八年级数学几何证明题Word格式文档下载.docx
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图6
AAABC是等边三角形
［例2】、如图，已知BC>
AB,AD二DC。
BD平分ZABC「求证：
ZA+ZC=180°
.
在BC上截取BE二BA,连接DE,AZA=ZBEDAD=DE
VBD平分ZBAC
VAD=DC
D
AZABD=ZEBD
在Z\ABD和ZkEBD中
AB=EB
<
ZABD=ZEBD
BD=BD
AABD9AEBD（SAS）
•••DE二DC
得ZDEC=ZC
VZBED+ZDEC=180°
.•.ZA+ZC=180°
/.BD=DE
1、线段的数量关系：
通过添加辅助线构造全等三角形转移线段到•个三角形中证明线段相等。
①倍长中线
【例.3】如图，已知在△ABC中，ZC=90°
ZB=30#,AD平分ABAC,交BC于点D.
求证：
BD=2CD证明：
延长DC到E,
TZC=90°
•••AC丄CD
VCD=CE
•••AD二AE
ABD=2DC
VZB=30°
ZC=90°
AZBAC=60°
TAD平分ZBAC
AZBAD=30°
ADB=DAZADE=60°
【例4.】如图，D是AABC的边3C上的点，且CD=AB、ZADB=ZBAD,AE是的中线。
AC=2AE.
AZFAD=ZBAD
/.AD平分ZDAE
TAC=DC
•••ZCAD=ZCDA
【小结】熟悉法一.法三“倍长中线”的辅助线包含的基本图形“八字型”和“倍长中线”两种基本操作方法.
倍长中线，或者倍长过中点的一条线段以后的对于解决含有过中点线段有很好的效果。
【变式练习】：
如图所示，AD是Z\ABC的中线，BE交AC于E,交AD于F,且AC=BFo求证：
AE=EFo
②.借助角平分线造全等
FOC
.•.2ZOAC+2ZACO=120°
COF（ASA）
•••ZOAC+ZACO二60°
TZAOE二ZOAC+ZACO
•••ZAOE=60°
TZAOE=ZCOD
•IZCOD=60c
AOD=OF
VOE=OF
AOE=OD
【例6】.如图，AABC中，ZBAC=90度，AB二AC,BD是ZABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E,
直线CE交BA的延长线于F・求证：
BD二2CE.
延长BA,CE交于点F,在ABEF和ABEC中，
VZ1=Z2,BE二BE,ZBEF=ZBEC=90%
AABEF^ABEC,AEF=EC,从而CF=2CEc
又Zl+ZF=Z3+ZF=90%故Z1=Z3C
在AABD和AACF中，VZl=Z3tAB二AC,ZBAD=ZCAF=90\
AAABD^AACF,ABD=CF,ABD=2CEo
【小结】解题后的思考：
于角平行线的问题，常用两种辅助线;
）
③旋转
【例7】正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF二EF,求ZEAF的度数.
延长EB到点G,使得BG二BE
.\ZGAE=ZFAE
ZDAF+ZBAF=90°
先证明AADF竺Aabe
可得到AF=AGZDAF=ZGAB
VEF=BE+DF
•IEF=BE+BG=GE
ZGAB=ZFAD
AZGAF=90°
AZEAF=45°
/.AGAE9Afae
【例8】•将一张正方形纸片按如图的方式折叠，BC、BD为折痕，则ZCED的大小为90°
:
【例9】・如图，已知ZABC二ZDBE二90°
DB=BE,AB=BC・⑴求证：
AD二CE,AD丄CE
（2）若ADBE绕点B旋转到
AABC外部，其他条件不变，则⑴中结论是否仍成立请证明
提示：
ZABC=ZDBE=90°
•:
ZABC-ZDBC=ZDBE・ZDBC
即ZABD=ZCBE「•△ABDCBE
AD=CE
ZBAD=ZECBVZBAD+ZAHB=90°
【例10】•如图在RtAABC中,AB二AC,ZBAC=90°
Q为BC中点.⑴写出O点到ZkABC三个顶点A、B、C的距离关
系（不要求证明）
（2）如果M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动过程中保持AN二BM,请判断AOMN的形状,
并证明你的结论.
