高斯投影及换带计算PPT推荐.ppt

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,椭球面是一个凸起的、不可展平的曲面，若将这个曲面上的元素（比如一段距离、一个角度、一个图形）投影到平面上，就会和原来的距离、角度、图形呈现差异，这一差异称作投影的变形,投影面上的边长与原面上的相应长度之比，称为长度比。

长度比:

2、地图投影的分类,1）按变形性质分类

（1）等角投影又称为正形投影。

投影面上某点的任意两方向线夹角与椭球面上相应两线段夹角相等，即角度变形为零。

等角投影在一点上任意方向的长度比都相等，但在不同地点长度比是不同的。

（2）等积投影在投影平面上任意一块面积与椭球面上相应的面积相等，即面积变形等于零。

（3）等距投影定义为沿某一特定方向的距离，投影前后保持不变，即沿着该特定方向长度比为1。

在这种投影图上并不是不存在长度变形，它只是在特定方向上没有长度变形。

2）按投影面的形状分类

（1）方位投影：

以平面作为投影面，使平面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到平面上而成。

（2）圆柱投影：

以圆柱面作为投影面，使圆柱面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆柱面上，然后将圆柱面展为平面而成。

（3）圆锥投影：

以圆锥面作为投影面，使圆锥面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆锥面展为平面而成。

3、中国各种地图投影：

1）中国全国地图投影：

斜轴等面积方位投影、斜轴等角方位投影、伪方位投影、正轴等面积割圆锥投影、正轴等角割圆锥投影。

2）中国分省（区）地图的投影：

正轴等角割圆锥投影、正轴等面积割圆锥投影、正轴等角圆柱投影、高斯-克吕格投影（宽带）。

3）中国大比例尺地图的投影：

多面体投影（北洋军阀时期）、等角割圆锥投影（兰勃特投影）（解放前）、高斯-克吕格投影（解放以后）。

从世界范围看，各国大中比例尺地形图所使用的投影很不统一，据不完全统计有十几种之多，最常用的有横轴等角椭圆柱投影等。

中华人民共和国成立后，我国大中比例尺地形图一律规定采用以克拉索夫斯基椭球体元素计算的高斯-克吕格投影。

我国新编1:

100万地形图，采用的则是边纬与中纬变形绝对值相等的正轴等角圆锥投影。

4、常用的几种地图投影,1、控制测量对地图投影的要求,1）等角投影（又称正形投影）,2）长度和面积变形不大，并能用简单公式计算由变形而引起的改正数。

3）能很方便地按分带进行，并能按高精度的、简单的、同样的计算公式和用表把各带联成整体。

6.2高斯投影概述（重点）,高斯投影是等角横切椭圆柱投影。

高斯投影是一种等角投影。

它是由德国数学家高斯（Gauss，17771855）提出，后经德国大地测量学家克吕格（Kruger，18571923）加以补充完善，故又称“高斯克吕格投影”，简称“高斯投影”。

2、高斯投影的基本概念,N,S,c,中央,子,午线,赤道,1）.高斯投影的原理:

高斯投影采用分带投影。

将椭球面按一定经差分带，分别进行投影。

2）、高斯投影必须满足：

（1）高斯投影为正形投影，即等角投影；

（2）中央子午线投影后为直线，且为投影的对称轴；

（3）中央子午线投影后长度不变。

3）、高斯投影的特点:

（1）中央子午线投影后为直线，且长度不变。

（2）除中央子午线外，其余子午线的投影均为凹向中央子午线的曲线，并以中央子午线为对称轴。

投影后有长度变形。

（3）赤道线投影后为直线，但有长度变形。

赤道,中央子午线,平行圈,子午线,O,x,y,（4）除赤道外的其余纬线，投影后为凸向赤道的曲线，并以赤道为对称轴。

（5）经线与纬线投影后仍然保持正交。

（6）所有长度变形的线段，其长度变形比均大于l。

（7）离中央子午线愈远，长度变形愈大。

赤道,中央子午线,平行圈,子午线,O,x,y,4）、投影带的划分,我国规定按经差6和3进行投影分带。

6带自首子午线开始，按6的经差自西向东分成60个带。

3带自1.5开始，按3的经差自西向东分成120个带。

高斯投影带划分,6带与3带中央子午线之间的关系如图:

