数学：第2章《不等式》学案(沪教版高一上).doc
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不等式
【知识网络】
同加性
传递性
同乘性
对称性
不等式的性质
实数比较大小
不等式的证明
综合法
分析法
比较法
常规方法
特殊方法
换元法
放缩法
判别式法法
反证法
数学归纳法法
解不等式
基本类型不等式的解法
n元均值不等式
绝对值不等式的性质
一元一次不等式
一元一次不等式
一元一次不等式
一元一次不等式
一元一次不等式
一元一次不等式
一元一次不等式
1．1不等式的性质
【考点透视】
一、考纲指要
1．理解不等式的性质及其证明.
二、命题落点
1．不等式的性质主要以客观题形式出现往往融于其他问题之中，.如例1，例2
2．利用不等式的性质结合已知条件比较大小、判断不等式有关结论是否成立或利用不等式研究变量的范围，求字母的取值或取值范围等..如练习9.
【典例精析】
例1:
若则下列不等式不能成立的是（）
A． B．
C． D．
解析:
由知ab>0,因此成立;
由得
由于是减函数,所以亦成立,故一定不成立的是B．
答案：
B．
例2：
（2003•北京）设a，b，c，d∈R，且a>b，c>d，则下列结论中正确的是（）
A．a+c>b+d B．a－c>b－d
C．ac>bd D．
解析：
∵a>b，c>d，∴a+c>b+D．
答案：
A．
例3：
（2005•福建）不等式的解集是（）
A． B．
C． D．
解析:
不等式的解是x>或x<.
答案：
A．
【常见误区】
1．不等式的“运算”只有加法法则和乘法法则，没有减法法则和除法法则，再利用数的性质进行转化时往往出错；
2．在运用不等式的性质是对不等式进行了非同解变形.
【基础演练】
1．（2004•北京）已知a、b、c满足，且，那么下列选项中不一定成立的是
（）
A． B． C． D．
2．（2004•湖北）若，则下列不等式①；②③；④中，正确的不等式有 （）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2004•辽宁）对于，给出下列四个不等式 （）
① ②
③ ④
其中成立的是 （）
A．①与③ B．①与④ C．②与③ D．②与④
4.对“、、是不全相等的正数”，给出下列判断：
①；②＞与＜及≠中至少有一个成立；
③≠，≠，≠不能同时成立．其中判断正确的个数为 （）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．二次函数的部分对应值如下表：
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
y
6
0
-4
-6
-6
-4
0
6
则不等式的解集是_________________．
6．若不等式有且只有一个解，则实数 ．
7．比较大小：
与（且）.
8．已知,求证．
9．定义在上的函数满足:
如果对任意x1,x2∈R,都有
≤
则称函数是上的凹函数．
已知二次函数求证:
当时,函数是凹函数．
1．2算术平均数与几何平均数
【考点透视】
一、考纲指要
1．掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用.
二、命题落点
1．以二元均值不等式的考查最为常见，命题形式往往在选择题或填空题中，如例1，例2，例3.
2．在解答题中常与最值问题结合在一起以及函数的值域等知识一起考查，试题解法突出常规方法，淡化特殊技巧，一般以求最值的形式来问如练习题9.
【典例精析】
例1:
（2005•全国1）当时，函数的最小值为（）
A．2 B． C．4 D．
解析：
，当且仅当，即时，取“”，∵，∴存在使，这时，
答案：
C．
例2：
（2005•福建）下列结论正确的是（）
A．当 B．
C．的最小值为2 D．当无最大值
解析：
A中lgx不满足大于零,C中的最小值为2的x值取不到,D当x=2时有最大值,选B．
答案：
B
例3：
（2005•重庆）若是正数，则的最小值是（）
A．3B．C．4D．
解析：
当且仅当得时.
答案：
C
【常见误区】
1．在运用均值不等式时，对等号成立的条件不注意往往出错；
2．不注意各种不等式成立的条件，误用公式，特别是非负性的考虑.
【基础演练】
1．（2006•陕西）已知不等式（x+y）（+）≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为
（）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．（2004•全国）的最小值为 （）
A．－ B．－ C．－－ D．+
3．已知函数的反函数为则的最小值为
（）
A．1 B． C． D．
4．函数的最大值是 （）
A． B． C． D．
5．（2005全国3）已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P是AB上的点，则点P到AC、BC的距离乘积的最大值是.
6．已知正数则满足不等式的实数的取值范围是 ．
7．是否存在常数，使得不等式对任意正实数、恒成立？
证明你的结论．
8．已知，且，求：
（1）的最小值；
（2）若直线与轴，轴分别交于，求面积的最小值.
