导数在中学数学中的应用论文.doc

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学科代码：

070101

学号：

080701010057

贵州师范大学（本科）

毕业论文

题目：

浅谈导数在中学数学中的应用

学院：

数学与计算机科学学院

专业：

数学与应用数学

年级：

2008级

姓名：

邱金益

指导教师：

孙学敏（讲师）

完成时间：

2012年4月5日

浅谈导数在中学数学中的应用

邱金益

摘要：

导数的应用将随着新课程的改革而显得越来越重要，它渗透到中学数学的各个领域。

导数可以用极限概念定义。

微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的分支学科，导数相关的一些微积分知识，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识研究函数的性质，解决几何、切线、函数的单调区间、数列极限有关的问题，同时解决实际问题也有重要的应用。

导数是我们研究中学数学的一个有力工具，它使各个章节的内容联系的更加紧密，有助于我们对中学数学的深入学习。

关键词：

导数、函数、方程、切线、数列

Abstract：

Theapplicationofthederivativeofthenewcurriculumreformwillbewithandbecomemoreandmoreimportant,itthroughtothemiddleschoolmathematicseveryfieldofthederivativecanuselimitconceptdefinitionofdifferentialcalculusisresearchfunctionintegrationandrelatedconceptsandapplicationsofthebranch,derivativerelevantsomecalculusknowledge,istosolvepracticalproblemspowerfulmathematicaltool,usingderivativesknowledgeaboutthestudyofthenatureofthefunction,solvethemonotonyoftangentfunctiongeometrysequencelimitoftheintervaland,atthesametime,solvingactualproblemsalsohasimportantapplicationofderivativeisourmiddleschoolmathematicsstudyofapowerfultool,itmakethecontentofthechaptersofthecontactmoreclosely,canhelpustothemiddleschoolmathematicsfurtherstudy

Keywords:

derivativefunctionequationtangentsequence.

1.利用导数求不定式的极限

（，）型不定式的定值。

导数对于极限问题，尤其是（，）型不定式的题目即无穷小之比等于相应的导数之比（洛必达法则）。

例：

（1）

分析：

首先我们一下极限的分子（）和分母（）都趋于零，即：

，，因此极限为（）型。

所以我们对分子分母进行求导。

解：

原试===1

例：

（2）

分析：

首先我们一下极限的分子（）和分母（）都趋于无穷，即：

，，因此极限为（）型。

无穷大之比等于相应的导数之比，所以我们对分子分母进行求导。

解：

原试====0

2.导数在函数中的应用

2.1利用导数图形分析函数的图像。

例：

设是的导函数，的图象如图所示，则的图象可能是（）。

分析：

我们首先来看的图象在或的区域上，那么在或的定义域上是增函数；在上函数是减函数；那么我们看选项只有：

O

1

2

x

y

O

1

2

x

y

x

y

y

O

1

2

y

O

1

2

x

O

1

2

x

A

B

C

D

2.2求函数的单调区间

例：

设，求函数的单调区间。

分析：

要求函数的单调区间，我们可以用求导的方法，令函数的导数为增函数，求出的解为增区间，令为减函数，求出的解为减区间。

解：

当时为增函数

即：

解得：

或为增区间。

当时为减函数。

同理可得：

为减区间。

2.3求函数的极值和最值问题

极值和最值问题是中学数学的重点、难点，它涉及到中学数学知识的各个方面，处理次类问题往往需要较高的思维能力和技能，而用导数处理这类问题使得解题过程程序化、简单化。

例：

求函数的极值。

分析：

要求一个函数的极值，我们先求出函数的驻点，在对驻点进行比较，就可以知道极值。

解：

令

解得：

（驻点）

又

在驻点处的二阶导数值分别为：

，

所以：

，原函数在处取得极大值

，原函数在处取得极小值

例：

已知函数，是的极值点，求在

[1，a]上的最大值。

解：

由函数导可得

是的极值点，

所以有，得

所以

令，解得（舍去），则

x

1

（1,3）

3

（3,4）

4

—

0

+

-6

-18

-12

所以在[1，4]上的最大值为。

2.4利用导数求参数取值范围

含参数的导数问题是函数的重点和难点，此类问题通常涉及到最值和恒成立的问题，要求我们在求解中，分类讨论、数形结合、分离参数等基本思想的灵活应用．含参数的导数问题往往涉及对参数的讨论。

我们例题来分析。

例：

已知函数（a为常数），若存在，使成立，则实数a的取值范围是

分析：

参数a可以比较方便的用含x的函数来表示，因此想到分离参数，转化为存在性问题，进而转化为最值问题．需意识到在恒成立；在对的讨论中，需对其部分分子进行在区间的值域分析，得出在恒成立．从而得出在恒成立．

解：

，

则：

，

，

令，则，

在单调递增，

，即在恒成立．

故存在，使．

令，即，下求在的最小值．

令，

则，，

故是函数的极小值点，也是最小值点．

∴，即在恒成立．

故在恒成立．∴在单调递增.

