高三数学一轮复习讲义 平面向量的基本定理及坐标表示教案 新人教A版Word下载.docx

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　4.（x，y）　坐标　（x，y）　x轴　y轴　

②设＝xi＋yj，则向量的坐标（x，y）就是________的坐标，即若＝（x，y），则A点坐标为__________，反之亦成立.（O是坐标原点）

②终点A　（x，y）

注意：

要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息.

5．平面向量的坐标运算

（1）向量加法、减法、数乘向量及向量的模

已知向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）和实数λ，那么a＋b＝________________________，

a－b＝________________________，λa＝________________.|a|＝____________.

（x1＋x2，y1＋y2）　（x1－x2，y1－y2）　（λx1，λy1）　

（2）向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.

已知A（），B（），则＝－＝（x2，y2）－（x1，y1）＝（x2－x1，y2－y1），

即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的__________的坐标减去__________的坐标．

||＝______________.

（2）终点　始点

6．若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）（b≠0），则a∥b的充要条件是________________________．

x1y2－x2y1＝0　

.若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a∥b的充要条件不能表示成

＝，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.同时，a∥b的充要条件也不能错记为x1x2－y1y2＝0，x1y1－x2y2＝0等.

7．

（1）P1（x1，y1），P2（x2，y2），则P1P2的中点P的坐标为_____________________．

（2）P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），则△P1P2P3的重心P的坐标为_______________．

7.

（1）

（2）

点评：

1.基底的不唯一性

只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量a都可被这个平面的一组基底e1，e2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的.

2.向量坐标与点的坐标的区别

在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量＝a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与a的坐标统一为（x，y），但应注意其表示形式的区别，如点A（x，y），向量a＝＝（x，y）.

当平面向量平行移动到时，向量不变即＝＝（x，y），但的起点O1和终点A1的坐标都发生了变化.

基础检测

1.设平面向量a＝（3,5），b＝（－2,1），则a－2b＝__________.（7,3）

2.在▱ABCD中，AC为一条对角线，＝（2,4），＝（1,3），则向量的坐标为____.（－3，－5）　

3.已知向量a＝（1,2），b＝（－3,2），若ka＋b与b平行，则k＝________.0

4.在平面坐标系内，已知点A（2,1），B（0,2），C（－2,1），O（0,0）.给出下面的结论：

①直线OC与直线BA平行；

②＋＝；

③＋＝；

④＝－2.

其中正确结论的个数是（　C　）

　A.1B.2C.3D.4

5.若向量a＝（1,1），b＝（－1,1），c＝（4,2），则c等于（　B　）

A.3a＋bB.3a－bC.－a＋3bD.a＋3b

6．若向量a＝（x,3）（x∈R），则“x＝4”是“|a|＝5”的（　　）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充要条件D．既不充分又不必要条件

A　[由x＝4知|a|＝＝5；

由|a|＝＝5，得x＝4或x＝－4.故“x＝4”是“|a|＝5”的充分而不必要条件．]

7．设a＝，b＝，且a∥b，则锐角α为（　　）

A．30°

B．45°

C．60°

D．75°

B　[∵a∥b，∴×

－sinαcosα＝0，

∴sin2α＝1,2α＝90°

，α＝45°

.]

8.已知向量a=（6，-4），b（0，2），＝c＝a＋λb，若C点在函数y＝sinx的图象上，则实数λ等于（　　）

A.B.C．－D．－

A　[c＝a＋λb＝（6，－4＋2λ），代入y＝sinx得，

－4＋2λ＝sin＝1，解得λ＝.]

9．已知向量a＝（2，－1），b＝（－1，m），c＝（－1，2），若（a＋b）∥c，则m＝________.

解析　a＋b＝（1，m－1），由（a＋b）∥c，

得1×

2－（m－1）×

（－1）＝0，所以m＝－1.

10.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°

.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动，

若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是______.

解析　建立如图所示的坐标系，

则A（1,0），B（cos120°

，sin120°

），

即B（－，）．

设＝,则＝（cosα，sinα）．

∵＝x＋y

＝（x,0）＋＝（cosα，sinα）．

∴　∴

∴x＋y＝sinα＋cosα＝2sin（α＋30°

）．

∵0°

≤α≤120°

，∴30°

≤α＋30°

≤150°

.

∴x＋y有最大值2，当α＝60°

时取最大值．

探究点一　平面向量基本定理的应用

例1如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为

DC，BC的中点，已知＝c，＝d，试用c，d

表示，.

　解　方法一　设＝a，＝b，则a＝＋＝d＋，①

b＝＋＝c＋.②

将②代入①得

a＝d＋

∴a＝d－c＝（2d－c），代入②

得b＝c＋×

（2d－c）＝（2c－d）.

