哈工大概率论与数理统计课后习题答案 一Word文档格式.docx

哈工大概率论与数理统计课后习题答案 一Word文档格式.docx

《哈工大概率论与数理统计课后习题答案 一Word文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《哈工大概率论与数理统计课后习题答案 一Word文档格式.docx（15页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

（3）S{（1,2,3）,（2,3,4）,（3,4,5）,（1,3,4）,（1,4,5）,（1,2,4）,（1,2,5）（2,3,5）,（2,4,5）,（1,3,5）}

A{（1,2,3）,（1,2,4）,（1,2,5）,（1,3,4）,（1,3,5）,（1,4,5）}

（4）S{（ab,,）,（,ab,）,（,,ab）,（a,b,）,（a,,b）,（b,a,）,（b,,a）,（,a,b,）,（,b,a）}，其中‘’表示空盒；

A{（ab,,）,（a,b,）,（a,,b）,（b,a,）,（b,,a）}。

（5）S{0,1,2,},A{0,1,2,3,4},B{3,4,}。

2．设A,B,C是随机试验E的三个事件，试用A,B,C表示下列事件：

（1）仅A发生；

（2）A,B,C中至少有两个发生；

·

1·

（3）A,B,C中不多于两个发生；

（4）A,B,C中恰有两个发生；

（5）A,B,C中至多有一个发生。

解

（1）

（2）ABACBC或ABC；

（3）或；

（4）；

（5）或；

3．一个工人生产了三件产品，以Ai（i1,2,3）表示第i件产品是正品，试用Ai表示下列事件：

（1）没有一件产品是次品；

（2）至少有一件产品是次品；

（3）恰有一件产品是次品；

（4）至少有两件产品不是次品。

解

（1）A

（2）（3）1A2A3A12A3A1A23；

1A2A3；

123；

（4）A1A2A1A3A2A3。

4．在电话号码中任取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率。

解设A‘任取一电话号码后四个数字全不相同’，则

4P12610P（A）40.50410250

5．一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求

（1）5只全是好的的概率；

（2）5只中有两只坏的的概率。

解

（1）设A‘5只全是好的’，则

5C37P（A）50.662；

C40

（2）设B‘5只中有两只坏的’，则

3C32C37P（B）0.0354.5C40

6．袋中有编号为1到10的10个球，今从袋中任取3个球，求

（1）3个球的最小号码为5的概率；

（2）3个球的最大号码为5的概率.

解

（1）设A‘最小号码为5’，则

C521P（A）3；

C1012

2·

（2）设B‘最大号码为5’，则

2C41P（B）3.C1020

7．

（1）教室里有r个学生，求他们的生日都不相同的概率；

（2）房间里有四个人，求至少两个人的生日在同一个月的概率.

解

（1）设A‘他们的生日都不相同’，则

rP365P（A）；

r365

（2）设B‘至少有两个人的生日在同一个月’，则

21222321C4C12P4111C4C12C4P12C12P（B）；

12496

或

4P4112P（B）1P（）14.1296

8．设一个人的生日在星期几是等可能的，求6个人的生日都集中在一个星期中的某两天，但不是都在同一天的概率.

解设A‘生日集中在一星期中的某两天，但不在同一天’，则

2C7（262）P（A）0.01107.76

9．将C,C,E,E,I,N,S等7个字母随机地排成一行，那么恰好排成英文单词SCIENCE的概率是多少？

解1设A‘恰好排成SCIENCE’

将7个字母排成一列的一种排法看作基本事件，所有的排法：

2字母C在7个位置中占两个位置，共有C7种占法，字母E在余下的5个位

2置中占两个位置，共有C5种占法，字母I,N,C剩下的3个位置上全排列的方法

22共3！

种，故基本事件总数为C7C53!

1260，而A中的基本事件只有一个，

故

P（A）11；

2C7C523!

1260

解2七个字母中有两个E，两个C，把七个字母排成一排，称为不尽相异元素的全排列。

一般地，设有n个元素，其中第一种元素有n1个，第二种元素有n2个…，第k种元素有nk个（n1n2nkn），将这n个元素排成一排

3·

称为不尽相异元素的全排列。

不同的排列总数为

n!

，n1!

n2!

nk!

对于本题有

P（A）141.7!

7!

2!

10．从0,1,2,,9等10个数字中，任意选出不同的三个数字，试求下列事件的概率：

A1‘三个数字中不含0和5’，A2‘三个数字中不含0或5’，A3‘三个数字中含0但不含5’.

