指数函数及其性质优质学案2Word文档下载推荐.docx
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1时图象
a>
图象
性质
①定义域R,值域(0,+∞)
②a0=1,即x=0时,y=1,图象都经过(0,1)点
③ax=a,即x=1时,y等于底数a
④在定义域上是单调减函数
④在定义域上是单调增函数
⑤x<
0时,ax>
1
x>
0时,0<
ax<
⑥既不是奇函数,也不是偶函数
(1)当底数大小不定时,必须分“”和“”两种情形讨论。
(2)当时,;
当时。
当时,的值越大,图象越靠近轴,递增速度越快。
当时,的值越小,图象越靠近轴,递减的速度越快。
(3)指数函数与的图象关于轴对称。
要点三、指数函数底数变化与图像分布规律
(1)
1②③④
则:
0<b<a<1<d<c
又即:
x∈(0,+∞)时,(底大幂大)
x∈(-∞,0)时,
(2)特殊函数
的图像:
要点四、指数式大小比较方法
(1)单调性法:
化为同底数指数式,利用指数函数的单调性进行比较.
(2)中间量法
(3)分类讨论法
(4)比较法
比较法有作差比较与作商比较两种,其原理分别为:
①若;
;
②当两个式子均为正值的情况下,可用作商法,判断,或即可.
【典型例题】
类型一、指数函数的概念
例1.函数是指数函数,求的值.
【答案】2
【解析】由是指数函数,
可得解得,所以.
【总结升华】判断一个函数是否为指数函数:
(1)切入点:
利用指数函数的定义来判断;
(2)关键点:
一个函数是指数函数要求系数为1,底数是大于0且不等于1的常数,指数必须是自变量.
举一反三:
【变式1】指出下列函数哪些是指数函数?
(1);
(2);
(3);
(4);
(5);
(6).
【答案】
(1)(5)(6)
【解析】
(1)(5)(6)为指数函数.其中(6)=,符合指数函数的定义,而
(2)中底数不是常数,而4不是变数;
(3)是-1与指数函数的乘积;
(4)中底数,所以不是指数函数.
类型二、函数的定义域、值域
例2.求下列函数的定义域、值域.
(2)y=4x-2x+1;
(4)(a为大于1的常数)
(1)R,(0,1);
(2)R[);
(3);
(4)(-∞,-1)∪[1,+∞)
[1,a)∪(a,+∞)
(1)函数的定义域为R(∵对一切xR,3x≠-1).
∵,又∵3x>
0,1+3x>
1,
∴,∴,
∴,∴值域为(0,1).
(2)定义域为R,,∵2x>
0,∴即x=-1时,y取最小值,同时y可以取一切大于的实数,∴值域为[).
(3)要使函数有意义可得到不等式,即,又函数是增函数,所以,即,即,值域是.
(4)∵∴定义域为(-∞,-1)∪[1,+∞),
又∵,∴,∴值域为[1,a)∪(a,+∞).
【总结升华】求值域时有时要用到函数单调性;
第(3)小题中值域切记不要漏掉y>
0的条件,第(4)小题中不能遗漏.
【变式1】求下列函数的定义域:
(1)
(2)
(3)(4)
(1)R;
(4)a>
1时,;
1时,
(1)R
(2)要使原式有意义,需满足3-x≥0,即,即.
(3)为使得原函数有意义,需满足2x-1≥0,即2x≥1,故x≥0,即
(4)为使得原函数有意义,需满足,即,所以a>
1时,.
【总结升华】本题中解不等式的依据主要是指数函数的单调性,根据所给的同底指数幂的大小关系,结合单调性来判断指数的大小关系.
类型三、指数函数的单调性及其应用
例3.讨论函数的单调性,并求其值域.
【思路点拨】对于x∈R,恒成立,因此可以通过作商讨论函数的单调区间.此函数是由指数函数及二次函数复合而成的函数,因此可以逐层讨论它的单调性,综合得到结果.
【答案】函数在区间(-∞,1)上是增函数,在区间[1,+∞)上是减函数(0,3]
解法一:
∵函数的定义域为(-∞,+∞),设x1、x2∈(-∞,+∞)且有x1<x2,
∴,,
.
(1)当x1<x2<1时,x1+x2<2,即有x1+x2-2<0.
又∵x2-x1>0,∴(x2―x1)(x2+x1―2)<0,则知.
又对于x∈R,恒成立,∴.
∴函数在(-∞,1)上单调递增.
(2)当1≤x1<x2时,x1+x2>2,即有x1+x2-2>0.
又∵x2-x1>0,∴(x2―x1)(x2+x1―2)>0,则知
.∴.
∴函数在[1,+∞)上单调递减.
综上,函数在区间(-∞,1)上是增函数,在区间[1,+∞)上是减函数.
∵x2―2x=(x―1)2―1≥-1,,.
∴函数的值域为(0,3].
解法二:
∵函数的下义域为R,令u=x2-2x,则.
∵u=x2―2x=(x―1)2―1,在(―∞,1]上是减函数,在其定义域内是减函数,∴函数在(-∞,1]内为增函数.
又在其定义域内为减函数,而u=x2―2x=(x―1)2―1在[1,+∞)上是增函数,∴函数在[1,+∞)上是减函数.