9．在交通拥挤地段，为了确保交通安全，规定机动车相互之间的距离d（米）与车速v（千米/
小时）需遵循的关系是d≥（其中a（米）是车身长，a为常量），同时规定d≥．
（1）当d=时，求机动车车速的变化范围；
（2）设机动车每小时流量Q=，应规定怎样的车速，使机动车每小时流量Q最大？
1．3不等式的证明
【考点透视】
一、考纲指要
1．掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式；
2．理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│
二、命题落点
1．不等式的证明的考查主要是与数列、函数、导数、向量等知识相结合考察不等式的证明方法特别是数学归纳法、综合法、比较法等方法的掌握，如例1.
2．考查不等式的基础知识、分类讨论的思想、综合思维能力，如例2，例3.
【典例精析】
例1：
（2004•江苏）已知函数满足下列条件：
对任意的实数x1，x2都有
和，其中是大于0的常数.设实数a0，a，b满足和．
（1）证明：
，并且不存在，使得；
（2）证明：
；
（3）证明：
.
解析：
（1）任取
和②
可知，
从而.假设有①式知
∴不存在
（2）由③
可知④
由①式，得⑤
由和②式知，⑥
由⑤、⑥代入④式，得
．
（3）由③式可知
（用②式）
（用①式）
例2：
（2003•北京）设是定义在区间上的函数，且满足条件：
①
②对任意的
（1）证明：
对任意的
（2）证明：
对任意的
（3）在区间[－1，1]上是否存在满足题设条件的奇函数，且使得
若存在，请举一例：
若不存在，请说明理由.
解析：
（1）由题设条件可知，当时，有
即
（2）对任意的
当不妨设则
所以，
综上可知，对任意的都有
由
（1）可得，当时，
当
所以，当因此，对任意的
当时，当时，有
且
所以
综上可知，对任意的都有
（3）满足所述条件的函数不存在.
理由如下，假设存在函数满足条件，则由
得又所以①
又因为为奇数，所以由条件
得②①与②矛盾，所以假设不成立，即这样的函数不存在.
例3：
正项数列满足．
（1）求及;
（2） 试确定一个正整数N,使当时,不等式
>成立;
（3）求证:
（1+）<．
解析：
（1）（－1）（+1）=0,
又∵，故=,，
==,=,=,…,=．
（2）由==－（）,
=1+（－）+（－）+…+（－）=2－
从而有2－>,∴<,即n！
>121．
∵5！
=120,6！
=720,∴n>5取N=5,n>N时,原不等式成立.
（3）（1+）展开式通项:
T=C·（）=···…··<（r=0,1,2,3,…,n）
（1+）<++++…+=.
【常见误区】
1．不注意挖掘隐含条件从而导致错误；
2．例用均值不等式时不注意非负性导致错误；
3．特别是在运用放缩法时可能会出现过大或过小的情形.
【基础演练】
1．若a＞b＞1，P＝，Q＝（lga＋lgb），R＝lg（），则 （）
A．R＜P＜Q B．P＜Q＜R C．Q＜P＜R D．P＜R＜Q
2．若x>0，y>0，且恒成立，则a的最小值是 （）
A．2 B． C．2 D．1
3．已知则一定有 （）
A． B．
C． D．
4．已知,则 （）
A． B． C． D．
5．给出下列3个命题：
①若，则；②若，则；③若
且，则，其中真命题的序号为______________．
6．已知两个正数满足，则使不等式≥恒成立的实数m的取值范围
是．
7．
（1）求证；
（2）求证
8．已知函数的最大值不大于，又当
（1）求a的值；
（2）设
9．数列由下列条件确定：
（1）证明：
对于,
（2）证明：
对于．
1.4不等式的解法.
【考点透视】
一、考纲指要
1．掌握简单不等式的解法.
二、命题落点
1．主要考查一元二次不等式、对数不等式、指数不等式的解法主要考查非整式不等式的转化方法；如例1，例2；
2．考查含参分式不等式的解法以及分类讨论的思想方法.如例3.
【典例精析】
例1：
（2005•重庆）不等式组的解集为（）
A． B． C． D．
解析：
∵的解集为，的解集为
∴不等式的解集为
答案：
C
例2：
（2005•辽宁）若，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解析：
法一：
代特殊值验证
法二：
①当，即时，无解；
②当，即时，．
答案:
C．
例3：
（2005•江西）已知函数（a，b为常数）且方程f（x）－x+12=0有两个实根为x1=3,x2=4.
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设，解关于x的不等式；．
解析：
（1）将，得
（2）不等式即为，
即
①当
②当
③．
【常见误区】
1．解分式不等式时忘掉分式成立的条件或对函数的单调形运用错误；
2．解含参数不等式时对字母讨论不全面.
【基础演练】
1．（2004•天津）不等式的解集为 （）
A． B．
C． D．
2．不等式的解集为则实数a的取值集合为 （）
A． B．{1} C．{a|a>1} D．
3．（2005•辽宁）在Ｒ上定义运算
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