数值分析试卷及其答案7.doc
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1.为了使的近似值的相对误差限小于0.1%，要取几位有效数字？
（5分）
解、解：
设有n位有效数字，由 ，知
令,
取,
故
2设方程的迭代法为
证明对,均有,其中为方程的根.（5分）
证明：
迭代函数，对有
，
3设，分别在上求一元素，使其为的最佳平方逼近，并比较其结果。
（10分）
5分
（4分）
由结果知
（1）比
（2）好。
（比较1分）
4、用列主元素消元法求解方程组.（10）
解：
解：
（8分）
回代得。
（2分）
5、对线性代数方程组（10）
设法导出使雅可比（Jacobi）迭代法和高斯－赛德尔（G-S）迭代法均收敛的迭代格式，要求分别写出迭代格式，并说明收敛的理由。
解：
因其变换后为等价方程组，且严格对角占优，故雅可比和高斯－赛德尔迭代法均收敛。
（5分）
雅可比迭代格式为：
（2分）
高斯－赛德尔代格式为：
（3分）
6、、取节点,求函数在区间[0,1]上的二次插值多项式,并估计误差。
（8分）
解：
又5分
故截断误差。
3分
7、用幂法求矩阵按模最大的特征值及相应的特征向量，取，精确至7位有效数字。
（10）
解：
幂法公式为，
取x0=（1,1）T，列表如下：
k
yT
mk
xT
1
（102，33.9）
102
（1,0.332353）
2
（99.997059,33.2991174）
99.997059
（1,0.3330009675）
3
（99.9990029,33.29970087）
99.9990029
（1,0.333000329）
4
（99.99900098,33.29970029）
99.99900098
（1,0.333000330）
因为，所以
8、用欧拉方法求
在点处的近似值。
（8分）
解：
等价于
（）（2分）
记,取,.
则由欧拉公式
2分
可得,
4分
9、已知A=，求，，10分
解：
，（4分）
，
得，所以。
（6分）
10、、n=3,用复合梯形公式求的近似值（取四位小数）,并求误差估计。
（5分）
解：
，时，3分
至少有两位有效数字。
2分
11、下列方程组Ax=b，
考查用Jacobi法和GS法解此方程组的收敛性.（8分）
解：
Jacobi法的迭代矩阵是
即，故，Jacobi法法收敛、（4分）
GS法的迭代矩阵为
故，解此方程组的GS法不收敛。
（4分）
12、写出用四阶经典的龙格—库塔方法求解下列初值问题的计算公式：
（无需计算）
13、若，求和
解：
由均差与导数关系
于是
14、确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度.
解：
代入公式两端并使其相等，得
解此方程组得，于是有
再令，得
故求积公式具有3次代数精确度。
15、、计算积分，若用复合Simpson公式要使误差不超过，问区间要分为多少等分?
解：
由Simpson公式余项及得
即，取n=6，即区间分为12等分可使误差不超过
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