值域的求法同解法一.
【总结升华】由本例可知,研究型的复合函数的单调性用复合法,比用定义法要简便些,一般地有:
即当a>1时,的单调性与的单调性相同;
当0<a<1时,的单调与的单调性相反.
【变式1】求函数的单调区间及值域.
【答案】上单增,在上单减.
【解析】[1]复合函数——分解为:
u=-x2+3x-2,y=3u;
[2]利用复合函数单调性判断方法求单调区间;
[3]求值域.
设u=-x2+3x-2,y=3u,
其中y=3u为R上的单调增函数,u=-x2+3x-2在上单增,
u=-x2+3x-2在上单减,
则在上单增,在上单减.
又u=-x2+3x-2,的值域为.
【变式2】求函数的单调区间.
【解析】当a>
1时,外层函数y=au在上为增函数,内函数u=x2-2x在区间上为减函数,在区间上为增函数,故函数上为减函数,在区间上为增函数;
当0<
1时,外层函数y=au在上为减函数,内函数u=x2-2x在区间上为减函数,在区间上为增函数,故函数在区间上为增函数,在区间上为减函数.
例4.证明函数在定义域上为增函数.
【思路点拨】利用函数的单调性定义去证明。
【解析】定义域为xR,任取x1<
x2,
.
∵,∴,
又a>
1,x1<
x2,∴,∴,∴f(x1)<
f(x2),
则在定义域上为增函数.
另:
,∵,a>
1且x2-x1>
0,
∴,∴.
【总结升华】指数函数是学习了函数的一般性质后,所学的第一个具体函数.因此,在学习中,尽量体会从一般到特殊的过程.
例5.判断下列各数的大小关系:
(1)1.8a与1.8a+1;
(2)
(3)22.5,(2.5)0,(4)
【思路点拨】利用指数函数的性质去比较大小。
(1)1.8a<
1.8a+1
(2)(3)
(4)当a>
1时,,当0<
(1)因为底数1.8>
1,所以函数y=1.8x为单调增函数,
又因为a<
a+1,所以1.8a<
1.8a+1.
(2)因为,又是减函数,所以,即.
(3)因为,,所以
1时,.
【总结升华】
(1)注意利用单调性解题的规范书写;
(2)不是同底的尽量化为同底数幂进行比较(因为同底才能用单调性);
(3)不能化为同底的,借助一个中间量来比较大小(常用的中间量是“0”和“1”).
【变式1】比较大小:
(1)22.1与22.3
(2)3.53与3.23(3)0.9-0.3与1.1-0.1
(4)0.90.3与0.70.4(5).
(1)22.1<22.3
(2)3.53>3.23.观察两函数值,底数不同,而指数不变——不是指数函数,而是y=x3,它为增函数.
(3)由0.9-0.3,0<
0.9<
1,-0.3<
00.9-0.3>
1.1>
1,-0.1<
00<
1.1-0.1<
1,则0.9-0.3>
1.1-0.1;
(4)由指数函数图象相对位置关系——数形结合,0.90.3>
0.70.4.
(5)∵,又函数为减函数,
,∴,
∵为增函数,时,y>
1,.
另解:
幂函数为增函数,则有,(下略).
【高清课堂:
指数函数369066例1】
【变式2】利用函数的性质比较,,
【解析】=
作出的图象知
所以
【变式3】比较1.5-0.2,1.30.7,的大小.
【解析】先比较的大小.由于底数(0,1),∴在R上是减函数,∵,∴,再考虑指数函数y=1.3x,由于1.3>
1,所以y=1.3x在R上为增函数1.30.7>
1.30=1,∴.
【总结升华】在进行数的大小比较时,若底数相同,则可根据指数函数的性质得出结果,若底数不相同,则首先考虑能否化成同底数,然后根据指数函数的性质得出结果;
不能化成同底数的,要考虑引进第三个数(如0,1等)分别与之比较,从而得出结果.总之比较时要尽量转化成底的形式,根据指数函数单调性进行判断.
例6.(分类讨论指数函数的单调性)化简:
【思路点拨】先把被开方数变形成完全平方式的形式,然后对进行分类讨论,去掉绝对值。
【变式1】如果(,且),求的取值范围.
【答案】当时,;
当时,
(1)当时,由于,
,解得.
(2)当时,由于,
综上所述,的取值范围是:
当时,;
当时,.
类型四、判断函数的奇偶性
例7.判断下列函数的奇偶性:
(为奇函数)
【答案】偶函数
【解析】f(x)定义域关于原点对称(∵定义域关于原点对称,且f(x)的定义域是定义域除掉0这个元素),令,则
∴g(x)为奇函数,又∵为奇函数,∴f(x)为偶函数.
【总结升华】求的奇偶性,可以先判断与的奇偶性,然后在根据奇·
奇=偶,偶·
偶=偶,奇·
偶=奇,得出的奇偶性.
【变式1】判断函数的奇偶性:
.
【解析】定义域{x|xR且x≠0},
又
,
∴f(-x)=f(x),则f(x)偶函数.
类型五、指数函数的图象问题
例8.如图的曲线C1、C2、C3、C4是指数函数的图象,而,则图象C1、C2、C3、C4对应的函数的底数依次是________、_