联结OA
则AOAC和AOABD都为等腰直角三角形
/.OA=OB=OC
AANO9ABMO（ZNOA=ZOBM）
可得ON二OM
ZNOA=ZMOB
可得到ZNOM=ZAOB=90°
【例口】如图，已知MBC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CAy43上，且MEF也是等边三角
形.
（1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的:
（2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到写出变化过程.
AE=BF=CDAF=BD=CE
AABC等边三角形ADEF也是等边三角形
Y
得到ZEFD=60°
ZABC=60°
VZAFD=ZFBD+ZFDB
ZAFD=ZAFE+ZEFD
AZAFE=ZBDF
AAAEF9ABFD
同理：
Aaef^Acde
④.截长补短
【例12】.如图，AABC中，AB=2AC»
AD平分ZBAC.且AD二BD,求证：
CD1AC
【例13】如图，AC〃BD,EA,EB分别平分ZCAB^DBA,CD过点E,求ilE；
AB=AC+BD
A
B
【例14】如图，已知在△ABC内，ZBAC=60SZC=40°
P,Q分别在BC,CA上，并且AP,BQ分别是ABAC,
ZABC的角平分线。
BQ+AQ二AB+BP
如图
（1）,过O作OD〃BC交AB于D,
/•ZADO=ZABC=180°
-60°
一40°
=80°
•
乂TZAQO二ZC+ZQBU80°
AZADO=ZAQO,
乂TZDAO二ZQAO,OA=AO,
Aado^Aaqo,
•••OD=OQ,AD二AQ,
又・.PD〃BP,
•\ZPBO=ZDOB,
乂VZPBO=ZDBO,
•\ZDBO=ZDOB,
ABD=OD,
又VZBPA=ZC+ZPAC=70°
ZBOP=ZOBA+ZBAO=70°
AZBOP=ZBPO,
「•BP二OB,
•••AB+BP二AD+DB+BP二AQ+OQ+BO二AQ+BQ。
【例15】.如图，在AABC中，ZABC二60°
AD、CE分别平分ZBAC、ZACB,求证：
AC二AE+CD.
电
方法同【例5】
【例16】已知：
Z1=Z2>
CD二DE,EYHABCM.NBC、ACBM=CNAMBN<
图，在四边形ABCD中，ADIIBC,BC=DC,CF平分ZBCD,DFIIAB,BF的延长f
△BFC旻厶DFC：
（2）AD=DE.
联结BD
TCF平分ZBCD
AZBCF=ZDCF
I^EABCF和ADCF中
'
BC=CD
ZBCF=ZDCF
CF=CF
•••ZADB二ZCDB
VDFIIAB
.\ZABD=ZBDF
BF=DF
AZFDB=ZFBD
AZABD=ZFBD
G
•••△BCF仝ADCF（SAS）
•••BF二DF
（2）VADIIBC
AZADB=ZCBD
在AABD和AEBD中fZABD=ZEBD
BD=BD
IZADB=ZEDB
JBC=DC
ZCBD=ZCDB
•'
•△ABD9AEBD（ASA）
AAD=DE
【课堂练习】
1.如图，已知AE平分ZBAC,BE±
AE于E,ED〃AC.ZBAE=36°
那么ZBED=126。
延长AE交AC于F
2・如怪1：
BE丄AC,CF丄AB,BM二AC,CN=AB.求证:
（1）AM二AN；
（2）AM丄AN。
初于点G,联结CF・
（1）当△ABC是锐角三角形时（如图a所示），求证：
AD=FG+CD；
（2）当ABAC是钝角时（如图b所示），①写岀线段AD.CD、FG三者之间的数量关系，不必写出证明过程,
直接写结论：
②当BE=FE,BD=4时，求FG的长.
可知AFDC和AAFG都为等腰直角三角形
AFD=DCAF=FG
TAD二AF+FD
•AD二FG+DC
第27（b）题
图（b）中
aabd和aafg都为等腰直角三角形
AADC9ABDF
DC=FD
FD二AF+AD
CD=FD
【总结】
常见辅助线的作法有以下几种：
1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”・2）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换
中的'
‘旋转”.
3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的"
对
折”，所考知识点常常是角平分线的性质泄理或逆泄理.
4）过图形上某一点作特泄的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的"
平移”或'
翻转折叠”
5）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特左线段相等，或是将某条线段延长，是之与特
左线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.
特殊方法：
在求有关三角形的左值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形而积的知识解
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