高中数学人教A版选修41创新应用教学案第一讲四直角三角形的射影定理含答案Word文档下载推荐.docx

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DB＝2×

6＝12，

∴CD＝＝2（cm）．

∵AC2＝AD·

AB＝2×

（2＋6）＝16，

∴AC＝＝4（cm）．

∵BC2＝BD·

AB＝6×

（2＋6）＝48，

∴BC＝＝4（cm）．

故CD、AC、BC的长分别为2cm,4cm,4cm.

（1）在Rt△ABC中，共有AC、BC、CD、AD、BD和AB六条线段，已知其中任意两条，便可求出其余四条．

（2）射影定理中每个等积式中含三条线段，若已知两条可求出第三条．

1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°

，CD是AB上的高．已知BD＝4，AB＝29，试求出图中其他未知线段的长．

解：

由射影定理，得BC2＝BD·

∴BC＝＝＝2.

又∵AD＝AB－BD＝29－4＝25.

且AC2＝AB2－BC2，

∴AC＝＝＝5.

∵CD2＝AD·

∴CD＝＝＝10.

2．已知：

CD是直角三角形ABC斜边AB上的高，如果两直角边AC，BC的长度比为AC∶BC＝3∶4.

求：

（1）AD∶BD的值；

（2）若AB＝25cm，求CD的长．

（1）∵AC2＝AD·

∴＝.

∴＝（）2＝（）2＝.

（2）∵AB＝25cm，AD∶BD＝9∶16，

∴AD＝×

25＝9（cm），

BD＝×

25＝16（cm）．

∴CD＝＝＝12（cm）.

与射影定理有关的证明问题

[例2]　如图所示，CD垂直平分AB，点E在CD上，DF⊥AC，DG⊥BE，F、G分别为垂足．

求证：

AF·

AC＝BG·

BE.

[思路点拨]　先将图分解成两个基本图形

（1）

（2），再在简单的图形中利用射影定理证明所要的结论．

[证明]　∵CD垂直平分AB，

∴△ACD和△BDE均为直角三角形，且AD＝BD.

又∵DF⊥AC，DG⊥BE，

∴AF·

AC＝AD2，

BG·

BE＝DB2.

∵AD2＝DB2，

将原图分成两部分来看，就可以分别在两个三角形中运用射影定理，实现了沟通两个比例式的目的．在求解此类问题时，关键就是把握基本图形，从所给图形中分离出基本图形进行求解或证明．

3．如图所示，设CD是Rt△ABC的斜边AB上的高．

CA·

CD＝BC·

AD.

证明：

由射影定理知：

CD2＝AD·

CA2＝AD·

∴CA·

CD＝＝AD·

，

BC·

AD＝AD·

.

即CA·

4．Rt△ABC中有正方形DEFG，点D、G分别在AB、AC上，E、F在斜边BC上．

EF2＝BE·

FC.

过点A作AH⊥BC于H.

则DE∥AH∥GF.

∴＝，＝.

又∵AH2＝BH·

CH，

∴DE·

GF＝BE·

而DE＝GF＝EF，

∴EF2＝BE·

[对应学生用书P15]

一、选择题

1．已知Rt△ABC中，斜边AB＝5cm，BC＝2cm，D为AC上一点，DE⊥AB交AB于E，且AD＝3.2cm，则DE＝（　　）

A．1.24cm　　　　　　　B．1.26cm

C．1.28cmD．1.3cm

解析：

如图，∵∠A＝∠A，

∴Rt△ADE∽Rt△ABC，

∴＝，

DE＝＝＝1.28.

答案：

C

2．已知直角三角形中两直角边的比为1∶2，则它们在斜边上的射影比为（　　）

A．1∶2B．2∶1

C．1∶4D．4∶1

设直角三角形两直角边长分别为1和2，则斜边长为，∴两直角边在斜边上的射影分别为和.

3．一个直角三角形的一条直角边为3cm，斜边上的高为2.4cm，则这个直角三角形的面积为（　　）

A．7.2cm2B．6cm2

C．12cm2D．24cm2

长为3cm的直角边在斜边上的射影为＝1.8（cm），由射影定理知斜边长为＝5（cm），

∴三角形面积为×

5×

2.4＝6（cm2）．

B

4．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°

，CD⊥AB，D为垂足，若CD＝6cm，AD∶DB＝1∶2，则AD的值是（　　）

A．6cmB．3cm

C．18cmD．3cm

∵AD∶DB＝1∶2，

∴可设AD＝t，DB＝2t.

又∵CD2＝AD·

DB，∴36＝t·

2t，

∴2t2＝36，∴t＝3（cm），即AD＝3cm.

二、填空题

5．若等腰直角三角形的一条直角边长为1，则该三角形在直线l上的射影的最大值为________．

射影的最大值即为等腰直角三角形的斜边长．

6．如图所示，四边形ABCD是矩形，∠BEF＝90°

，①②③④这四个三角形能相似的是________．

因为四边形ABCD为矩形，

所以∠A＝∠D＝90°

因为∠BEF＝90°

，所以∠1＋∠2＝90°

因为∠2＋∠3＝90°

，所以∠1＝∠3.

所以△ABE∽△DEF.

①③

7．在△ABC中，∠A＝90°

，AD⊥BC于点D，AD＝6，BD＝12，则CD＝__________，AC＝__________，AB2∶AC2＝__________.

