届高考数学一轮复习 课时跟踪检测五十椭圆 理重点高中Word下载.docx

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A.B.

C.D.

选B　由椭圆方程知c＝1，

所以F1（－1,0），F2（1,0）．

因为椭圆C上的点A满足AF2⊥F1F2，则可设A（1，y0），

代入椭圆方程可得y＝，所以y0＝±

.

设P（x1，y1），则＝（x1＋1，y1），＝（0，y0），

所以·

＝y1y0.

因为点P是椭圆C上的动点，所以－≤y1≤，

故·

的最大值为.

3．已知椭圆E：

＋＝1（a>

b>

0）的右焦点为F（3,0），过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为（1，－1），则椭圆E的方程为（　　）

A.＋＝1B.＋＝1

C.＋＝1D.＋＝1

选D　因为直线AB过点F（3,0）和点（1，－1），所以直线AB的方程为y＝（x－3），代入椭圆方程＋＝1消去y，得x2－a2x＋a2－a2b2＝0，所以AB的中点的横坐标为＝1，即a2＝2b2，又a2＝b2＋c2，所以b2＝9，a2＝18，即椭圆E的方程为＋＝1.

4．如果椭圆＋＝1的弦AB被点M（x0，y0）平分，设直线AB的斜率为k1，直线OM（O为坐标原点）的斜率为k2，则k1k2的值为（　　）

A．4B.

C．－1D．－

选D　设直线AB的方程为y＝k1x＋b，A（x1，y1），B（x2，y2）．代入椭圆方程并整理得，（1＋4k）x2＋8k1bx＋4b2－36＝0，x1＋x2＝－，又中点M（x0，y0）在直线AB上，所以＝k1＋b＝，从而得弦中点M的坐标为，∴k2＝＝－，∴k1k2＝－.

5．已知两定点A（－2,0）和B（2,0），动点P（x，y）在直线l：

y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（　　）

选B　设点A关于直线l的对称点为A1（x1，y1），

则有解得x1＝－3，y1＝1，则A1（－3,1），

易知|PA|＋|PB|的最小值等于|A1B|＝，

因此椭圆C的离心率e＝＝的最大值为.

6．（2018·

广东五校协作体第一次诊断考试）已知椭圆C：

＋y2＝1的两焦点为F1，F2，点P（x0，y0）满足0＜＋y＜1，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________．

由点P（x0，y0）满足0＜＋y＜1，可知P（x0，y0）一定在椭圆内（不包括原点），因为a＝，b＝1，所以由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＜2a＝2，当P（x0，y0）与F1或F2重合时，|PF1|＋|PF2|＝2，又|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|＝2，故|PF1|＋|PF2|的取值范围是[2,2）．

答案：

[2,2）

7．已知M（x0，y0）是椭圆E：

0）上一点，A，B是其左、右顶点，若2·

＝x－a2，则离心率e＝________.

由题意知A（－a,0），B（a,0），∴＝（x0＋a，y0），＝（x0－a，y0），∵2·

＝x－a2，

∴2（x－a2＋y）＝x－a2，∴x＝a2－2y.

又＋＝1，∴＋＝1，

∴－＋＝0，∴a2＝2b2，

∴＝＝1－＝1－＝，∴e＝.

8．（2018·

湖南东部六校联考）设P，Q分别是圆x2＋（y－1）2＝3和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是________．

依据圆的性质可知，P，Q两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上点的距离的最大值加上圆的半径，

设Q（x，y），则圆心（0,1）到椭圆上点的距离为

d＝＝

＝，

∵－1≤y≤1，∴当y＝－时，d取最大值，

所以P，Q两点间的最大距离为＋＝.

9．已知椭圆G：

0）在y轴上的一个顶点为M，两个焦点分别是F1，F2，∠F1MF2＝120°

，△MF1F2的面积为.

（1）求椭圆G的方程；

（2）过椭圆G长轴上的点P（t,0）的直线l与圆O：

x2＋y2＝1相切于点Q（Q与P不重合），交椭圆G于A，B两点．若|AQ|＝|BP|，求实数t的值．

解：

（1）由椭圆性质，知|MF2|＝a，

于是c＝asin60°

＝a，b＝acos60°

＝a.

所以△MF1F2的面积S＝·

（2c）·

b＝·

（a）·

＝，解得a＝2，b＝1.

所以椭圆G的方程为＋y2＝1.

（2）显然，直线l与y轴不平行，可设其方程为y＝k（x－t）．

由于直线l与圆O相切，

则圆心O到l的距离d＝＝1，

即k2t2＝k2＋1，　①

联立

化简得（1＋4k2）x2－8tk2x＋4（t2k2－1）＝0.

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝.

设Q（x0，y0），有解得x0＝.

由已知可得，线段AB，PQ中点重合，即有x1＋x2＝t＋x0.

因此＝t＋，化简得k2＝，

将其代入①式，可得t＝±

10．（2018·

成都一诊）已知椭圆＋＝1的右焦点为F，设直线l：

x＝5与x轴的交点为E，过点F且斜率为k的直线l1与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的中点．

（1）若直线l1的倾斜角为，求|AB|的值；

（2）设直线AM交直线l于点N，证明：

直线BN⊥l.

由题意知，F（1,0），E（5,0），M（3,0）．

（1）∵直线l1的倾斜角为，∴斜率k＝1.

