届四川省成都市龙泉第二中学高三月考数学理试题Word文档格式.docx
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A.“p∨q”为真命题B.“p∧q”为真命题
C.“命题p”为真命题D.“命题q”为假命题
6.定义矩阵,若,则()
A.图象关于中心对称B.图象关于直线对称
C.在区间上单调递增D.周期为的奇函数
7.设函数,且其图象关于直线
对称,则( )
A.的最小正周期为,且在上为增函数
B.的最小正周期为,且在上为减函数
C.的最小正周期为,且在上为增函数
D.的最小正周期为,且在上为减函数
8.运行如图程序,则输出的的值为()
A.0B.1C.2018D.2017
9.若三棱锥的三视图如图,正视图和侧视图均为等腰直角三角形,俯视图为边长为2的正方形,则该三棱锥的最长棱的棱长为()
10.已知都是定义在上的函数,,,且
,且,.若数列的前项和大于,则的最小值为()
A.5B.6C.7D.8
11.已知抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为坐标轴,直线过抛物线的焦点,且与抛物线的对称轴垂直,与交于两点,且,为抛物线准线上一点,则的面积为()
A.16B.18C.24D.32
12.已知双曲线与双曲线的离心率相同,且双曲线的左、右焦点分别为,是双曲线一条渐近线上的某一点,且,,则双曲线的实轴长为()
A.B.C.D.
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π,在同一个周期内,当x=时,y有最大值2,当x=0时,y有最小值-2,则这个函数的解析式为________.
14.已知在直角梯形中,,,,将直角梯形沿折叠,使平面平面,则三棱锥外接球的体积为__________.
15.设数列满足,,且,用表示不超过的最大整数,如,,则的值用表示为.
16.为了了解某地区高三学生的身体发育情况,抽查了该地区100名年龄为17.5岁~18岁的男生体重(kg),得到的频率分布直方图如图,根据图可得这100名学生中体重在[60.5,64.5]的学生人数是________.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分12分)
已知函数.
(1)求函数的最小正周期及在区间的值域;
(2)在中,,,所对的边分别是,,,,,,求的面积.
18.(本小题满分12分)
如图1,在直角梯形中,,,,,为线段的中点,将沿折起,使平面平面,得到几何体,如图2所示.
(Ⅰ)求证:
平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
19.(本小题满分12分)
继共享单车之后,又一种新型的出行方式------“共享汽车”也开始亮相北上广深等十余大中城市,一款叫“一度用车”的共享汽车在广州提供的车型是“奇瑞eQ”,每次租车收费按行驶里程加用车时间,标准是“1元/公里+0.1元/分钟”,李先生家离上班地点10公里,每天租用共享汽车上下班,由于堵车因素,每次路上开车花费的时间是一个随机变量,根据一段时间统计40次路上开车花费时间在各时间段内的情况如下:
时间(分钟)
次数
8
14
2
以各时间段发生的频率视为概率,假设每次路上开车花费的时间视为用车时间,范围为分钟.
(Ⅰ)若李先生上、下班时租用一次共享汽车路上开车不超过45分钟,便是所有可选择的交通工具中的一次最优选择,设是4次使用共享汽车中最优选择的次数,求的分布列和期望.
(Ⅱ)若李先生每天上下班使用共享汽车2次,一个月(以20天计算)平均用车费用大约是多少(同一时段,用该区间的中点值作代表).
20.(本小题满分12分)
已知椭圆的左右焦点分别为,离心率为;
圆过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)证明:
在轴上存在定点,使得为定值;
并求出该定点的坐标.
21.(本小题满分12分)
已知函数,函数在
上为增函数,且.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)当时,求函数的单调区间和极值;
(Ⅲ)若在上至少存在一个,使得成立,求的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.(本题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
已知抛物线的方程为,以抛物线的焦点为极点,以轴在点右侧部分为极轴建立极坐标系.
(1)求抛物线的极坐标方程;
(2),是曲线上的两个点,若,求的最大值.
23.(本题满分10分)选修4-5:
不等式选讲
已知函数().
(Ⅰ)证明:
;
(Ⅱ)若为的最小值,且(,),求的最小值.
数学(理科)参考答案
1—5BCACA6—10CBDBB11—12AD
4.【解析】由随机抽样的特征可知,①为等距抽样,是系统抽样;
②是简单随机抽样。
选C。
5.【解析】由条件可知命题p为真命题,q为假命题,所以“p∨q”为真命题,故选A.
8.【解析】依次运行程序框图给出的程序可得
第一次:
,不满足条件;
第二次:
第三次:
第四次:
第五次:
第六次:
,满足条件,退出循环。
输出2017。
选D。
13.
14.【答案】
【解析】结合题意画出折叠后得到的三棱锥如图所示,由条件可得在底面中,。
取AB的中点O,AC的中点E,连OC,OE。
则.
∵,
∴.
∵平面平面,
∴平面,
又.
∴点O为三棱锥外接球的球心,球半径为2.
∴。
答案:
。
15.
16.24 [体重在[60.5,64.5]的学生频率为:
(0.05+0.07)×
2=0.24,∴体重在[60.5,64.5]的学生人数为100×
0.24=24.]
17.解:
(1),
所以的最小正周期,
,
,,
所以函数在区间的值域为.
(2)由得,
又,,,
由及余弦定理得:
,,
又,代入上式解得,
的面积.
18.解:
(Ⅰ)在图1中,可得,从而,故,
取中点连接,则,又面面,
面面,面,从而平面,
∴,
又,,
∴平面,
(Ⅱ)以为原点,、、所在直线分别为,,轴,如图所示,建立空间直角坐标系,则,,,,,
设为面的法向量,
则即解得
令,可得,
又为面的一个法向量,
∴,
∴二面角的余弦值为.
19.解:
(Ⅰ)李先生一次租用共享汽车,为最优选择的概率
依题意的值可能为0,1,2,3,4…………………2分
分布列
1
3
4
P
……………6分
或………8分
(Ⅱ)每次用车路上平均花的时间(分钟)……………10分
每次租车的费用约为10+35.5×
0.1=13.55元.
一个月的平均用车费用约为542元.……12分
20.【答案】
(1)
(2)
解析:
(Ⅰ)依题意,不妨设圆过椭圆的上、下、右三个顶点,
令,解得,故,
又,
∴,
解得。
∴椭圆的标准方程为.
由题意设直线的方程为,
由消去y整理得,
设,,
则,,
假设x轴上的定点为,
则
.
要使其为定值,需满足,
解得.
故定点的坐标为.
21.解
(1)因为,又
只需,且所以...................3分
(2)当m=0时,(x>
0)...................4分
资当0<
x<
2e-1时,当x>
2e-1时,
.....................7分
....................8分
................9分
..........................10分
,....................12分
22.解:
(1)由抛物线的定义得:
即:
.
(2)由
(1)得:
当且仅当时等号成立,故的最大值为.
23.证明:
(Ⅰ),
当且仅当时取“”号.
(Ⅱ)由题意知,,即,即,
则,
当且仅当,时取“”号.