中考数学解法探究专题平行四边形的存在性问题Word文档格式.docx

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这里我们主要讨论在平面直角坐标系中平行四边形是否存在的问题。

先假设平行四边形存在，并在坐标系中把平行四边形做出来，再根据平行四边形的性质得出相应的点或边的关系，从而得出结论，在作图的时候要注意分类讨论，把所有的情况考虑进去。

例题解析（2017年真题和2017年模拟）

1．已知二次函数的表达式为y=x2+mx+n．

（1）若这个二次函数的图象与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），求实数m，n的值；

（2）若△ABC是有一个内角为30°

的直角三角形，∠C为直角，sinA，cosB是方程x2+mx+n=0的两个根，求实数m，n的值．

【考点】HA：

抛物线与x轴的交点；

T7：

解直角三角形．

【分析】

（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出m、n的值；

（2）分∠A=30°

或∠B=30°

两种情况考虑：

当∠A=30°

时，求出sinA、cosB的值，利用根与系数的关系即可求出m、n的值；

当∠B=30°

时，求出sinA、cosB的值，利用根与系数的关系即可求出m、n的值．

【解答】解：

（1）将A（1，0）、B（3，0）代入y=x2+mx+n中，

，解得：

，

∴实数m=﹣4、n=3．

（2）当∠A=30°

时，sinA=cosB=，

∴﹣m=+，n=×

∴m=﹣1，n=；

∴m=﹣，n=．

综上所述：

m=﹣1、n=或m=﹣、n=．

2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+ax+b交x轴于A（1，0），B（3，0）两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C．

（1）求抛物线y=﹣x2+ax+b的解析式；

（2）当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；

（3）在

（2）的条件下，求sin∠OCB的值．

H8：

待定系数法求二次函数解析式；

（1）将点A、B代入抛物线y=﹣x2+ax+b，解得a，b可得解析式；

（2）由C点横坐标为0可得P点横坐标，将P点横坐标代入

（1）中抛物线解析式，易得P点坐标；

（3）由P点的坐标可得C点坐标，由B、C的坐标，利用勾股定理可得BC长，利用sin∠OCB=可得结果．

（1）将点A、B代入抛物线y=﹣x2+ax+b可得，

解得，a=4，b=﹣3，

∴抛物线的解析式为：

y=﹣x2+4x﹣3；

（2）∵点C在y轴上，

所以C点横坐标x=0，

∵点P是线段BC的中点，

∴点P横坐标xP==，

∵点P在抛物线y=﹣x2+4x﹣3上，

∴yP=﹣3=，

∴点P的坐标为（，）；

（3）∵点P的坐标为（，），点P是线段BC的中点，

∴点C的纵坐标为2×

﹣0=，

∴点C的坐标为（0，），

∴BC==，

∴sin∠OCB===．

3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上．

（1）求直线AE的解析式；

（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK的最小值；

（3）点G是线段CE的中点，将抛物线y=x2﹣x﹣沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在一点Q，使得△FGQ为等腰三角形？

若存在，直接写出点Q的坐标；

若不存在，请说明理由．

【考点】HF：

二次函数综合题．

（1）抛物线的解析式可变形为y=（x+1）（x﹣3），从而可得到点A和点B的坐标，然后再求得点E的坐标，设直线AE的解析式为y=kx+b，将点A和点E的坐标代入求得k和b的值，从而得到AE的解析式；

（2）设直线CE的解析式为y=mx﹣，将点E的坐标代入求得m的值，从而得到直线CE的解析式，过点P作PF∥y轴，交CE与点F．设点P的坐标为（x，x2﹣x﹣），则点F（x，x﹣），则FP=x2+x．由三角形的面积公式得到△EPC的面积=﹣x2+x，利用二次函数的性质可求得x的值，从而得到点P的坐标，作点K关于CD和CP的对称点G、H，连接G、H交CD和CP与N、M．然后利用轴对称的性质可得到点G和点H的坐标，当点O、N、M、H在条直线上时，KM+MN+NK有最小值，最小值=GH；