∴直线l1的方程为y＝x－1.

代入椭圆方程，可得9x2－10x－15＝0.

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝，x1x2＝－.

∴|AB|＝·

＝×

＝.

（2）证明：

设直线l1的方程为y＝k（x－1）．

代入椭圆方程，得（4＋5k2）x2－10k2x＋5k2－20＝0.

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1＋x2＝，x1x2＝.

设N（5，y0），∵A，M，N三点共线，

∴＝，∴y0＝.

而y0－y2＝－y2＝－k（x2－1）

＝

＝＝0.

∴直线BN∥x轴，即BN⊥l.

B级——拔高题目稳做准做

1．已知椭圆＋＝1（a>

0）的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2c，若椭圆上存在点M使得＝，则该椭圆离心率的取值范围为（　　）

A．（0，－1）B.

C.D．（－1,1）

选D　在△MF1F2中，＝，

而＝，

∴＝＝.①

又M是椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，

∴|MF1|＋|MF2|＝2a.②

由①②得，|MF1|＝，|MF2|＝.

显然|MF2|>

|MF1|，

∴a－c<

|MF2|<

a＋c，即a－c<

<

a＋c，

整理得c2＋2ac－a2>

0，∴e2＋2e－1>

0，又0<

e<

1，

∴－1<

1，故选D.

2.如图，圆O与离心率为的椭圆T：

0）相切于点M（0,1），过点M引两条互相垂直的直线l1，l2，两直线与两曲线分别交于点A，C与点B，D（均不重合）．若P为椭圆上任一点，记点P到两直线的距离分别为d1，d2，则d＋d的最大值是（　　）

A．4　　　　　　　　　　　B．5

选C　易知椭圆C的方程为＋y2＝1，圆O的方程为x2＋y2＝1，设P（x0，y0），因为l1⊥l2，则d＋d＝|PM|2＝x＋（y0－1）2，因为＋y＝1，所以d＋d＝4－4y＋（y0－1）2＝－32＋，因为－1≤y0≤1，所以当y0＝－时，d＋d取得最大值.

3．设F是椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）的一个焦点，P是C上的点，圆x2＋y2＝与线段PF交于A，B两点，若A，B是线段PF的两个三等分点，则椭圆C的离心率为（　　）

选D　如图所示，设线段AB的中点为D，连接OD，OA，设椭圆C的左、右焦点分别为F，F1，连接PF1.设|OD|＝t，因为点A，B是线段PF的两个三等分点，所以点D为线段PF的中点，所以OD∥PF1，且|PF1|＝2t，PF1⊥PF.因为|PF|＝3|AB|＝6|AD|＝6，根据椭圆的定义，得|PF|＋|PF1|＝2a，∴6＋2t＝2a，解得t＝或t＝0（舍去）．所以|PF|＝，|PF1|＝.在Rt△PFF1中，|PF|2＋|PF1|2＝|FF1|2，即2＋2＝（2c）2，得＝，所以椭圆C的离心率e＝＝.

4.如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1（a＞b＞0）的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°

，则该椭圆的离心率是________．

将y＝代入椭圆的标准方程，得＋＝1，

所以x＝±

a，故B，C.

又因为F（c,0），所以＝，

＝.

因为∠BFC＝90°

，所以·

＝0，

所以＋2＝0，

即c2－a2＋b2＝0，将b2＝a2－c2代入并化简，

得a2＝c2，所以e2＝＝，所以e＝（负值舍去）．

5．（2018·

云南统测）已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O，离心率等于，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4.直线l：

y＝kx＋m与y轴交于点P，与椭圆E相交于A，B两点．

（1）求椭圆E的方程；

（2）若＝3，求m2的取值范围．

（1）根据已知设椭圆E的方程为＋＝1（a>

0），焦距为2c，

由已知得＝，∴c＝a，b2＝a2－c2＝.

∵以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4，

∴4＝2a＝4，∴a＝2，b＝1.

∴椭圆E的方程为x2＋＝1.

（2）根据已知得P（0，m），设A（x1，kx1＋m），B（x2，kx2＋m），

由得，（k2＋4）x2＋2mkx＋m2－4＝0.

由已知得Δ＝4m2k2－4（k2＋4）（m2－4）>

0，

即k2－m2＋4>

且x1＋x2＝，x1x2＝.

由＝3，得x1＝－3x2.

∴3（x1＋x2）2＋4x1x2＝12x－12x＝0.

∴＋＝0，即m2k2＋m2－k2－4＝0.

当m2＝1时，m2k2＋m2－k2－4＝0不成立，

∴k2＝.

∵k2－m2＋4>

∴－m2＋4>

0，即>

0.

∴1<

m2<

4.

∴m2的取值范围为（1,4）．

6．已知椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（－1，0），F2（1,0），点A在椭圆C上．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆C有两个不同交点M，N时，能在直线y＝上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足＝？

若存在，求出直线的方程；

若不存在，说明理由．

（1）设椭圆C的焦距为2c，则c＝1，

因为A在椭圆C上，

所以2a＝|AF1|＋|AF2|＝2，

因此a＝，b2＝a2－c2＝1，

故椭圆C的方程为＋y2＝1.

（2）不存在满足条件的直线，证明如下：

设直线的方程为y＝2x＋t，M（x1，y1），N（x2，y2），P，Q（x4，y4），MN的中点为D（x0，y0），

由消去x，得9y