3C87解P（A1）3.C1015

333C9C9C814P（A2）333，C10C10C1015

1C814P（A2）1P

（2）13，C1015

C827P（A3）3.C1030

11．将n双大小各不相同的鞋子随机地分成n堆，每堆两只，求事件A‘每堆各成一双’的概率.

解n双鞋子随机地分成n堆属分组问题，不同的分法共

‘每堆各成一双’共有n!

种情况，故（2n）!

（2n）!

2!

（2!

）n

2nn!

P（A）（2n）!

12．设事件A与B互不相容，P（A）0.4,P（B）0.3，求P（）与P（B）

解P（）1P（AB）1P（A）P（B）0.3

因为A,B不相容，所以B，于是

P（B）P（）0.6

13．若P（AB）P（）且P（A）P，求P（B）.

解P（）1P（AB）1P（A）P（B）ABP（）

4·

由P（）P（AB）得

P（B）1P（A）1p

14．设事件A,B及AB的概率分别为p,q,r，求P（AB）及P（A）解P（AB）P（A）P（B）P（AB）pqr

P（A）P（A）P（）P（）P（A）1P（B）P（A）P（AB）1qpqr1pr.

15．设P（A）P（B）0.7，且A,B仅发生一个的概率为0.5，求A,B都发生的概率。

解1由题意有

0.5P（）P（）P（）

P（A）P（AB）P（B）P（AB）

0.72P（AB），

所以

P（AB）0.1.

解2A,B仅发生一个可表示为ABAB，故

0.5P（AB）P（AB）P（A）P（B）2P（AB）,

16．设P（A）0.7,P（AB）0.3,

P（AB）0.4，

P（AB）0.6；

0.2P（B）P（AB）P（B）0.4.

P（B）0.6

P（）1P（AB）1P（A）P（B）P（AB）0.1

17．设ABC，试证明P（A）P（B）P（C）1

[证]因为ABC，所以P（BA）0.2，求P（AB）与P（）.P（AB）P（A）P（AB）0.7P，A（B解0.3

P（C）P（AB）P（A）P（B）P（AB）P（A）P（B）1

5·

P（A）P（B）P（C）1.证毕.

18．对任意三事件A,B,C，试证

P（AB）P（AC）P（BC）P（A）.

[证]P（AB）P（AC）P（BC）P（AB）P（AC）P（ABC）

P（ABAC）P{A（BC）}P（A）.证毕.

19．设A,B,C是三个事件，且P（A）P（B）P（C）,P（AB）P（BC）0，1

4

1P（AC），求A,B,C至少有一个发生的概率。

8

解P（ABC）P（A）P（B）P（C）P（A）B（PA）C（PB）C（PABC

）因为0P（ABCP（AB），所以0P（ABC）0，于是

315P（ABC）488

20

．随机地向半圆0y（a为正常数）P（A）122半园的面积a221．把长为a的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率.

解1设A‘三段可构成三角形’，又三段的长分别为x,y,axy，则0xa,0ya,0xya，不等式构成平面域S.

aaa,0y,xya222不等式确定S的子域A，所以A发生0xP（A）A的面积1S的面积4

解2设三段长分别为x,y,z，则0xa,0ya,0za且xyza，不等式确定了三维空间上的有界平面域S.

6·

A发生xyz

xzy

yzx不等式确定S的子域A，所以P（A）.S的面积422．随机地取两个正数和，这两个数中的每一个都不超过1，试求x与A的面积1y之和不超过1，积不小于0.09的概率.

S.A‘xy1,xy0.09’则A发生的充要条件为0xy1,1xy0.09不等式确定了S的子域A，故

0.9A的面积0.9P（A）（1x）dx0.1S的面积x0.40.18ln30.2

23．（蒲丰投针问题）在平面上画出等距离a（a0）的一些平行线，向平面上随机地投掷一根长l（la）的针，求针与任一平行线相交的概率.

解设A‘针与某平行线相交’，针落在平面上的情况不外乎图中的几种，设x为针的中点到最近的一条平行线的距离。

为针与平行线的夹角，则

0xa,0，不等式确定了平面上2

的一个区域S.

A发生xsin，不等式确定S的子域A2L

故P（A）a10L2Lsind2a

2

7·

习题二

1．假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中任取一件，发现它不是三等品，求它是一等品的概率.

解设Ai‘任取一件是i等品’i1,2,，3

所求概率为

P（A1|3）

因为3A1A2

所以P（P（2A）3）P（A1）

P（A（A）13）P1

P（A1|3）60.P（A13），P（3）0.60.30.962.93

2．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也是不