高考跳出题海我有36计之高中数学破题之道word版含答案 2.docx

高考跳出题海我有36计之高中数学破题之道word版含答案 2.docx

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高考跳出题海我有36计之高中数学破题之道word版含答案2

跳出题海，我有36计

第11计耗子开门就地打洞

【计名释义】

《说唐》中有这样一个故事.唐太宗征北，困在木阳城，绝粮.军师献计，沿着鼠洞挖去，可能找到粮食.结果，真的在地下深处发现了粮仓.太宗嘉奖耗子的牙啃立功，并题诗曰：

鼠郎个小本能高，日夜磨牙得宝刀，唯恐孤王难遇见，宫门凿出九条槽.

庞大的数学宝库也是众多的“数学耗子”啃穿的.你可知道，前1万个质数就是这些耗子们一个个啃出来的，七位数字对数表也是这样啃出来的.

数学解题，当你无计可施，或者一口难吞时，那就决定“啃”吧.

【典例示范】

【例1】如图，在直四棱柱中，底面为菱形，，,为中点.

（Ⅰ）证明：

面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.

【解析】试题分析：

（Ⅰ）设，连，由中位线的性质可得，结合线面平行的判断定理可得面.

（Ⅱ）过作，垂足为，连，则是二面角的平面角.

由题意可得，，.即二面角的余弦值为.

【例2】已知，则的最小值为__________．

【答案】

【解析】

，当且仅当时取等号

点睛：

在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.

【强化训练】

1．如图，已知△ABC中，点M在线段AC上，点P在线段BM上且满足若,，则的值为（）

A.2B.C.﹣2D.

【答案】B

【解析】由题意

，

，故选B．

2．已知，则的最小值为（）

A.24B.28C.32D.36

【答案】C

【解析】由题意可知：

，

由可得：

，则：

当且仅当时等号成立，

综上可得：

的最小值为32.

本题选择C选项.

点睛：

在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．

3．当时，求证：

．

【答案】见解析

【解析】试题分析：

利用分析法证明，移项、平方；再移项、再平方，从而化简可得，而显然成立，所以成立

试题解析：

要证，

只需证，

只需证，

只需证，

只需证，

只需证，

即证，而显然成立，

所以成立．

4．a、b、c、d∈R+,求证:

【答案】见解析

【解析】试题分析：

运用分析法证明，要证原不等式成立，可考虑两边平方，化简整理，再由柯西不等式（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，即可得证．

解析：

要证不等式成立,

只需证（）2≥（a+c）2+（b+d）2成立.

即a2+b2+c2+d2+2≥a2+b2+c2+d2+2ac+2bd.

即证≥ac+bd成立.

∵a、b、c、d∈R+,只需证（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2.

即a2c2+a2d2+b2c2+b2d2≥a2c2+2abcd+b2d2.即证a2d2+b2c2≥2abcd成立.

∵a、b、c、d∈R+,∴a2d2+b2c2≥2abcd成立.

∴.

点睛：

本题考查不等式的证明，考查柯西不等式的运用，以及不等式的性质的运用，考查推理能力，属于中档题．对于不等式的证明，常用方法有分析法，从结果入手，反证法用于不太好证的题或者显而易见的证明题。

5．选修4-5：

不等式选讲

设不等式的解集为．

（Ⅰ）求集合；

（Ⅱ）若，求证：

．

【答案】

（1）

（2）见解析

【解析】试题分析：

（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集

（2）利用分析法证明，将所求不等式转化为，再根据，证明

点睛：

（1）分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.

（2）利用综合法证明不等式，关键是利用好已知条件和已经证明过的重要不等式.

6．已知函数是定义在上的奇函数.

（1）求的值和实数的值；

（2）判断函数在上的单调性，并给出证明；

（3）若且求实数的取值范围.

【答案】

（1）

（2）增函数，见解析；（3）

试题解析：

（I）

因为是奇函数。

所以：

，

，

即对定义域内的都成立..

所以或（舍）

.

（Ⅱ）

；

设

设，则

.

当时，在上是增函数.

（Ⅲ）由

得

函数是奇函数

，

，

由（Ⅱ）得在上是增函数

的取值范围是

7．【选修4-5：

不等式选讲】

（1）解不等式；

（2）已知实数，，满足，求的取值范围.

【答案】

（1）

（2）

【解析】试题分析：

（1）分段讨论去绝对值解不等式即可；

（2）由，，，三式相加得：

，因为，所以，即可得解.

试题解析：

（1）由

可化为或或，

解得，

所以，不等式的解集为．

（2）因为，，，

三式相加得：

，

即，（当且仅当时，取“=”）

又因为

所以，（当且仅当时，取“=”，有无数组解）

故的取值范围为

8．如图1，已知直角梯形ABCD中，，AB//DC，AB⊥AD，E为CD的中点，沿AE把△DAE折起到△PAE的位置（D折后变为P），使得PB=2，如图2．

（Ⅰ）求证：

平面PAE⊥平面ABCE；

（Ⅱ）求点B到平面PCE的距离．

【答案】

（1）见解析

（2）

【解析】试题分析：

取的中点，连接，，，可知，为等腰直角三角形，证得，，再由勾股定理证得，即可证明利用等体积法，即可求点到平面的距离

解析：

（Ⅰ）如图，取AE的中点O，连接PO，OB，BE．由于在平面图形中，如题图1，连接BD，BE，易知四边形ABED为正方形，∴在立体图形中，△PAE，△BAE为等腰直角三角形，

∴PO⊥AE，OB⊥AE，PO=OB=，

∵PB=2，∴，

∴PO⊥OB

又，∴平面PO⊥平面ABCE，

∵PO平面PAE，∴平面PAE⊥平面ABCD

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，PO⊥AE，OB⊥AE，，故AE⊥平面POB．

∵PB平面POB，∴AE⊥PB，又BC//AE，∴BC⊥PB．

在Rt△PBC中，

在△PEC中，PE=CE=2，

∴

设点B到平面PCE的距离为d，由，

得

9．已知，，函数，的最大值为4.

（1）求的值；

（2）求的最小值.

【答案】

（1）

（2）

【解析】试题分析：

（1）利用绝对值三角不等式可得，即；

（2），利用均值不等式求最小值.

试题解析：

（Ⅰ）函数，所以，

因为，

所以．

（Ⅱ），

当且仅当，即时，取得最小值．

10．在平行六面体中，为与的交点.若，则向量可以用表示__________．

【答案】

【解析】

在平行四边形中，与交于M点，，

所以