3带的中央子午线与6带中央子午线及分带子午线重合，减少了换带计算。

工程测量采用3带，特殊工程可采用1.5带或任意带,按照6带划分的规定，第1带中央子午线的经度为3，其余各带中央子午线经度与带号的关系是：

L。

=6N3（N为6带的带号）例：

20带中央子午线的经度为：

6203117按照3带划分的规定，第1带中央子午线的经度为3，其余各带中央子午线经度与带号的关系是：

=3n（n为3带的带号）例：

120带中央子午线的经度为L。

3120360,若已知某点的经度为L，则该点的6带的带号N由下式计算：

若已知某点的经度为L，则该点所在3带的带号按下式计算：

（四舍五入）,高斯平面直角坐标系的建立：

x轴中央子午线的投影y轴赤道的投影原点O两轴的交点,O,x,y,P,（X，Y）,高斯自然坐标,注：

X轴向北为正，y轴向东为正。

赤道,中央子午线,由于我国的位于北半球，东西横跨12个6带，各带又独自构成直角坐标系。

故：

X值均为正，而Y值则有正有负。

x,y,o,500km,=500000+=636780.360m=500000+=227559.720m,国家统一坐标：

（带号）,（带号）,例：

有一国家控制点的坐标:

x=3102467.280m,y=19367622380m，

（1）该点位于6带的第几带？

（2）该带中央子午线经度是多少？

（3）该点在中央子午线的哪一侧？

（4）该点距中央子午线和赤道的距离为多少？

（第19带）,（L。

=619-3=111）,（先去掉带号，原来横坐标y367622.380500000-132377.620m，在西侧）,（距中央子午线132377.620m，距赤道3102467.280m）,不同点：