如图，AB2＝AD2＋BD2，

又AD＝6，BD＝12，

∴AB＝6.

由射影定理可得，AB2＝BD·

BC，

∴BC＝＝15.

∴CD＝BC－BD＝15－12＝3.

由射影定理可得，AC2＝CD·

∴AC＝＝3.

∴＝＝＝＝4.

3　3　4∶1

三、解答题

8．如图：

在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，DE是Rt△BCD斜边BC上的高，若BE＝6，CE＝2.

求AD的长是多少．

因为在Rt△BCD中，DE⊥BC，所以由射影定理可得：

CD2＝CE·

所以CD2＝16，

因为BD2＝BE·

所以BD＝＝4.

因为在Rt△ABC中，∠ACB＝90°

CD⊥AB，

所以由射影定理可得：

所以AD＝＝＝.

9．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，且CD2＝AD·

BD，求证：

∠ACB＝90°

∵CD⊥AB，

∴∠CDA＝∠BDC＝90°

即AD∶CD＝CD∶BD，

∴△ACD∽△CBD.∴∠CAD＝∠BCD.

又∵∠ACD＋∠CAD＝90°

∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD

＝∠ACD＋∠CAD＝90°

10．已知直角三角形周长为48cm，一锐角平分线分对边为3∶5两部分．

（1）求直角三角形的三边长；

（2）求两直角边在斜边上的射影的长．

（1）如图，设CD＝3x，BD＝5x，

则BC＝8x，

过D作DE⊥AB，

由题意可得，

DE＝3x，BE＝4x，

∴AE＋AC＋12x＝48.

又AE＝AC，

∴AC＝24－6x，AB＝24－2x.

∴（24－6x）2＋（8x）2＝（24－2x）2，

解得：

x1＝0（舍去），x2＝2.

∴AB＝20，AC＝12，BC＝16，

∴三边长分别为：

20cm,12cm,16cm.

（2）作CF⊥AB于F点，

∴AC2＝AF·

∴AF＝＝＝（cm）；

同理：

BF＝＝＝（cm）．

∴两直角边在斜边上的射影长分别为cm，cm.

[对应学生用书P16]

近两年高考中，由于各地的要求不同，所以试题的呈现形式也不同．但都主要考查相似三角形的判定与性质，射影定理，平行线分线段成比例定理；

一般试题难度不大，解题中要注意观察图形特点，巧添辅助线对解题可起到事半功倍的效果．在使用平行线分线段成比例定理及其推论时，一定要搞清有关线段或边的对应关系，切忌搞错比例关系．

1.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，E，F分别为AD，BC上的点，且EF＝3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为________．

由CD＝2，AB＝4，EF＝3，

得EF＝（CD＋AB），

∴EF是梯形ABCD的中位线，

则梯形ABFE与梯形EFCD有相同的高，设为h，

于是两梯形的面积比为

（3＋4）h∶（2＋3）h＝7∶5.

7∶5

2.如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E.若AB＝3AD，则的值为________．

连接AC，BC，则∠ACB＝90°

设AD＝2，则AB＝6，

于是BD＝4，OD＝1.

如图，由射影定理得CD2＝AD·

BD＝8，则CD＝2.

在Rt△OCD中，DE＝＝＝.

则CE＝＝＝，

EO＝OC－CE＝3－＝.

因此＝＝8.

8

平行线分线段相关定理

平行线等分线段定理、平行线分线段成比例定理，其实质是揭示一组平行线在与其相交的直线上截得的线段所呈现的规律，主要用来证明比例式成立、证明直线平行、计算线段的长度，也可以作为计算某些图形的周长或面积的重要方法，其中，平行线等分线段定理是线段的比为1的特例．

[例1]　如图，在△ABC中，DE∥BC，DH∥GC.

EG∥BH.

[证明]　∵DE∥BC，

∵DH∥GC，∴＝.

∴AE·

AB＝AC·

AD＝AH·

AG.

∴＝.∴EG∥BH.

[例2]　如图，直线l分别交△ABC的边BC，CA，AB于点D，E，F，且AF＝AB，BD＝BC，试求.

[解]　作CN∥AB交DF于点N，并作EG∥AB交BC于点G，由平行截割定理，知＝，＝，

两式相乘，得·

＝·

即＝·

又由AF＝AB，得＝2，

由BD＝BC，得＝，

所以＝2×

＝.

相似三角形的判定与性质

相似三角形的判定与性质揭示了形状相同，大小不一定相等的两个三角形之间的边、角关系．其应用非常广泛，涉及到多种题型，可用来计算线段、角的大小，也可用来证明线段、角之间的关系，还可以证明直线之间的位置关系．其中，三角形全等是三角形相似的特殊情况．

[例3]　如图所示，AD、CF是△ABC的两条高线，在AB上取一点P，使AP＝AD，再从P点引BC的平行线与AC交于点Q.

PQ＝CF.

[证明]　∵AD、CF是△ABC的两条高线，

∴∠ADB＝∠BFC＝90°

又∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBF.

又∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC.

∴＝.∴＝.∴＝.

又∵AP＝AD，∴CF＝PQ.

[例4]　四边形ABCD中，AB∥CD，CE平分∠BCD，CE⊥AD于点E，DE＝2AE，若△CED的面积为1，求四边形ABCE的面积．

[解]　如图，延长CB、DA交于点F