∴＝（2d－c），＝（2c－d）.

方法二　设＝a，＝b.

因M，N分别为CD，BC的中点，所以＝b，＝a，

因而⇒，

即＝（2d－c），＝（2c－d）.

变式训练1

（1）如图，平面内有三个向量、、，其中与的夹角为120°

，与的夹角为30°

，且||＝||＝1，||＝2，若＝λ＋μ（λ、μ∈R），则λ＋μ的值为________．

解析如右图，＝＋

＝λ＋μ

在△OCD中，∠COD＝30°

，∠OCD＝∠COB＝90°

，

可求||＝4，同理可求||＝2，

∴λ＝4，μ＝2，λ＋μ＝6.

（2）在△ABC中，＝，DE∥BC，与边

AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N，

如图，设＝a，＝b，试用a和b表示.

　解　∵＝，DE∥BC，M为BC中点，

∴＝＝＝（b－a）.

探究点二　平面向量的坐标运算

例2　已知A（－2,4），B（3，－1），C（－3，－4）.设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b，

（1）求3a＋b－3c；

（2）求M、N的坐标及向量的坐标.

　解　由已知得a＝（5，－5），b＝（－6，－3），c＝（1,8）.

（1）3a＋b－3c＝3（5，－5）＋（－6，－3）－3（1，8）＝（15－6－3，－15－3－24）＝（6，－42）.

（2）设O为坐标原点，∵＝－＝3c，

∴＝3c＋＝（3,24）＋（－3，－4）＝（0,20）.

∴M（0,20）.又∵＝－＝－2b，

∴＝－2b＋＝（12,6）＋（－3，－4）＝（9,2），∴N（9,2）.∴＝（9，－18）.

变式训练2

（1）已知点A（1，-2），若向量|与a＝（2,3）同向，||＝2，则点B的坐标为________．

解析　∵向量与a同向，

∴设＝（2t,3t）（t>

0）．

由||＝2，∴4t2＋9t2＝4×

13.∴t2＝4.

∵t>

0，∴t＝2.∴＝（4,6）．

设B为（x，y），∴　∴（5,4）

（2）已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（－1,0），（3,0），（1，－5），求第四个顶点的坐标.

解　如图所示，设A（－1,0），B（3,0），C（1，－5），D（x，y）.

（1）若四边形ABCD1为平行四边形，则＝，

而＝（x＋1，y），＝（－2，－5）.

由＝，得

∴∴D1（－3，－5）.

（2）若四边形ACD2B为平行四边形，则＝2.

而＝（4,0），2＝（x－1，y＋5）.

∴∴∴D2（5，－5）.

（3）若四边形ACBD3为平行四边形，则3＝.

而3＝（x＋1，y），＝（2,5），

∴∴∴D3（1,5）.

综上所述，平行四边形第四个顶点的坐标为（－3，－5）或（5，－5）或（1,5）.

探究点三　在向量平行下求参数问题

例3　已知平面内三个向量：

a＝（3,2），b＝（－1,2），c＝（4,1）．

（1）求满足a＝mb＋nc的实数m、n；

（2）若（a＋kc）∥（2b－a），求实数k.

（3）若d满足（d－c）∥（a＋b），且|d－c|＝，求d.

　解　

（1）∵a＝mb＋nc，m，n∈R，

∴（3,2）＝m（－1,2）＋n（4,1）＝（－m＋4n,2m＋n）．

∴　解之得

（2）∵（a＋kc）∥（2b－a），

且a＋kc＝（3＋4k,2＋k），2b－a＝（－5,2），

∴（3＋4k）×

2－（－5）×

（2＋k）＝0，

∴k＝－.

（3）设d＝（x，y），d－c＝（x－4，y－1），a＋b＝（2,4），

由题意得，解得或，

∴d＝（3，－1）或d＝（5,3）.

变式训练3　

（1）已知向量a＝（3,1），b＝（1,3），c＝（k,7），若（a－c）∥b，则k＝________.

解析　∵a－c＝（3,1）－（k,7）＝（3－k，－6），

且（a－c）∥b，∴＝，∴k＝5.

（2）已知a＝（1,0），b＝（2,1）.

求|a＋3b|；

当k为何实数时，ka－b与a＋3b平行，平行时它们是同向还是反向？

解　因为a＝（1,0），b＝（2,1），所以a＋3b＝（7,3），

∴|a＋3b|＝＝.

ka－b＝（k－2，－1），a＋3b＝（7,3），

因为ka－b与a＋3b平行，

所以3（k－2）＋7＝0，即k＝－.

此时ka－b＝（k－2，－1）＝，

a＋3b＝（7,3），则a＋3b＝－3（ka－b），

即此时向量a＋3b与ka－b方向相反.

（