数学物理方法习题解答(完整版).doc
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数学物理方法习题解答
一、复变函数部分习题解答
第一章习题解答
1、证明在平面上处处不可导。
证明：
令。
，。
，，。
于是与在平面上处处不满足C－R条件，
所以在平面上处处不可导。
2、试证仅在原点有导数。
证明：
令。
。
。
。
所以除原点以外，不满足C－R条件。
而在原点连续，且满足C－R条件，所以在原点可微。
。
或：
。
。
【当，与趋向有关，则上式中】
3、设，证明在原点满足C－R条件，但不可微。
证明：
令，则
，
。
，
；
，
。
在原点上满足C－R条件。
但。
令沿趋于，则
依赖于，在原点不可导。
4、若复变函数在区域上解析并满足下列条件之一，证明其在区域上必为常数。
（1）在区域上为实函数；
（2）在区域上解析；
（3）在区域上是常数。
证明：
（1）令。
由于在区域上为实函数，所以在区域上。
在区域上解析。
由C－R条件得
，。
在区域上为常数。
从而在区域上为常数。
（2）令，则。
在区域上解析。
由C－R条件得
。
（1）
又在区域上解析，由C－R条件得
。
（2）
联立
（1）和
（2），得
。
在区域上均为常数，从而在区域上为常数。
（3）令，则。
由题设知在区域上为常数，。
又由C－R条件得，在区域上
，于是在区域上为常数。
在区域上均为常数，从而在区域上为常数。
5、证明不能成为的一个解析函数的实部。
证明：
令，。
不满足拉普拉斯方程。
从而它不能成为的一个解析函数的实部。
6、若，试证：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
证明：
（1）
，
。
（2）
，
。
（3）
。
（4）
。
7、试证若函数和在解析。
，
则。
（复变函数的洛必达法则）
证明：
。
或倒过来做。
8、求证：
。
证明：
。
第二章习题解答
9、利用积分估值，证明
a．积分路径是从到的
右半圆周。
b．证明积分路径是直线段。
证明：
a．（方法一）
。
（方法二）在半圆周上，，从而
在半圆周上，，，
。
或：
。
b．证:
。
10、不用计算，证明下列积分之值均为零，其中均为圆心在原点，
半径为的单位圆周。
a．；b．。
证明：
a．的奇点为，由于，所以它们均不在以原点为圆心的单位圆内。
在以原点为圆心的单位圆内无奇点，处处解析。
由柯西定理:
。
b．的奇点为，，它们均不在以原点为圆心的单位圆内。
在以原点为圆心的单位圆内处处解析。
由柯西定理:
。
11、计算
a．；b．。
解:
a．在所围区域内解析，且在所围区域内。
由柯西积分公式得
。
b．在所围区域内解析，且在所围区域内。
由推广的柯西积分公式得
。
12、求积分（），从而证明。
解:
在所围区域内解析，且在所围区域内。
由柯西积分公式得。
（1）
在上令，，则
，
其中利用了，由于是的奇函数，而是
的偶函数，所以
，。
。
（2）
从而，联立
（1）和
（2），得
。
13、由积分之值，证明，为单位圆周。
证明：
在单位圆周所围区域内解析。
由柯西定理:
。
（1）
另一方面，在上，，
（2）
为的奇函数，
（3）
由
（1）、
（2）及（3）得
。
（4）
又的偶函数，
。
（5）
于是由（4）和（5）得
。
14、设，证明积分
a.当是圆周时，等于；
b.当是圆周时，等于；
c.当是圆周时，等于。
证明：
的奇点为及。
a.当是圆周时，及均在圆外，在圆内
解析。
由柯西定理:
。
b.当是圆周时，仅在圆内。
由柯西积分公式
得。
c.当是圆周时，仅在圆内。
由柯西积分公式
得。
第三章习题解答
15、求下列级数的收敛半径，并对c讨论级数在收敛圆周上的敛散情况。
a.；b.；c.（为常数）。
解:
a.。
b.。
c.。
或。
【（洛必达法则）】
在收敛圆周上，，级数成为。
，它的通项在时，不趋于。
故级数发散。
16、试求下列级数的收敛半径。
a.；b.；c.。
解:
a.当时，级数收敛。
当时，级数发散。
亦即当时，级数收敛。
而当时，级数发散。
于是收敛半径。
b.。
c.，。
又因为，且，
故。
于是所求级数的收敛半径。
或：
，。
当时，，
当时，，
17、将下列函数按的幂展开，并指明收敛范围。
a.；b.。
解:
a.，，
。
b.，，
。
18、将下列函数按的幂展开，并指出收敛范围。
a.；b.；c.。
解:
a.。
，，
。
，。
。
或：
令，则，，
所以。
b.
c.
令，
，
从而
进一步，
所以。
19、将下列函数在指定的环域内展成罗朗级数。
a.,；b.。
解:
a.。
在内,，
。
在内,，，
。
b.