∴

以函数为主体,以导数作为解题思路,以函数的性质和导数应用为目标,是函数与导数交汇试题的显著特点.运用导数确定含参数函数的参数取值范围是一类常见的探索性问题,主要是求存在性问题或恒成立问题中的参数的范围.解决这类问题,主要是运用等价转化的数学思想,通过分离参数、分类讨论等思维方法进行求解．而求解策略的恰当选择，取决于求解视角是否准确．

3．导数在不等式恒等问题中的应用

例：

当时，证明不等式成立。

分析：

证明可以构造函数

如果，则在上是减函数，同时若由减函数的定义可知，时，有即证明了。

证明：

设

又∵

∴

∴在内单调递减且

∴故当时，成立。

4.利用导数研究方程的根.

利用导数研究方程根的问题，不但使解题过程变得简捷，而且还可以提高同学们对新题型的适应能力。

例：

关于的方程有三个不同的实数根，则的取值范围是（　　）

A、（-∞，-1]B、（-1，5）C、（1，5）D、（-∞，1]∪[5，+∞）

分析：

首先设．求出函数的导数，然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间，再分析可知图象的大致形状及走向，可知函数图象的变化情况，可知方程有三个不同的实根，求得实数的范围．

解：

原方程化为：

，

设

令，解得：

或。

，解得：

∴）在取极大值4，在时取极小值-2．

根据的大致图象的变化情况，有三个不同的实数解时，

-2＜＜4

解得a的取值范围是-1＜＜5．

故选B．

5．导数思想在解析几何中的一个简单应用

例：

过点作抛物线的切线，求切线方程

解：

设切点由得，

抛物线在点处的切线斜率为

故所求切线方程为即

点在切线上

，，

所求切线方程为，。

求二次曲线切线问题的常规方法是点斜式设直线方程，与抛物线联立，求出斜率，写出直线方程。

而通过上述例题可以看到，使用常规方法会非常麻烦。

而采用求导的方法就简捷很多。

当然，导数在解析几何中的应用不仅于此。

笔者在这里只想起到一个抛砖引玉的作用，欢迎其他同仁批评指正。

6.导数在数列中的应用

例：

已知，求的前n项和。

分析：

我们的通常会想到等比数列、错位相减求，但是增加了计算的难度，我们主要仔细观察字母的系数和指数相差1，幂的导数刚好就是这样的形式，所以我们把看成幂（）的前n项的和的导数

解：

令

7．导数在实际问题中的应用

正在生产生活中,常常会遇到在一定条件下使得利润最大、效率最高、用料最省、强度最大等问题,这些问题称为优化问题.优化问题往往可归结为求函数的最大值或最小值问题,而导数是求最值的有力工具,因此,熟练应用导数解决实际应用问题就非常重要.用导数解决优化问题的基本思路是认真分析实际问题,然后将其转化为数学问题,再用导数求解这个数学问题.

7.1成本问题。

例：

在甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？

解：

设∠BCD＝，则BC＝，CD＝，（0＜＜），

∴AC＝50－甲

设总的水管费用为，依题意有：

河ACD

＝乙B

令，解得：

根据问题的实际意义，当时，函数取得最小值，

此时，所以：

∴AC＝50－40＝20（km），即供水站建在A、D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省.

7.2制作容器。

例：

在边长为60cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？

最大容积是多少？

分析：

设箱底边长为cm，则箱高为cm，得箱子容积是箱底边长的函数，从而求得，令，求出一个值，这个值就是使容器的容积达到最大。

解：

设此时底边的边长是，则高 ，（）

则

  令：

，解得：

所以箱底的边长为40cm时,箱子的容积最大，最大容积是16000cm³

这是一道实际生活中的优化问题，建立的目标函数是三次函数，用过去的知识求其最值往往没有一般方法，即使能求出，也要涉及到较高的技能技巧.而运用导数知识，求三次目标函数的最值就变得非