数学分析(2)期末试题.doc

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数学分析

（2）期末试题

课程名称　数学分析（Ⅱ）　　　　　

适用时间　

试卷类别　1　

适用专业、年级、班应用、信息专业

一、单项选择题（每小题3分，3×6＝18分）

1、下列级数中条件收敛的是（）．

A．B．C．D．

2、若是内以为周期的按段光滑的函数,则的傅里叶（Fourier）级数在

它的间断点处（）．

A．收敛于B．收敛于

C．发散D．可能收敛也可能发散

3、函数在上可积的必要条件是（）．

A．有界B．连续C．单调D．存在原函数

4、设的一个原函数为，则（）

A．B．C．D．

5、已知反常积分收敛于1，则（）

A．B．C．D．

6、收敛，则（）

A．B．C．为任意实数D．

二、填空题（每小题3分，3×6＝18分）

1、已知幂级数在处条件收敛，则它的收敛半径为．

2、若数项级数的第个部分和，则其通项，和．

3、曲线与直线，及轴所围成的曲边梯形面积为．

4、已知由定积分的换元积分法可得，，则，．

5、数集的聚点为．

6、函数的麦克劳林（Maclaurin）展开式为．

65

三、计算题（每小题6分，6×5＝30分）

1、．2、．

3、．4、．

5、．

四、解答题（第1小题6分，第2、3小题各8分，共22分）

1、讨论函数项级数在区间上的一致收敛性．

2、求幂级数的收敛域以及收敛区间内的和函数．

3、设,将在上展为傅里叶（Fourier）级数．

五、证明题（每小题6分，6×2＝12分）

1、已知级数与都收敛，且

证明：

级数也收敛．

2、证明：

．

66

试题参考答案与评分标准

课程名称　数学分析（Ⅱ）　　　　　　　　

适用时间　　　

试卷类别　1　

适用专业、年级、班应用、信息专业　

一、单项选择题（每小题3分，3×6＝18分）

⒈B⒉B⒊A⒋C⒌D⒍D

二、填空题（每小题3分，3×6＝18分）

⒈⒉⒊

⒋⒌⒍

三、计算题（每小题6分，6×5＝30分）

1.解

（3分）

（3分）

2.解由分部积分公式得

（3分）

（3分）

3.解令

由定积分的换元积分公式，得

（3分）

67

（3分）

4.解由洛必达（L＇Hospital）法则得

（4分）

（2分）

5.解

（2分）

（2分）

（2分）

四、解答题（第1小题6分，第2、3小题各8分，共22分）

1.解（正整数）

（3分）

而级数收敛，故由M判别法知，

在区间上一致收敛．（3分）

68

2.解幂级数的收敛半径，

收敛区间为．（2分）

易知在处收敛，而在发散，

故的收敛域为．（2分）

（2分）

逐项求积分可得

．

即（2分）

3.解函数及其周期延拓后的图形如下

函数显然是按段光滑的，

故由收敛性定理知它可以展开为Fourier级数。

（2分）

由于在为奇函数，

故

而

（4分）

所以在区间上，

（2分）

69

五、证明题（每小题5分，5×2＝10分）

1.证明由与都收敛知，

级数也收敛。

（1分）

又由

可知，

从而由正项级数的比较判别法知

收敛，（2分）

于是由

知级数收敛．（2分）

2.证明令，则.（1分）

由定积分的换元积分公式，得

（2分）

（2分）

70