复变函数习题答案第3章习题详解.doc

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第三章习题详解

1．沿下列路线计算积分。

1）自原点至的直线段；

解：

连接自原点至的直线段的参数方程为：

2）自原点沿实轴至，再由铅直向上至；

解：

连接自原点沿实轴至的参数方程为：

连接自铅直向上至的参数方程为：

3）自原点沿虚轴至，再由沿水平方向向右至。

解：

连接自原点沿虚轴至的参数方程为：

连接自沿水平方向向右至的参数方程为：

2．分别沿与算出积分的值。

解：

而

3．设在单连通域内处处解析，为内任何一条正向简单闭曲线。

问，是否成立？

如果成立，给出证明；如果不成立，举例说明。

解：

不成立。

例如：

，，

4．利用在单位圆上的性质，及柯西积分公式说明，其中为正向单位圆周。

解：

5．计算积分的值，其中为正向圆周：

1）；

解：

在上，

2）

解：

在上，

6．试用观察法得出下列积分的值，并说明观察时所依据的是什么？

是正向的圆周。

1）

解：

在内解析，根据柯西—古萨定理，

2）

解：

在内解析，根据柯西—古萨定理，

3）

解：

在内解析，根据柯西—古萨定理，

4）

解：

在内解析，在内，

5）

解：

在内解析，根据柯西—古萨定理，

6）

解：

在内解析，在内，

7．沿指定曲线的正向计算下列各积分：

1），：

解：

在内，在解析，根据柯西积分公式：

2），：

解：

在内，在解析，根据柯西积分公式：

3），：

解：

在内，在解析，根据柯西积分公式：

4），：

解：

不在内，在解析，根据柯西—古萨定理：

5），：

解：

在解析，根据柯西—古萨定理：

6），：

为包围的闭曲线

解：

在解析，根据柯西—古萨定理：

7），：

解：

在内，在解析，根据柯西积分公式：

8），：

解：

在内，在解析，根据柯西积分公式：

9），：

解：

在内，在解析，根据高阶导数公式：

10），：

解：

在内，在解析，根据高阶导数公式：

8．计算下列各题：

1）

解：

2）；

解：

3）；

解：

4）；

解：

5）；

解：

6）（沿到的直线段）。

解：

9．计算下列积分：

1），（其中：

为正向）；

解：

2），（其中：

为正向）；

解：

3），（其中：

为正向，：

为负向）；

解：

在所给区域是解析的，根据复合闭路定理：

4），：

（其中为以，为顶点的正向菱形）；

解：

在所给区域内，有一孤立奇点，由柯西积分公式：

5），（其中为的任何复数，：

为正向）。

解：

当，在所给区域内解析，根据柯西—古萨基本定理：

当，在所给区域内解析，根据高阶导数公式：

10．证明：

当为任何不通过原点的简单闭曲线时，。

证明：

当所围成的区域不含原点时，根据柯西—古萨基本定理：

；

当所围成的区域含原点时，根据高阶导数公式：

；

11．下列两个积分的值是否相等？

积分2）的值能否利用闭路变形原理从1）的值得到？

为什么？

1）

2）

解：

1）；2）

由此可见，1）和2）的积分值相等。

但2）的值不能利用闭路变形原理从1）得到。

因为在复平面上处处不解析。

12．设区域为右半平面，为内圆周上的任意一点，用在内的任意一条曲线连接原点与，证明。

[提示：

可取从原点沿实轴到，再从沿圆周到的曲线作为。

证明：

因为在内解析，故积分与路径无关，取从原点沿实轴到，再从沿圆周到的曲线作为，则：

13．设和为相交于、两点的简单闭曲线，它们所围的区域分别为与。

与的公共部分为。

如果在与内解析，在、上也解析，证明：

。

证明：

如图所示，在与内解析，在、上也解析，由柯西—古萨基本定理有：

14．设为不经过与的正向简单闭曲线，为不等于零的任何复数，试就与跟的不同位置，计算积分的值。

解：

分四种情况讨论：

1）如果与都在的外部，则在内解析，柯西—古萨基本定理有

2）如果与都在的内部，由柯西积分公式有

3）如果在的内部，都在的外部，则在内解析，由柯西积分公式有

4）如果在的外部，都在的内部，则在内解析，由柯西积分公式有

15．设与为两条互不包含，也不相交的正向简单闭曲线，证明

证明：