（3）由平移后的抛物线经过点D，可得到点F的坐标，利用中点坐标公式可求得点G的坐标，然后分为QG=FG、QG=QF，FQ=FQ三种情况求解即可．

（1）∵y=x2﹣x﹣，

∴y=（x+1）（x﹣3）．

∴A（﹣1，0），B（3，0）．

当x=4时，y=．

∴E（4，）．

设直线AE的解析式为y=kx+b，将点A和点E的坐标代入得：

解得：

k=，b=．

∴直线AE的解析式为y=x+．

（2）设直线CE的解析式为y=mx﹣，将点E的坐标代入得：

4m﹣=，解得：

m=．

∴直线CE的解析式为y=x﹣．

过点P作PF∥y轴，交CE与点F．

设点P的坐标为（x，x2﹣x﹣），则点F（x，x﹣），

则FP=（x﹣）﹣（x2﹣x﹣）=x2+x．

∴△EPC的面积=×

（x2+x）×

4=﹣x2+x．

∴当x=2时，△EPC的面积最大．

∴P（2，﹣）．

如图2所示：

作点K关于CD和CP的对称点G、H，连接G、H交CD和CP与N、M．

∵K是CB的中点，

∴k（，﹣）．

∴tan∠KCP=．

∵OD=1，OC=，

∴tan∠OCD=．

∴∠OCD=∠KCP=30°

．

∴∠KCD=30°

∵k是BC的中点，∠OCB=60°

∴OC=CK．

∴点O与点K关于CD对称．

∴点G与点O重合．

∴点G（0，0）．

∵点H与点K关于CP对称，

∴点H的坐标为（，﹣）．

∴KM+MN+NK=MH+MN+GN．

当点O、N、M、H在条直线上时，KM+MN+NK有最小值，最小值=GH．

∴GH==3．

∴KM+MN+NK的最小值为3．

（3）如图3所示：

∵y′经过点D，y′的顶点为点F，

∴点F（3，﹣）．

∵点G为CE的中点，

∴G（2，）．

∴FG==．

∴当FG=FQ时，点Q（3，），Q′（3，）．

当GF=GQ时，点F与点Q″关于y=对称，

∴点Q″（3，2）．

当QG=QF时，设点Q1的坐标为（3，a）．

由两点间的距离公式可知：

a+=，解得：

a=﹣．

∴点Q1的坐标为（3，﹣）．

综上所述，点Q的坐标为（3，）或′（3，）或（3，2）或（3，﹣）．

4．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3经过点A（2，﹣3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=3OB．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点D在y轴上，且∠BDO=∠BAC，求点D的坐标；

（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；

（1）待定系数法即可得到结论；

（2）连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F，根据已知条件得到AF∥x轴，得到F（﹣1，﹣3），设D（0，m），则OD=|m|即可得到结论；

（3）设M（a，a2﹣2a﹣3），N（1，n），①以AB为边，则AB∥MN，AB=MN，如图2，过M作ME⊥对称轴y于E，AF⊥x轴于F，于是得到△ABF≌△NME，证得NE=AF=3，ME=BF=3，得到M（4，5）或（﹣2，11）；

②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图3，则N在x轴上，M与C重合，于是得到结论．

（1）由y=ax2+bx﹣3得C（0．﹣3），

∴OC=3，

∵OC=3OB，

∴OB=1，

∴B（﹣1，0），

把A（2，﹣3），B（﹣1，0）代入y=ax2+bx﹣3得，

∴，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3；

（2）设连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F，

∵A（2，﹣3），C（0，﹣3），

∴AF∥x轴，

∴F（﹣1，﹣3），

∴BF=3，AF=3，

∴∠BAC=45°

设D（0，m），则OD=|m|，

∵∠BDO=∠BAC，

∴∠BDO=45°

∴OD=OB=1，

∴|m|=1，

∴m=±

1，

∴D1（0，1），D2（0，﹣1）；

（3）设M（a，a2﹣2a﹣3），N（1，n），

①以AB为边，则AB∥MN，AB=MN，如图2，过M作ME⊥对称轴y于E，AF⊥x轴于F，

则△ABF≌△NME，

∴NE=AF=3，ME=BF=3，

∴|a﹣1|=3，

∴a=3或a=﹣2，

∴M（4，5）或（﹣2，5）；

②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图3，

则N在x轴上，M与C重合，

∴M（0，﹣3），

综上所述，存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，M（4，5）或（﹣2，5）或（0，﹣3）．

5．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．

（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；

（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；

（3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为2？

若存在求出点Q的坐标；

若不存在请说明理由．

（1）可设抛物线解析式为顶点式，由B点坐标可求得抛物线的解析式，则可求得D点坐标，利用待定系数法可求得直线BD解析式；

（2）设出P点坐标，从而可表示出PM的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值；

（3）过Q作QG∥y轴，交BD于点G，过Q和QH⊥BD于H，可设出Q点坐标，表示出QG的长度，由条件可证得△DHG为等腰直角三角形，则可得到关于Q点坐标的方程，可求得Q点坐标．

（1）∵抛物线的顶点C的坐标为（1，4），

∴可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4，

∵点B（3，0）在该抛物线的图象上