高考数学文一轮复习讲练测专题41任意角和弧度制及任意角的三角函数讲答案解析Word格式.docx
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【解析】∵点P（tanα,cosα）在第三象限,∴tanα＜0,cosα＜0∴是第二象限角．
5.【改编自2014年江西卷理科】已知角的终边与单位圆交于点等于
A．B．C．D．1
【解析】根据题意可知，，∴，故选A．
【考点深度剖析】
高考对任意角三角函数定义的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求学生深刻认识利用坐标法定义任意角三角函数的背景和目的．纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：
一是直接利用任意角三角函数的定义求其三角函数值；
二是根据任意角三角函数的定义确定终边上一点的坐标．
【经典例题精析】
考点1象限角及终边相同的角
【1-1】已知角α＝45°
，
（1）在－720°
～0°
范围内找出所有与角α终边相同的角β；
（2）设集合，判断两集合的关系．
【解析】
（1）所有与角α有相同终边的角可表示为：
β＝45°
＋k×
360°
（k∈Z），
则令－720°
≤45°
<
0°
得－765°
≤k×
－45°
，解得－≤k<
－，
从而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°
或β＝－315°
.
（2）因为M＝{x|x＝（2k＋1）×
45°
，k∈Z}表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；
而集合N＝{x|x＝（k＋1）×
，k∈Z}表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而.
【1-2】若且，则角θ的终边所在象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
答案：
A
解析：
由，得，
故θ终边在第一象限．
【1-3】终边在直线y＝x上的角的集合为________．
【答案】{α|α＝kπ＋，k∈Z}
【解析】终边在直线y＝x上的角的集合为{α|α＝kπ＋，k∈Z}．
【1-4】若角是第二象限角，试确定，的终边所在位置．
【答案】角的终边在第三象限或第四象限或轴的负半轴上,的终边在第一象限或第三象限.
（2），当时，
∴，
∴的终边在第一象限．
当时，
∴，
∴的终边在第三象限．
综上所述，的终边在第一象限或第三象限．
【课本回眸】
1．任意角、角的分类：
①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．
②按终边位置不同分为象限角和轴线角．
（2）终边相同的角：
终边与角α相同的角可写成α＋k·
（k∈Z）．
2.弧度制：
①1弧度的角：
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
②规定：
正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．
③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关．
3.弧度与角度的换算：
＝2π弧度；
180°
＝π弧度．
【方法规律技巧】
1.对与角α终边相同的角的一般形式α＋k·
（k∈Z）的理解;
（1）k∈Z;
（2）α任意角;
（3）终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同.
2.利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角
3.已知角α的终边位置，确定形如kα，π±
α等形式的角终边的方法：
先表示角α的范围，再写出kα、π±
α等形式的角范围，然后就k的可能取值讨论所求角的终边位置
【新题变式探究】
（2013·
江西）如图，已知l1⊥l2，圆心在l1上、半径为1m的圆O在t＝0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y＝cosx，则y与时间t（0≤x≤1，单位：
s）的函数y＝f（t）的图象大致为（ ）
【答案】B
考点2三角函数的定义
【2-1】
（2015·
广东佛山质检）若角θ的终边经过点P（－，m）（m≠0）且sinθ＝m，则cosθ的值为________.
【答案】－
已知角α的终边与单位圆的交点P，则tanα＝（ ）
A.B．±
C.D．±
【答案】B
【解析】由|OP|2＝x2＋＝1，得x＝±
，tanα＝±
【2-3】已知角α的终边上有一点P（t，t2＋1）（t>
0），则tanα的最小值为（ ）
A．1 B．2C.D.
【解析】根据已知条件得tanα＝＝t＋≥2，当且仅当t＝1时，tanα取得最小值2.
【2-4】已知角α的终边上一点P的坐标为，则角α的最小正值为（ ）
A.B.C.D.
【解析】由题意知点P在第四象限，根据三角函数的定义得cosα＝sin＝，故α＝2kπ－（k∈Z），所以α的最小正值为.
