的条件概率。

2、条件概率的性质：

例6、某种动物由出生算起活20岁以上的概率为0.8,活到25岁以上的概率为0.4,如果现在有一个20岁的这种动物,问它能活到25岁以上的概率是多少?

设，，则根据条件概率定义有

，又，，则

例7、

（1）已知5，求

（2）已知求

（1）令，则

，所以

（2）由定义得

再由得出，根据加法公式

例8、甲乙两人独立地对同一目标进行射击，其命中概率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率是多少？

设，，则

=0.8，根据条件概率公式可得

3、乘法公式

；

例9、一批灯泡共100只,其中10只是次品,其余为正品,作不放回抽取,每次取一只,求:

第三次才取到正品的概率。

设={第i次取到正品},i=1,2,3。

A={第三次才取到正品}。

则，故

例10、抽签与次序无关

一场精彩的足球赛将要举行,但5个球迷只搞到一张球票，但大家都想去。

没办法，只好用抽签的方法来确定球票的归属，问：

先抽的人比后抽的人抽到球票的机会大吗？

后抽的人比先抽的人吃亏吗？

我们用表示“第个人抽到入场券”，＝1,2,3,4,5。

则表示“第个人未抽到入场券”，显然，第1个人抽到入场券的概率是1/5，

由于，故，即第2个人抽到入场券的概率是1/5。

同样，，

=（4/5）（3/4）（1/3）=1/5

即第3个人抽到入场券的概率是1/5。

继续做下去就会发现,每个人抽到“入场券”的概率都是1/5，这就是有关抽签顺序问题的正确解答———抽签不必争先恐后。

3全概率公式、贝叶斯（Bayes）公式、事件的独立性

1、全概率公式

样本空间的划分：

全概率公式

证明：

，

=

可以解释为引起事件的原因。

由此可以形象地把全概率公式看成是“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关。

全概率公式表达了因果之间的关系。

例1、有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的占50%，三厂生产的占20%，又知这三个厂的产品次品率分别为2%，1%，1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?

，

由全概率公式得

，

由已知条件有

例2、甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人各自击中的概率分别为0.4、0.5、0.7。

飞机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6,若三人都击中,飞机必定被击落,求飞机被击落的概率。

设{飞机被击落}，{飞机被人击中}

由全概率公式，得

为求,设={飞机被第i人击中}

则

=0.36×

0.2+0.41×

0.6+0.14×

1=0.458

2、贝叶斯（Bayes）公式

，并且

则，

该公式于1763年由贝叶斯（Bayes）给出。

它是在观察到事件已发生的条件下，寻找导致发生的每个原因的概率

例3、设某地区肝癌发病率为0.0004，现用甲胎蛋白法进行普查，医学研究表明，化验结果是有错误的,已知患肝癌者化验结果99%的为阳性（有病），而非肝癌患者其化验结果99.9%的为阴性（无病）。

现在某人的化验结果为阳性，问他真患肝癌的概率是多少？

设，，

已知:

=0.0004,，=0.99,

由贝叶斯公式

思考

（1）结果为阳性，是否一定就是癌症患者？

答案：

不一定

（2）如何提高检验的精确度？

可以继续复查阳性人群，对首次检查得阳性的人群中进行复查，此时上述概率应该修正为

这就大大提高此方法的准确率了。

例4、某人做四个选项的单选题，若不会做就乱猜，假设其乱猜和会做的概率都是，试求

（1）答案对了的概率

（2）若已知答案对了，求他是自己会做的概率。

设A={答案对了}，B={他自己会做}，={他乱猜}，

由全概率公式得

3、事件的独立性

定义1两事件独立：

若两事件A、B满足P（AB）=P（A）P（B），则称、独立，或称、B相互独立。

例5、从一副不含大小王的扑克牌