图论第一次作业.docx

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习题一：

l4.证明下面两图同构。

证明:

作映射f:

vi↔ui（i=1,2….10）

容易证明，对"vivjÎE（（a））,有f（vivj,）,=,ui,uj,Î,E,（（b））（1£i£10,1£j£10）由图的同构定义知，图（a）与（b）是同构的。

l5.证明：

四个顶点的非同构简单图有11个。

证明：

设四个顶点中边的个数为m，则有：

m=0:

m=1：

m=2：

m=3：

m=4：

m=5：

m=6：

因为四个顶点的简单图最多就是具有6条边，上面所列出的情形是在不同边的条件下的不同构的情形，则从上面穷举出的情况可以看出四个顶点的非同构简单图有11个。

l11.证明：

序列（7,6,5,4,3,3,2）和（6,6,5,4,3,3,1）不是图序列。

证明：

由于7个顶点的简单图的最大度不会超过6，因此序列（7,6,5,4,3,3,2）不是图序列；

（6,6,5,4,3,3,1）是图序列

非负整数组是图序列的充要条件是：

是图序列

（5,4,3,2,2,0）是图序列，然而（5,4,3,2,2,0）不是图序列，所以（6,6,5,4,3,3,1）不是图序列。

l12.证明：

若δ≥2，则G包含圈。

证明：

下面仅对连通图的下的条件下进行证明，不连通的情形可以通过分成若干个连通的情形来证明。

设VG={V1，V2,V3,⋯Vn},对于G中的路V1，V2,V3,⋯Vn若Vk与V1邻接，则构成一个圈。

若Vi1，Vi2,Vi3,⋯Vin是一条路，由于δ≥2，因此，对于Vin，存在Vik与之邻接，则Vik，,⋯VinVik构成一个圈。

l17.证明：

若G不连通，则G连通。

证明：

对于任意的u,v∈（G）,若u与v属于G的不同连通分支，显然u与v在G中连通；若u与v属于g的同一连通分支，设w为G的另一个连通分支中的一个顶点，则u与w，v与w分别在G中连通，因此，u与v在G中连通。

l18.证明：

若e∈E（G）,则wG≤wG-e≤wG+1.

证明：

若e为G的割边，则wG-e=wG+1，若e为G的非割边，则wG-e=wG，所以，若e∈E（G），则有wG≤wG-e≤wG+1.

习题二：

1.证明：

非平凡树的最长路的起点和终点均是1度的。

证明设P=v1v2…vk是非平凡树T中一条最长路，若d（v1）≥2则v1与vk在T中的邻接点只能有一个，否则，若v1与除了P中顶点之外的其他顶点相连，则P可以继续延长，这与P是最长路是相矛盾的。

若v1与P上的某顶点相连，则就构成了圈，这与数相矛盾，推出P不是最长路。

即说明v1与vk是树叶，则v1与vk均是一度的。

所以非平凡树的最长路的起点和终点均是1度的。

9.证明：

顶点度数为偶数的连通图本身可构成一个包含所有边的闭迹。

证明：

证明：

由于G是连通非平凡的且每个顶点度数为偶数，所以G中至少存在圈C1,从G中去掉C1中的边，得到G的生成子图G1,若G1没有边，则G的边集合能划分为圈。

否则，G1的每个非平凡分支是度数为偶数的连通图，于是又可以抽取一个圈。

反复这样抽取，E（G）最终划分为若干圈。

设C1是G的边划分中的一个圈。

若G仅由此圈组成，则G显然是闭迹。

否则，由于G连通，所以，必然存在圈C2,它和C1有公共顶点。

于是，C1∪C2是一条含有C1与C2的边的欧拉闭迹，如此拼接下去，得到包含G的所有边的一条闭迹.

16.Kruskal算法能否用来求：

（1）赋权连通图中的最大权的树？

（2）赋权图中的最小权的最大森林？

如果可以，怎样实现？

答：

1、不能，由Kruskal算法得到的任何生成树一定是最小生成树。

2、能

a.选择边e1使其权值最小

b.若已经选定边e1e2e3……ek，则从E-{e1，e2，e3……ek}，选择边ek+1

c．G[e1,e2,e3……ek]为无圈图，且可以不连通

d．ek+1的权值w（eK+1）尽可能小

e．当a、b、c不能进行时，停止。

习题三：

1.证明：

e是连通图G的割边当且仅当V（G）可划分为两个子集V1和V2，使对任意u∈V1及v∈V2,G中的路（u，v）必含e.

证明：

必要性:

e是G的割边，故G-e至少含有两个连通分支，设V1是其中一个连通分支的顶点集，V2是其余分支的顶点集，对，因为G-e中的u,v不连通，而在G中u与v连通，所以e在每一条（u,v）路上，G中的（u,v）必含e。

充分性：

取，由假设G中所有（u,v）路均含有边e，从而在G-e中不存在从u与到v的路，这表明G-e不连通，所以e是割边。

3.设G是阶大于2的连通图，证明下列命题等价：

（1）G是块

（2）G无环且任意一个点和任意一条边都位于同一个圈上；

（3）G无环且任意三个不同点都位于同一条路上。

（1）→

（2）：

G是块，任取G的一点u，一边e，在e边插入一点v，使得e成为两条边，由此得到新图G1，显然G1的是阶数大于2的块，由定理4，G1中的u,v位于同一个圈上，于是G中u与边e都位于同一个圈上。

（2）→（3）：

G无环，且任意一点和任意一条边都位于同一个圈上，任取G的点u，边e，若u不在e上，则三个不同点位于同一个圈，即位于同一条路，如u在e上，由定理e的两点在同一个圈上，在e边插入一个点v，使得e成为2条边，由此得到新图G1，显然G1的是阶数大于2的块，则两条边的三个不同点在同一条路上。

（3）→

（1）：

G连通，若G不是块，则G中存在着割点u，划分为不同的子集块V1,V2,V1,V2无环，，点u在每一条（x,y）的路上，由于x,y的任意性，则三个不同点不能位于同一条路上，则与已知矛盾，G是块。

7.证明：

若v是简单图G的一个割点，则v不是补图G的割点。

证明：

v是单图G的割点，则G-v至少两个连通分支。

现任取x,y∈V（G-v）,如果x,y在G-v的同一分支中，令u是与x,y处于不同分支的点，那么，通过u，可说明，x,与y在G-v的补图中连通。

若x,y在G-v的不同分支中，则它们在G-v的补图中邻接。

所以，若v是G的割点，则v不是其补图的割点。

12.对图3——20给出的图G1和G2，求其连通度和边连通度，给出相应的最小点割和最小边割。

解：

最小点割{6,8}

最小边割{（6,5），（8,5）}{（6,7），（8,7）}{（6,9），（8,9）}

最小点割{6,7,8,9,10}

最小边割{（2,7），（1,6），（5,10），（4,9），（3,8）}

13.设H是连通图G的子图，举例说明：

有可能k（H）>k（G）.

解：

通常kH

H

e

整个图为G，割点e左边的图H为G的的子图，kH=3kG=1，则kH>k（G）.