因为与为两条互不包含，也不相交，故与只有相离的

位置关系，如图所所示。

1）当在内时，在内解析，根据柯西—古萨基本定理以及柯西积分公式：

2）当在内时，在内解析，根据柯西—古萨基本定理以及柯西积分公式：

16．设函数在内解析，且沿任何圆周：

，的积分等于零，问是否必需在处解析？

试举例说明之。

解：

不一定。

例如：

在处不解析，但。

17．设与在区域内处处解析，为内的任何一条简单闭曲线，它的内部全含于。

如果在上所有的点处成立，试证在内所有的点处也成立。

证明：

设是内任意一点，因为与在及内解析，由柯西积分公式有：

，

又在上所有的点处成立，故有：

即在内所有的点处成立。

18．设区域是圆环域，在内解析，以圆环的中心为中心作正向圆周与，包含，为，之间任一点，试证仍成立，但要换成。

证明：

19．设在单连通域内处处解析，且不为零，为内任何一条简单闭曲线。

问积分是否等于零？

为什么？

解：

因为在单连通域内处处解析且不为零，又解析函数的导数仍然是解析函数，故在内处处解析。

根据柯西—古萨基本定理，有

20．试说明柯西—古萨基本定理中的为什么可以不是简单闭曲线？

解：

如不是简单闭曲线，将分为几个简单闭曲线的和。

如，则，是简单闭曲线。

21．设在区域内解析，为内的任意一条正向简单闭曲线，证明：

在对内但不在上的任意一点，等式成立。

证明：

分两种情况：

1）如果在的外部，和在内解析，故

2）如果在的内部，在内解析的函数，其导函数仍是内的解析函数，根据柯西积分公式有：

由高阶导数公式有：

22．如果和都具有二阶连续偏导数，且适合拉普拉斯方程，而，，那末是的解析函数。

证明：

，

，

又和都具有二阶连续偏导数，所以混合偏导相等，即，。

和满足拉普拉斯方程：

，

，

故是的解析函数。

23．设为区域内的调和函数及，问是不是内的解析函数？

为什么？

解：

设，则，

，

，

因为为区域内的调和函数，具有二阶连续偏导且满足拉普拉斯方程

，是内的解析函数。

24．函数是的共轭调和函数吗？

为什么？

解：

，，，，

故函数不是的共轭调和函数。

25．设和都是调和函数，如果是的共轭调和函数，那末也是的共轭调和函数。

这句话对吗？

为什么？

解：

这句话不对。

如果是的共轭调和函数，则是解析函数，满足柯西—黎曼方程：

，，

即是的共轭调和函数，就不是的共轭调和函数。

26．证明：

一对共轭调和函数的乘积仍为调和函数。

证明：

27．如果是一解析函数，试证：

1）也是解析函数；

证明：

2）是的共轭调和函数；

证明：

3）。

证明：

28．证明；和都是调和函数，但是不是解析函数。

证明

29．求具有下列形式的所有调和函数：

1），与为常数；

解：

2）。

[提示：

1）l令，因，从而有；2）令。

]

解：

30．由下列各已知调和函数求解析函数。

1）；

解：

2），；

解：

3），；

解：

4），。

解：

31．设，求的值使为调和函数，并求出解析函数。

解：

32．如果是区域内的调和函数，为内以为中心的任何一个正向圆周：

，它的内部全含于。

试证：

[提示：

利用平均值公式。

]

1）在的值等于在圆周上的平均值，即；

证明：

2）在的值等于，在圆域上的平均值，即。

证明：

33．如果在区域内处处解析，为的正向圆周：

，它的内部全含于。

设为内一点，并令，试证。

证明：

34．根据柯西积分公式与习题33的结果，证明，其中为。

证明：

35．如果令，，验证。

并由34题的结果，证明。

取其实部，得。

这个积分称为泊松积分。

通过这个积分，一个调和函数在一个圆内的值可用它在圆周上的值来表示。

证明：

36．设在简单闭曲线内及上解析，且不恒为常数，为正整数

1）试用柯西积分公式证明：

。

证明：

2）设为在上的最大值，为的长，为到的最短距离，试用积分估值公式于1）中的等式，证明不等式：

。

证明：

3）令，对2）中的不等式取极限，证明：

，这个结论表明：

在闭区域内不恒为常数的解析函数的模的最大值只能在区域的边界上取得（最大模原理）。

证明：

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