在内，，且，
。
，
。
20、将下列函数在指定点的无心邻域内展成罗朗级数，并指出成立范
围。
a.【】；b.【】。
解:
a.的无心邻域为，
，且，
【】
。
，
。
b.当时，，
，
。
21、把展成下列级数。
（1）在上展成的泰勒级数；
（2）在上展成的罗朗级数；
（3）在上展成的泰勒级数；
（4）在上展成的罗朗级数。
解:
（1）在上，，【在上解析】。
（2）在上，。
（3）在上解析，且，所以
。
（4）在上，，所以
。
第四章习题解答
22、确定下列各函数的孤立奇点，并指出它们是什么样的类型（对于极点，要指出它们的阶），对于无穷远点也要加以讨论：
（1）；
（2）；（3）。
解:
（1）是的孤立奇点且是极点。
，
是的一阶零点，从而是的一阶极点；
，
，
是的二阶零点，从而是的二阶极点。
在内解析，，是可去奇点，四阶零点。
（2）在的罗朗展开式的主要
部分有无穷多项，
是的本性奇点。
在内解析，，
是的可去奇点。
（3），
的零点，是的极点。
又，
是的一阶零点，从而是的一阶极点。
是的奇点，但不是孤立奇点，因为在无穷远点的的任何邻域内,总有其它奇点。
23、求在孤立奇点处的留数。
解:
的解，是的奇点。
由于，是的极点。
又
，
是的一阶零点，从而是的一阶极点。
不是的孤立奇点，因为在它的任一邻域内,总有其它的奇点。
由推论2：
。
【】
24、求下列函数在指定点处的留数。
（1）在；
（2）在，。
解:
（1）为的一阶级点.，
为的二阶极点。
，
。
由于已是的所有有限孤立奇点，
。
（2）在的罗朗展开式为
。
由于是的仅有的一个有限孤立奇点，
。
【在的罗朗展开式为
】
25、求下列函数在其奇点（包括无穷远点）处的留数，（是自然数）
（1）（是自然数）；
（2）；
（3）。
解:
（1）是的有限远孤立奇点。
在,的罗朗展开式为。
令,则。
为非负整数，只有为偶数时上式才成立。
而当为奇数时,，即在的罗朗展开式中没有次幂项，即。
当为奇数时,。
当为偶数时,的项是次幂项，，所以，此时。
总之，不管为偶数或奇数，都有。
（2）是的唯一的有限奇点,且是二阶极点。
，
（3），，是的孤立奇点。
在点的罗朗展开式为
在解析，且为的偶函数,所以它在处的泰勒展开式中只有的偶次项。
而
，
及
。
，
次幂项的系数
。
不是的孤立奇点。
26、求下列函数在其孤立奇点（包括无穷远点）处的留数。
（1）；
（2）。
解:
（1）是的本性奇点，为其孤立奇点。
在点的罗朗展开式为
。
当时，即，时,的系数即为
，所以
【利用了】。
。
（2）是的阶极点，而是的一阶（单）极点。
，
。
是的仅有的二个有限远孤立奇点，
。
27、计算下列积分
（1）；
（2）为自然数；
（3）。
解:
（1）是被积函数在单位圆内的孤立奇点。
，
。
是的二阶零点，也就是的二阶极点。
。
由留数定理，得
。
（2）由于，，被积函数在单位圆内有二个阶极点，。
于是
。
同理。
由留数定理，得
。
（3）被积函数，
，是在圆内的二个一阶极点。
，
。
由留数定理，得
。
28、求下列各积分值
（1）；
（2）。
解:
（1），
。
令，则，
。
令，，，则
。
有二个一阶极点，。
，在单位圆外。
又，在单位圆内。
由关于极点的留数定理的推论2，得
。
由留数定理，得
。
（2），
。
令，则。
。
令，，，则
。
有两个一阶极点和
。
，在单位圆外。
，在单位圆内。
由关于极点的留数定理的推论2，得
。
由留数定理，得
。
29、求下列各积分的值
（1）；
（2）；
（3）（）。
解:
（1）。
在实轴上无奇点，且。
有四个一阶极点，但只有二个，在上半平面。
，
。
。
（2）在实轴上无奇点,当时,。
在上半平面有两个一阶极点和。
，
。
。
（3）在实轴上无奇点,且。
在上半平面有二个一阶极点和
。
由关于极点的留数定理的推论2，得
，
。
。
30、从出发，其中为如图所示之围线，方
向沿逆时针方向。
证明
。
解:
在所围的区域内解析，由柯西定理:
。
（1）
又。
（2）
令,则
，
。
又，
。
（3）
，
。
又，，
。
（4）
令,由
（1）、
（2）、（3）、（4）得
，（5）
而，及，
于是。
（6）
由（5）和（6）得
。
（7）
比较（7）两边的实部和虚部，得
。
（8）
进一步，若令，则（8）成为
，
从而。
二、数学物理方程及特殊函数部分习题解答
第五章习题解答
31、弦在阻尼介质中振动，单位长度的弦所受阻力（比例常数叫做阻力系数），试推导弦在这阻尼介质中的振动方程。
解：
与课上推导弦的受迫振动方程一样，令其中的，，
弦在介质中的振动方程为：
，即
，，。
32、长为柔软均质轻绳，一端（）固定在以匀速转动的竖直轴上。
由于惯性离心力的作用，这绳的平衡位置应是水平线。
试推导此绳相对于水平线的横振动方程。
解：
研究位于到这一段绳A的振动情况。
设绳的质量密度为。
A在纵向没有运动，于是A所受的纵向合力为零，即A所受的张力在纵向的合力等于其所受的惯性离心力，
即
（1）
在横向，由牛顿第二定律，得
（2）
在小振动条件下，有
，，
注意到，，由
（1）得
，
即
于是绳中任一点处的张力为
。
（3）【段的惯性离心力】
又，，代入
（2）得
，
即，（4）
将的表达式（3）代入（4），得绳相对于水平线的横振动方程为
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