圆幂定理讲义带答案解析Word文件下载.docx

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﹣∠A=60°

，

∴CD=BC•sinB=4×

=2（cm），∴OE=CD=2，

在△AOE中，AE=AB=4cm，

则OA===2（cm），则MN=2OA=4（cm）．故答案是：

4．

【点评】本题考查了垂径定理的应用，在半径或直径、弦长以及弦心距之间的计算中，常用的方法是转化为解直角三角形．

2.（2017•阿坝州）如图将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（　　）

A．2cmB．cmC．2cmD．2cm

【考点】M2：

垂径定理；

PB：

翻折变换（折叠问题）．

【分析】通过作辅助线，过点O作OD⊥AB交AB于点D，根据折叠的性质可知OA=2OD，根据勾股定理可将AD的长求出，通过垂径定理可求出AB的长．

过点O作OD⊥AB交AB于点D，连接OA，

∵OA=2OD=2cm，∴AD===（cm），

∵OD⊥AB，∴AB=2AD=2cm．故选：

D．

【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的运用，正确应用勾股定理是解题关键．

3.（2014•泸州）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（　　）

A．4B．C．D．

F8：

一次函数图象上点的坐标特征；

勾股定理．

【专题】11：

计算题；

16：

压轴题．

【分析】PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，由于OC=3，PC=a，易得D点坐标为（3，3），则△OCD为等腰直角三角形，△PED也为等腰直角三角形．由PE⊥AB，根据垂径定理得AE=BE=AB=2，在Rt△PBE中，利用勾股定理可计算出PE=1，则PD=PE=，所以a=3+．

作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，如图，

∵⊙P的圆心坐标是（3，a），∴OC=3，PC=a，

把x=3代入y=x得y=3，∴D点坐标为（3，3），∴CD=3，

∴△OCD为等腰直角三角形，∴△PED也为等腰直角三角形，

∵PE⊥AB，∴AE=BE=AB=×

4=2，在Rt△PBE中，PB=3，

∴PE=，∴PD=PE=，∴a=3+．故选：

B．

【点评】本题考查了垂径定理：

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质．

4.（2013•内江）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为　　．

【考点】FI：

一次函数综合题．

【专题】16：

【分析】根据直线y=kx﹣3k+4必过点D（3，4），求出最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，再求出OD的长，再根据以原点O为圆心的圆过点A（13，0），求出OB的长，再利用勾股定理求出BD，即可得出答案．

∵直线y=kx﹣3k+4=k（x﹣3）+4，∴k（x﹣3）=y﹣4，

∵k有无数个值，∴x﹣3=0，y﹣4=0，解得x=3，y=4，

∴直线必过点D（3，4），∴最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，

∵点D的坐标是（3，4），∴OD=5，

∵以原点O为圆心的圆过点A（13，0），∴圆的半径为13，

∴OB=13，∴BD=12，∴BC的长的最小值为24；

故答案为：

24．

【点评】此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质，关键是求出BC最短时的位置．

STEP2:

新课讲解

1、熟练掌握圆幂定理的基本概念。

2、熟悉有关圆幂定理的相关题型，出题形式与解题思路。

3、能够用自己的话叙述圆幂定理的概念。

4、通过课上例题，结合课下练习。

掌握此部分的知识。

一、相交弦定理

二、

相交弦定理

（1）相交弦定理：

圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）．

几何语言：

若弦AB、CD交于点P，则PA•PB=PC•PD（相交弦定理）

（2）推论：

如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成

的两条线段的比例中项．　　

若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2=PA•PB（相交弦定理推论）．

Ø

基本题型：

【例1】（2014秋•江阴市期中）如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，若AP=3，BP=4，CP=2，则CD长为（　　）

A．6B．12C．8D．不能确定

【考点】M7：

相交弦定理．

计算题．

【分析】由相交线定理可得出AP•BP=CP•DP，再根据AP=3，BP=4，CP=2，可得出PD的长，从而得出CD即可．

∵AP•BP=CP•DP，

∴PD=，

∵AP=3，BP=4，CP=2，

∴PD=6，

∴CD=PC+PD=2+6=8．

故选C．

【点评】本题考查了相交线定理，圆内两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．

【练习1】（2015•南长区一模）如图，矩形ABCD为⊙O的内接四边形，AB=2，BC=3，点E为BC上一点，且BE=1，延长AE交⊙O于点F，则线段AF的长为（　　）

