朝阳一模 北京市朝阳区届高三第一次综合练习数学文试题 Word版含答案Word文档下载推荐.docx

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D．计算的值

（5）已知，，满足，则

A．

B．

C．

D．

（6）函数图象的一条对称轴方程是

A．B.C.D.

（7）已知实数，满足其中．若的最大值为5，则z的最小值为

A．B．C．D．

（8）已知边长为3的正方形与正方形所在的平面互相垂直，为线段上的动点（不含端点），过作交于，作交于，连结．设，则下面四个图象中大致描绘了三棱锥的体积与变量变化关系的是

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题：

本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．

（9）为虚数单位，计算=．

（10）已知平面向量，满足，与的夹角为，则．

（11）圆与轴相交于两点，则弦所对的圆心角的大小为．

（12）一个四棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为正三角形，则该四棱锥的体积是，四棱锥侧面中最大侧面的面积是．

（13）稿酬所得以个人每次取得的收入，定额或定率减除规定费用后的余额为应纳税所得额，每次收入不超过4000元，定额减除费用800元；

每次收入在4000元以上的，定率减除20%的费用.适用20%的比例税率，并按规定对应纳税额减征30%，计算公式为：

（1）每次收入不超过4000元的：

应纳税额=（每次收入额－800）×

20%×

（1－30%）

（2）每次收入在4000元以上的：

应纳税额=每次收入额×

（1－20%）×

（1－30%）.

已知某人出版一份书稿，共纳税280元，这个人应得稿费（扣税前）为元．

（14）记为区间的长度．已知函数，（），其值域为，则区间的长度的最小值是．

三、解答题：

本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

（15）（本小题满分13分）

在中，，，．

（Ⅰ）求的长；

（Ⅱ）求的面积．

（16）（本小题满分13分）

某次考试结束后，为了解甲、乙两所学校学生的数学考试情况，随机抽取甲、乙两校各10名学生的考试成绩，得茎叶图如图所示（部分数据不清晰）：

（Ⅰ）请根据茎叶图判断哪个学校的数学成绩平均水

平较高（直接写出结果）；

（Ⅱ）若在抽到的这20名学生中，分别从甲、乙两校

随机各抽取1名成绩不低于90分的学生，求抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率．

（17）（本小题满分14分）

如图，在三棱柱中，各个侧面均是边长为的正方形，为线段的中点．

（Ⅰ）求证：

⊥平面；

（Ⅱ）求证：

直线∥平面；

（Ⅲ）设为线段上任意一点，在内的平面区域（包括边界）是否存在点，使，并说明理由．

（18）（本小题满分13分）

设数列的前项和为，且，，.

（Ⅰ）写出，，的值；

（Ⅱ）求数列的通项公式；

（Ⅲ）已知等差数列中，有，，求数列的前项和．

（19）（本小题满分14分）

已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为．过焦点的直线（斜率不为0）与椭圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点，直线交椭圆于两点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）当四边形为矩形时，求直线的方程．

（20）（本小题满分13分）

已知函数，．

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，求证：

在上为增函数；

（Ⅲ）若在区间上有且只有一个极值点，求的取值范围．

数学试卷答案（文史类）

2015.4

题号

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

答案

B

D

C

A

（9）

（10）

（11）

（12）

（13）

（14）

2800

（Ⅰ）因为，，又，

所以.

由正弦定理得，.

所以.………6分

（Ⅱ）在中，

=

=.

所以==.……13分

解：

（Ⅰ）从茎叶图可以看出，乙校10名学生的考试成绩的平均分高于甲校10名学生的考试成绩平均分，故乙校的数学成绩整体水平较高．………4分

（Ⅱ）设事件：

分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的同学，抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩．

由茎叶图可知，甲校成绩不低于90分的同学有2人，从小到大依次记为；

乙校成绩不低于90分的同学有5人，从小到大依次记为．

其中

分别从甲、乙两校各随机抽取1名成绩不低于90分的同学共有这10种可能．

其中满足“抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩”共有这4种可能．

所以．

即分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的同学，抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率为.………13分

（Ⅰ）证明：

因为三棱柱的侧面是正方形，

所以,.

所以底面．

因为底面，所以．

由已知可得，底面为正三角形．

因为是中点，所以．

因为，所以平面．………5分

（Ⅱ）证明：

如图，连接交于点，连接．

显然点为的中点．

因为是中点，所以．

又因为平面，平面，

所以直线平面．………10分

（Ⅲ）在内的平面区域（包括边界）存在一点，使．

此时点是在线段上.证明如下：

过作交线段于，

由（Ⅰ）可知平面，而平面，

所以．

又，，所以平面．

又平面，所以．………14分

（Ⅰ）解：

因为，，

所以，，

．………3分

（Ⅱ）当时，．

又当时，．

所以………6分

（Ⅲ）依题意，，.

则由得，，,则.

所以

因为=

，

.

所以.………13分

（Ⅰ）由题意可得

解得，.

故椭圆的方程为．………5分

（Ⅱ）由题意可知直线斜率存在，设其方程为，点，，，，

由得，

因为，

所以中点．

因此直线方程为．

由解得，．

因为四边形为矩形，所以，

即．

　解得．故直线的方程为．………14分

函数定义域为，.

（Ⅰ）当时，，.

所以曲线在点处的切线方程是，

即.………3分

（Ⅱ）当时，.

设，则.

令得，或，注意到，所以.

令得，注意到，得.

所以函数在上是减函数，在上是增函数.

所以函数在时取得最小值，且.

所以在上恒大于零.

于是，当，恒成立.

所以当时，函数在上为增函数.………7分

（Ⅱ）问另一方法提示：

当时，.

由于在上成立，即可证明函数在上为增函数.

（Ⅲ）（Ⅱ）.

设，.

（1）当时，在上恒成立，

即函数在上为增函数.

而，，则函数在区间上有且只有一个零点，使,且在上，，在上，，故为函数在区间上唯一的极小值点;

（2）当时，当时，成立，函数在区间上为增函数，又此时，所以函数在区间恒成立，即，

故函数在区间为单调递增函数，所以在区间上无极值；

（3）当时，.

当时，总有成立，即成立，故函数在区间上为单调递增函数，所以在区间上无极值.

综上所述.………13分