1、x，y轴互异。

2、坐标象限不同。

3、表示直线方向的方位角定义不同。

相同点：

数学计算公式相同。

高斯平面直角坐标系与数学上的笛卡尔平面直角坐标系的异同点：

3、椭球面三角系化算到高斯平面,将椭球面三角系归算到高斯投影面的主要内容是：

将起始点的大地坐标B，L归算为高斯平面直角坐标x，y；

为了检核还应进行反算，亦即根据x，y反算B，L。

通过计算该点的子午线收敛角及方向改正，将椭球面上起算边大地方位角归算到高斯平面上相应边的坐标方位角。

通过计算各方向的曲率改正和方向改正，将椭球面上各三角形内角归算到高斯平面上的由相应直线组成的三角形内角。

通过计算距离改正，将椭球面上起算边的长度归算到高斯平面上的直线长度。

当控制网跨越两个相邻投影带，需要进行平面坐标的邻带换算。

6.3高斯投影坐标正反算公式（了解）,1、高斯投影坐标正算公式：

B,lx,y,高斯投影必须满足以下三个条件：

中央子午线投影后为直线；

中央子午线投影后长度不变；

投影具有正形性质，即正形投影条件。

对于任何一种投影：

坐标对应关系是最主要的；

如果是正形投影，除了满足正形投影的条件外，还有它本身的特殊条件。

2、高斯投影坐标反算公式：

x,yB,l,满足以下三个条件：

x坐标轴投影后为中央子午线是投影的对称轴；

x坐标轴投影后长度不变；

当B=0时x=X=0，y则随l的变化而变化，这就是说，赤道投影为一直线且为y轴。

当l=0时,则y=0,x=X,这就是说，中央子午线投影亦为直线，且为x轴，其长度与中央子午线长度相等。

两轴的交点为坐标原点。

当l=常数时（经线）,随着B值增加，x值增大，y值减小，这就告诉我们，经线是凹向中央子午线的曲线，且收敛于两极。

又因，即当用-B代替B时，y值不变，而x值数值相等符号相反，这就说明赤道是投影的对称轴。

当B=常数时（纬线），随着的l增加，x值和y值都增大，这就是说，纬线是凸向赤道的曲线。

又当用-l代替l时，x值不变，而y值数值相等符号相反，这就说明，中央子午线是投影对称轴。

由于满足正形投影条件，所以经线和纬线的投影是互相垂直的。

距中央子午线愈远的子午线，投影后弯曲愈厉害，表明长度变形愈大。

3、高斯投影坐标正反算公式的几何解释：

练习1.已知某点的坐标：

B=290405.3373L=1211033.2012计算：

1）.该点的3带和6带带号；

2）.该点的3带高斯投影坐标并反算检核；

子午线收敛角的概念如右图所示，、及分别为椭球面点、过点的子午线及平行圈在高斯平面上的描写。

由图可知，所谓点子午线收敛角就是在上的切线与坐标北之间的夹角，用表示。

在椭球面上，因为子午线同平行圈正交，又由于投影具有正形性质，因此它们的描写线及也必正交，由图可见，平面子午线收敛角也就是等于在点上的切线同平面坐标系横轴的倾角。

6.4.1平面子午线收敛角公式（了解）,6.4椭球面上的方向和长度归算至高斯平面,在中央子午线上l=0,r=0；

在赤道上B=0,r=0。

在同一经线上（l=常数）纬度愈高，r的绝对值也愈大，在极点处最大；

在同一纬线上（B=常数），经差l的绝对值愈大，r的绝对值也愈大。

r为奇函数，有正负，当描写点在中央子午线以东时，经差为正，r也为正；

当描写点在中央子午线以西时，经差为负，r也为负。

1、求的公式,2.由高斯平面坐标x，y计算：

6.4.2方向改化公式（重点）,方向改正数就是指大地线的投影曲线和连接大地线两点的弦之夹角。

我国二等三角网平均边长为13KM，当ym250km时，上式精确至0.01，故通常用于二等三角测量计算。

方向改化数计算公式：

我国三四等三角网平均边长为10KM范围内，可对上式简化，该式精确为0.1。

6.4.3距离改化公式（重点）,由S化至D所加的S改正称为距离改正,当S70km,ym350km（6带的边缘）计算精度小于0.001m，对于一等边长的归算完全可满足要求，对于二等边长的归算可略去项，对于三四等边长的归算又可再略去项。

1距离改换公式,2、距离改化的实用计算公式,一等三角网的距离改正的实用公式：

二等三角网的距离改正的实用公式：

三等三角网以下的距离改正的实用公式：

产生换带的原因高斯投影为了限制高斯投影的长度变形，以中央子午线进行分带，把投影范围限制在中央子午线东、西两侧一定的范围内。

因而，使得统一的坐标系分割成各带的独立坐标系。

在工程应用中，往往要用到相邻带中的点坐标，有时工程测量中要求采用带、带或任意带，而国家控制点通常只有带坐标，这时就产生了带同带（或带、任意带）之间的相互坐标换算问题，如下图所示：

6.5高斯投影的邻带换算（了解）,需要进行坐标邻带换算的情况：

1、控制网跨越两个投影带；

2、在分界子午线附近地区测图，需要用到另一带的三角点作为控制点时；

3、6带、3带、1.5带之间的换算。

坐标邻带换算的一般方法：

把椭球面上的大地坐标作为过渡坐标，首先把某投影带（如21带）内的有关点的平面坐标x，y利用高斯投影反算公式换算成椭球面上的大地坐标B，L。

然后再由大地坐标B，L利用投影正算公式换算成相邻带的（如22带）的平面坐标。

计算步骤：

根据,利用高斯反算公计算换算,，得到，。

采用已求得的,，并顾及到第带的