A．B．5C．+1D．

【分析】由矩形的性质和勾股定理求出AE，再由相交弦定理求出EF，即可得出AF的长．

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B=90°

∴AE===，

∵BC=3，BE=1，∴CE=2，

由相交弦定理得：

AE•EF=BE•CE，

∴EF==，

∴AF=AE+EF=；

故选：

A．

【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理、相交弦定理；

熟练掌握矩形的性质和相交弦定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．

综合题型

【例2】（2004•福州）如图，AB是⊙O的直径，M是⊙O上一点，MN⊥AB，垂足为N．P、Q分别是、上一点（不与端点重合），如果∠MNP=∠MNQ，下面结论：

①∠1=∠2；

②∠P+∠Q=180°

；

③∠Q=∠PMN；

④PM=QM；

⑤MN2=PN•QN．其中正确的是（　　）

A．①②③B．①③⑤C．④⑤D．①②⑤

相交弦定理；

M2：

M4：

圆心角、弧、弦的关系；

M5：

圆周角定理；

S9：

相似三角形的判定与性质．

【分析】根据圆周角定理及已知对各个结论进行分析，从而得到答案．

延长MN交圆于点W，延长QN交圆于点E，延长PN交圆于点F，连接PE，QF

∵∠PNM=∠QNM，MN⊥AB，

∴∠1=∠2（故①正确），

∵∠2与∠ANE是对顶角，

∴∠1=∠ANE，

∵AB是直径，

∴可得PN=EN，

同理NQ=NF，

∵点N是MW的中点，MN•NW=MN2=PN•NF=EN•NQ=PN•QN（故⑤正确），

∴MN：

NQ=PN：

MN，

∵∠PNM=∠QNM，

∴△NPM∽△NMQ，

∴∠Q=∠PMN（故③正确）．

故选B．

【点评】本题利用了相交弦定理，相似三角形的判定和性质，垂径定理求解．

与代数结合的综合题

【例3】（2016•中山市模拟）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q．若QP=QO，则的值为（　　）

A．B．C．D．

【分析】设⊙O的半径为r，QO=m，则QP=m，QC=r+m，QA=r﹣m．利用相交弦定理，求出m与r的关系，即用r表示出m，即可表示出所求比值．

如图，设⊙O的半径为r，QO=m，则QP=m，QC=r+m，

QA=r﹣m．

在⊙O中，根据相交弦定理，得QA•QC=QP•QD．

即（r﹣m）（r+m）=m•QD，所以QD=．

连接DO，由勾股定理，得QD2=DO2+QO2，

即，

解得

所以，

故选D．

【点评】本题考查了相交弦定理，即“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”．熟记并灵活应用定理是解题的关键．

需要做辅助线的综合题

【例4】（2008秋•苏州期末）如图，⊙O过M点，⊙M交⊙O于A，延长⊙O的直径AB交⊙M于C，若AB=8，BC=1，则AM=　　．

圆周角定理．

【分析】根据相交弦定理可证AB•BC=EB•BF=（EM+MB）（MF﹣MB）=AM2﹣MB2=8，又由直径对的圆周角是直角，用勾股定理即可求解AM=6．

作过点M、B的直径EF，交圆于点E、F，

则EM=MA=MF，

由相交弦定理知，AB•BC=EB•BF=（EM+MB）（MF﹣MB）=AM2﹣MB2=8，

∵AB是圆O的直径，

∴∠AMB=90°

由勾股定理得，AM2+MB2=AB2=64，

∴AM=6．

【点评】本题利用了相交弦定理，直径对的圆周角是直角，勾股定理求解．

三、割线定理

割线定理

割线定理：

从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．

几何语言：

∵PBA，PDC是⊙O的割线

∴PD•PC=PA•PB（割线定理）

由上可知：

PT2=PA•PB=PC•PD．

基本题型

【例5】（1998•绍兴）如图，过点P作⊙O的两条割线分别交⊙O于点A、B和点C、D，已知PA=3，AB=PC=2，则PD的长是（　　）

A．3B．7.5C．5D．5.5

【考点】MH：

切割线定理．

【分析】由已知可得PB的长，再根据割线定理得PA•PB=PC•PD即可求得PD的长．

∵PA=3，AB=PC=2，

∴PB=5，

∵PA•PB=PC•PD，

∴PD=7.5，

【点评】主要是考查了割线定理的运用．

【练习2】

（2003•天津）如图，Rt△ABC中，∠C=90°

，AC=3，BC=4，以点C为圆心、CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E．求AB、AD的长．

切割线定理；

【分析】Rt△ABC中，由勾股定理可直接求得AB的长；

延长BC交⊙C于点F，根据割线定理，得BE•BF=BD•BA，由此可求出BD的长，进而可求得AD的长．

法1：

在Rt△ABC中，AC=3，BC=4；

根据勾股定理，得AB=5．

延长BC交⊙C于点F，则有：

EC=CF=AC=3（⊙C的半径），

BE=BC﹣EC=1，BF=BC+CF=7；

由割线定理得，BE•BF=BD•BA，

于是BD=；

所以AD=AB﹣BD=；

法2：

过C作CM⊥AB