最新高等数学上册期末考试试题含答案ZU文档格式.docx
《最新高等数学上册期末考试试题含答案ZU文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新高等数学上册期末考试试题含答案ZU文档格式.docx（22页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
（1）由y=x2与y2=x3围成的平面图形绕x轴旋转；
求两曲线交点得（0，0），（1，1）
．（14）
（2）由y=x3，x=2，y=0所围图形分别绕x轴及y轴旋转；
见图14，
（2）星形线绕x轴旋转；
见图15，该曲线的参数方程是：
，
由曲线关于x轴及y轴的对称性，所求体积可表示为
（15）
5．已知,其中求C.
所以.
6．讨论下列广义积分的敛散性：
;
原式=
故该广义积分当时收敛；
时发散.
综上所述，当k<
1时，该广义积分收敛，否则发散.
7．利用习题22
（2）证明：
并由此计算（a为正常数）
由习题22
（2）可知
又
故等式成立.
8．求下列不定积分：
原式
故原式=.
9．利用定积分概念求下列极限：
10．求下列曲线的拐点：
令，得t=1或t=－1
则x=1，y=4或x=1，y=－4
当t>
1或t<
－1时，，曲线是凹的，
当0<
t<
1或－1<
0时，，曲线是凸的，
故曲线有两个拐点（1，4），（1，－4）.
（2）x=2acotθ，y=2asin2θ.
令，得或，
不妨设a>
0，不失一般性，当时，即时，，
当或时，即或时，,
故当参数或时，都是y的拐点，且拐点为及.
11．求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间：
；
，令可得.
当时，，故曲线在内是凸弧；
当时，，故曲线在内是凹弧.
因此是曲线的唯一拐点.
（2）；
令，得x=2
当x>
2时，，即曲线在内是凹的；
当x<
2时，，即曲线在内是凸的.
因此（2，2e－2）为唯一的拐点.
故函数的图形在内是凹的，没有拐点.
（4）y=ln（x2+1）；
令得x=－1或x=1.
当－1<
x<
1时，，即曲线在[－1，1]内是凹的.
1或x<
－1时，，即在内曲线是凸的.
因此拐点为（－1，ln2），（1，ln2）.
令得.
当时，，即曲线在内是凸的；
当时，，即曲线在内是凹的，
故有唯一拐点.
（6）y=x4（12lnx－7）.
函数y的定义域为（0，+∞）且在定义域内二阶可导.
令，在（0，+∞），得x=1.
1时，，即曲线在内是凹的;
1时，，即曲线在（0，1]内是凸的，
故有唯一拐点（1，－7）.
12．在半径为r的球中内接一正圆柱体，使其体积为最大，求此圆柱体的高.
设圆柱体的高为h,则圆柱体底圆半径为，
令,得
即圆柱体的高为时，其体积为最大.
13．⑴证明：
不等式
令在[0，x]上应用拉格朗日定理，则使得
即,因为，则
即
⑵设证明：
令,在[b，a]上应用拉格朗日定理，则使得
因为,则,
⑶设证明：
令在[b，a]上应用拉格朗日定理，则使得
因为，所以,
即.
⑷设证明：
令，,应用拉格朗日定理，有
14．用比较审敛法判别下列级数的敛散性．
（1）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
（1）∵
而收敛，由比较审敛法知收敛．
（2）∵
而发散，由比较审敛法知，原级数发散．
（3）∵
而收敛，故也收敛．
（4）∵
而收敛，故收敛．
（5）当a>
1时，，而收敛，故也收敛．
当a=1时，，级数发散．
a<
1时，，级数发散．
综上所述，当a>
1时，原级数收敛，当0<
a≤1时，原级数发散．
（6）由知而发散，由比较审敛法知发散．
15．利用洛必达法则求下列极限：
⑴;
⑵;
⑶;
⑷;
⑸;
⑹;
⑺;
⑻;
⑼;
⑽;
⑾;
⑿;
⒀;
⒁;
⒂;
⒃;
⒄.
⑴原式=.
⑵原式=.
⑶原式=.
⑷原式=.
⑸原式=.
⑹原式=.
⑺原式=.
⑻原式=.
⑼原式
⑽原式=
令
∴原式=.
⑾令，则
⑿令，则
⒀原式
⒁原式
⒂原式
⒃令，则
⒄令，则
16．求函数的定义域与值域.
解:
由已知显然有函数的定义域为（-∞,+∞）,又当时,可以是不为零的任意实数,此时,可以取遍[-1,1]上所有的值,所以函数的值域为[-1,1].
17．曲线弧y=sinx（0<
π）上哪一点处的曲率半径最小？
求出该点的曲率半径.
显然R最小就是k最大，
令，得为唯一驻点.
在内，，在内，.
所以为k的极大值点，从而也是最大值点，此时最小曲率半径为
18．椭圆上哪些点的纵坐标减少的速率与它的横坐标增加的速率相同？
方程两边同时对t求导，得
由.得
代入椭圆方程得：
即所求点为.
19．一点沿对数螺线运动，它的极径以角速度旋转，试求极径变化率.
20．计算的近似值，使误差不超过.
21．利用泰勒公式求下列极限：
⑴⑵（3）
⑴
⑵
（3）令,当时，，
22．利用麦克劳林公式，按乘幂展开函数.
因为是的6次多项式，所以
计算出：
故
23．验证函数满足关系式
24．用对数求导法求下列函数的导数：
⑵
⑶
25．求函数的反函数的导数.
故反函数的导数为：
26．若，求.
27．解:
因为
由已知知，分式的分子与分母的次数相同，且x项的系数之比为，于是
且
解得.
28．证明:
和互为反函数.
证:
由解得,
故函数的反函数是,这与是同一个函数,所以和互为反函数.
29．设,求.
30．确定下列函数的单调区间：
（1）；
所给函数在定义域内连续、可导，且
可得函数的两个驻点：
在内，分别取+，–，+号，故知函数在内单调增加，在内单调减少.
函数有一个间断点在定义域外，在定义域内处处可导，且，则函数有驻点，在部分区间内，；
在内>
0，故知函数在内单调增加，而在内单调减少.
（3）；
函数定义域为，,故函数在上单调增加.
（4）；
函数定义域为,，则函数有驻点:
在内，，函数单调减少；
在内，，函数单调增加.
（5）；
函数定义域为，
函数的驻点为,在上，函数单调增加；
在上，函数单调减少.
（6）；
函数定义域为,
1）当时，，则
2）当时，，则
综上所述，函数单调增加区间为，
函数单调减少区间为.
（7）.
函数定义域为.
函数驻点为,
在内，,函数单调增加，
在上，,函数单调减少，
在上，,函数单调增加，
在内，,函数单调增加.
故函数的单调区间为:
，，.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
1．无
2．无
3．无
4．无
5．无
6．无
7．无
8．无
9．无
10．无
11．无
12．无
13．无
14．无
15．无
16．无
17．无
18．无
19．无
20．无
21．无
22．无
23．无
24．无
25．无
26．无
27．无
28．无
29．无
30．无
升级会员 