高考数学一轮复习专题变量间的相关关系与统计案例Word文档下载推荐.docx
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（1）分类变量：
变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量．
（2）列联表：
列出两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表（称为2×
2列联表）为
2×
2列联表
y1
y2
总计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
构造一个随机变量K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．
（3）独立性检验
利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．
【思考辨析】
判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×
”）
（1）相关关系与函数关系都是一种确定性的关系，也是一种因果关系．（ ×
）
（2）“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系．（ √ ）
（3）只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值．（ √ ）
（4）某同学研究卖出的热饮杯数y与气温x（℃）之间的关系，得回归方程＝－2.352x＋147.767，则气温为2℃时，一定可卖出143杯热饮．（ ×
（5）事件X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的K2的观测值越大．（ √ ）
（6）由独立性检验可知，有99%的把握认为物理成绩优秀与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀．（ ×
1．（2015·
湖北）已知变量x和y满足关系＝－0.1x＋1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是（ ）
A．x与y正相关，x与z负相关
B．x与y正相关，x与z正相关
C．x与y负相关，x与z负相关
D．x与y负相关，x与z正相关
答案 C
解析 因为＝－0.1x＋1，－0.1<
0，所以x与y负相关．又y与z正相关，故可设＝y＋（>
0），所以＝－0.1x＋＋，－0.1<
0，所以x与z负相关．故选C.
2．（教材改编）下面是2×
2列联表：
则表中a，b的值分别为（ ）
合计
21
73
22
25
47
46
120
A．94,72B．52,50C．52,74D．74,52
解析 ∵a＋21＝73，∴a＝52.又a＋22＝b，∴b＝74.
3．（2016·
河南八市质检）为了研究某大型超市当天销售额与开业天数的关系，随机抽取了5天，其当天销售额与开业天数的数据如下表所示：
开业天数x
10
20
30
40
50
当天销售额y/万元
62
75
81
89
根据上表提供的数据，求得y关于x的线性回归方程为＝0.67x＋54.9，由于表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为（ ）
A．67B．68C．68.3D．71
答案 B
解析 设表中模糊看不清的数据为m，因为＝＝30，
又样本中心点（，）在回归直线＝0.67x＋54.9上，
所以＝＝0.67×
30＋54.9，得m＝68，故选B.
4．（2017·
湖南三校联考）某产品在某零售摊位的零售价x（单位：
元）与每天的销售量y（单位：
个）的统计资料如下表所示：
x
16
17
18
19
y
34
41
31
由上表可得线性回归方程＝x＋中的＝－4，据此模型预测零售价为15元时，每天的销售量为（ ）
A．51个B．50个C．49个D．48个
解析 由题意知＝17.5，＝39，代入线性回归方程得
＝109,109－15×
4＝49，故选C.
5．（2016·
玉溪一中月考）利用独立性检验来判断两个分类变量X和Y是否有关系，通过查阅下表来确定“X和Y有关系”的可信度．为了调查用电脑时间与视力下降是否有关系，现从某地网民中抽取100位居民进行调查．经过计算得K2≈3.855，那么就有________%的把握认为用电脑时间与视力下降有关系.
P（K2≥k0）
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
答案 95
解析 根据表格发现3.855>
3.841,3.841对应的是0.05，所以根据独立性检验原理可知有95%
的把握认为用电脑时间与视力下降有关系.
题型一 相关关系的判断
例1
（1）四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得线性回归方程，分别得到以下四个结论：
①y与x负相关且＝2.347x－6.423；
②y与x负相关且＝－3.476x＋5.648；
③y与x正相关且＝5.437x＋8.493；
④y与x正相关且＝－4.326x－4.578.
其中一定不正确的结论的序号是（ ）
A．①②B．②③
C．③④D．①④
（2）x和y的散点图如图所示，则下列说法中所有正确命题的序号为________．
①x，y是负相关关系；
②在该相关关系中，若用y＝c1拟合时的相关系数的平方为r，用＝x＋拟合时的相关系数的平方为r，则r>
r；
③x、y之间不能建立线性回归方程．
答案
（1）D
（2）①②
解析
（1）由线性回归方程＝x＋知当>
0时，y与x正相关，当<
0时，y与x负相关，∴①④一定错误．
（2）①显然正确；
由散点图知，用y＝c1拟合的效果比用＝x＋拟合的效果要好，故②正确；
x，y之间能建立线性回归方程，只不过预报精度不高，故③不正确．
思维升华 判定两个变量正、负相关性的方法
（1）画散点图：
点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；
点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关．
（2）相关系数：
r>
0时，正相关；
r<
0时，负相关．
（3）线性回归方程中：
>
<
（1）在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1，x2，…，xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）（i＝1,2，…，n）都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ）
A．－1B．0C.D．1
（2）变量X与Y相对应的一组数据为（10,1），（11.3,2），（11.8,3），（12.5,4），（13,5）；
变量U与V相对应的一组数据为（10,5），（11.3,4），（11.8,3），（12.5,2），（13,1）．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则（ ）
A．r2＜r1＜0B．0＜r2＜r1
C．r2＜0＜r1D．r2＝r1
答案
（1）D
（2）C
解析
（1）所有点均在直线上，则样本相关系数最大，即为1，故选D.
（2）对于变量Y与X而言，Y随X的增大而增大，故Y与X正相关，即r1＞0；
对于变量V与U而言，V随U的增大而减小，故V与U负相关，即r2＜0，故选C.
题型二 线性回归分析
例2 （2016·
全国丙卷）下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：
亿吨）的折线图．
注：
年份代码17分别对应年份2008－2014.
（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．
附注：
参考数据：
i＝9.32，iyi＝40.17，＝0.55，≈2.646.
参考公式：
相关系数r＝，
回归方程＝＋t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
＝，＝－.
解
（1）由折线图中数据和附注中参考数据得
＝4，（ti－）2＝28,＝0.55.
（ti－）（yi－）＝iyi－i＝40.17－4×
9.32＝2.89，
所以r≈≈0.99.
因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．
（2）由＝≈1.331及
（1）得＝＝≈0.103，
＝－≈1.331－0.103×
4≈0.92.
所以y关于t的回归方程为＝0.92＋0.10t.
将2016年对应的t＝9代入回归方程得＝0.92＋0.10×
9＝1.82.
所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨．
思维升华 线性回归分析问题的类型及解题方法
（1）求线性回归方程
①利用公式，求出回归系数，.②待定系数法：
利用回归直线过样本点的中心求系数．
（2）利用回归方程进行预测，把线性回归方程看作一次函数，求函数值．
（3）利用回归直线判断正、负相关；
决定正相关还是负相关的是系数.
（4）回归方程的拟合效果，可以利用相关系数判断，当|r|越趋近于1时，两变量的线性相关性越强．
（2015·
课标全国Ⅰ）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：
千元）对年销售量y（单位：
t）和年利润z（单位：
千元）的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi（i＝1,2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
（xi－）2
（wi－）2
（xi－）·
（yi－）
（wi－）·
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1469
108.8
表中wi＝，＝i.
（1）根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？
（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据
（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（3）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据
（2）的结果回答下列问题：
①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：
对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归直线＝＋u的斜率和截距的最小二乘估计分别为
＝，＝－.
解
（1）由散点图可以判断，y＝c＋d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．
（2）令w＝，先建立y关于w的线性回归方程，由于
＝＝＝68，
＝－＝563－68×
6.8＝100.6，
所以y关于
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