1.任意角的三角函数定义：
设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P（x，y），那么角α的正弦、余弦、正切分别是：
sinα＝y，cosα＝x，tanα＝，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．
2．三角函数在各象限内的符号口诀是：
一全正、二正弦、三正切、四余弦
3.三角函数线
设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M.由三角函数的定义知，点P的坐标为（cos_α，sin_α），即P（cos_α，sin_α），其中cosα＝OM，sinα＝MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tanα＝AT.我们把有向线段OM、MP、AT叫做α的余弦线、正弦线、正切线.
三角函数线
有向线段MP为正弦线
有向线段OM为余弦线
有向线段AT为正切线
1.已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后利用三角函数的定义求解．
2.已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值．
【变式一】
青岛模拟）已知角α的终边与单位圆的交点P（－，y），则sinα·
tanα＝（ ）
A.－ B.±
C.－ D.±
【变式二】已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sinα＋的值．
【答案】0
【解析】设α终边上任一点为P（k，－3k），
则r＝＝|k|.
当k>
0时，r＝k，
∴sinα＝＝－，＝＝，
∴10sinα＋＝－3＋3＝0；
当k<
0时，r＝－k，
∴sinα＝＝，
＝＝－，
∴10sinα＋＝3－3＝0.
综上，10sinα＋＝0.
考点3扇形的弧长及面积公式
【3-1】
青岛模拟）已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是（ ）
A.2 B.sin2
C. D.2sin1
【解析】 ∵2Rsin1＝2，∴R＝，l＝|α|R＝，故选C.
【3-2】
（1）已知两角的和是1弧度，两角的差是1°
，试求这两个角的大小（用弧度表示）.
（2）已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角；
（3）已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？
（1）设所求两角分别为α，β（α＞β）.因为1°
＝rad，所以由题意可得解得
所以所求两角的弧度数分别为＋，－.
（2）设圆心角是θ，半径是r，则
解得（舍去）或
所以扇形的圆心角为.
（3）设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝40.
又S＝θr2＝r（40－2r）＝r（20－r）＝－（r－10）2＋100≤100.
当且仅当r＝10时，Smax＝100，此时2×
10＋10θ＝40，θ＝2.
所以当r＝10，θ＝2时，扇形的面积最大.
弧长公式：
l＝|α|r，扇形面积公式：
S扇形＝lr＝|α|r2.
（1）弧度制下l＝|α|·
r，S＝lr，此时α为弧度．在角度制下，弧长l＝，扇形面积S＝，此时n为角度，它们之间有着必然的联系．
（2）在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形．
1.一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为（ ）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】设圆的半径为R，则其内接正三角形的边长为R，即该圆弧的弧长为R，于是其圆心角的弧度数为.故选C.
2.一扇形的圆心角为120°
，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________．
【答案】
（7＋4）∶9
三、易错试题常警惕
易错典例：
已知角的终边过点,,求角的的正弦值、余弦值.
易错分析：
学生在做题时容易遗忘的情况．
正确解析：
当时，；
温馨提醒：
本题主要考察了三角函数的定义以及分类讨论思想方法，这也是高考考察的一个重点.
四、数学素养提升之思想方法篇-数形结合思想的应用
【典例】求函数f（x）＝lg（3－4sin2x）＋的定义域．
【解析】要使函数有意义，应有由3－4sin2x>
0得，sin2x<
，∴－<
sinx<
利用三角函数线画出x满足条件的终边范围（如图
（1）阴影部分所示），
∴x∈（kπ－，kπ＋）（k∈Z）．
由1＋2cosx≥0得，cosx≥－，
利用三角函数线画出x满足条件的终边范围如图
（2）．
∴x∈，k∈Z.综上知，x∈（2kπ－，2kπ＋），k∈Z.
遇到三角不等式的问题可考虑使用单位圆中的三角函数线或三角函数的图象数形结合求解．
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