数学山西省晋城市届高三上学期第一次模拟考试数学理试题 含答案Word下载.docx

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A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C.充要条件D．既不充分也不必要条件

6.若，则（）

7.某些首饰，如手镯，项链吊坠等都是椭圆形状，这种形状给人以美的享受，在数学中，我们把这种椭圆叫做“黄金椭圆”，其离心率．设黄金椭圆的长半轴，短半轴，半焦距分别为，则满足的关系是（）

8.执行如图所示的程序框图，则程序最后输出的结果为（）

9.已知函数的图像向右平移个单位后，得到函数的图像关于直线对称，若，则（）

10.在如图所示的三棱柱中，已知，点在底面上的射影是线段的中点，则直线与直线所成角的正切值为（）

11.已知是双曲线的左，右焦点，点在双曲线的右支上，如果，则双曲线离心率的取值范围是（）

12.已知定义在上的可导函数的导函数为，对任意实数均有成立，且是奇函数，则不等式的解集是（）

第Ⅱ卷

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分．

13.已知向量，，则向量在向量方向上的投影为．

14.若满足约束条件，则的最小值为．

15.在的展开式中，的系数为（用数字作答）．

16.已知空间直角坐标系中，正四面体的棱长为2，点，，，则的取值范围为．

三、解答题：

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知数列中，，其前项和为，满足．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）记，求数列的前项和，并证明．

18.如图，在锐角中，，，，点在边上，且，点在边上，且，交于点．

（Ⅰ）求的长；

（Ⅱ）求及的长．

19.质检部门对某工厂甲、乙两个车间生产的12个零件质量进行检测．甲、乙两个车间的零件质量（单位：

克）分布的茎叶图如图所示．零件质量不超过20克的为合格．

（Ⅰ）从甲、乙两车间分别随机抽取2个零件，求甲车间至少一个零件合格且乙车间至少一个零件合格的概率；

（Ⅱ）质检部门从甲车间8个零件中随机抽取4件进行检测，若至少2件合格，检测即可通过，若至少3件合格，检测即为良好，求甲车间在这次检测通过的条件下，获得检测良好的概率；

（Ⅲ）若从甲、乙两车间12个零件中随机抽取2个零件，用表示乙车间的零件个数，求的分布列与数学期望．

20.如图，在四棱锥中，，且．

（Ⅰ）当时，证明：

平面平面；

（Ⅱ）当四棱锥的体积为，且二面角为钝角时，求直线与平面所成角的正弦值．

21.已知直线是抛物线的准线，直线，且与抛物线没有公共点，动点在抛物线上，点到直线和的距离之和的最小值等于2.

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）点在直线上运动，过点做抛物线的两条切线，切点分别为，在平面内是否存在定点，使得恒成立？

若存在，请求出定点的坐标，若不存在，请说明理由．

22.已知函数，．

（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若在区间上恒成立，求实数的取值范围．

试卷答案

一、选择题

1-5:

BDBCA6-10:

BBBCB11、12：

AD

二、填空题

13.14.15.6016.

三、解答题

17.解：

（Ⅰ）由，得，

后式减去前式，得，得．

因为，可得，所以，

即数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以．

（Ⅱ）因为，所以，

所以，

因为，所以．

18.解：

（Ⅰ）在锐角中，，，，

由正弦定理可得，所以．

（Ⅱ）由，，可得，，

所以

，

因为，所以，，

在中，，，，

由余弦定理可得，

所以．

由，得，

19.解：

（Ⅰ）甲车间合格零件数为4，乙车间合格零件数为2，

∴．

（Ⅱ）设事件表示“2件合格，2件不合格”；

事件表示“3件合格，1件不合格”；

事件表示“4件全合格”；

事件表示“检测通过”；

事件表示“检测良好”．

∴，

∴．故所求概率为．

（Ⅲ）可能取值为0，1，2．

分布列为

20.（Ⅰ）证明：

取的中点，连接，

∵为正三角形，∴，

∵，∴，

∴四边形为矩形，∴，

在中，，，，∴，∴，

∵，∴平面，

∵平面，∴平面平面．

（Ⅱ）证明：

∵，，，

平面，∴平面，

∵平面，∴平面平面，

∴过点作平面，垂足一定落在平面与平面的交线上．

∵四棱锥的体积为，

∴，∴，

∵，∴．

如图，以为坐标原点，以为轴，轴．

在平面内过点作垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，

由题意可知，，，，，，

设平面的一个法向量为，则，得，

令，则，∴，

，设直线与平面所成的角为，

则．

则直线与平面所成角的正弦值为．

21.解：

（Ⅰ）作分别垂直和，垂足为，抛物线的焦点为，

由抛物线定义知，所以，

显见的最小值即为点到直线的距离，故，

所以抛物线的方程为．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知直线的方程为，当点在特殊位置时，显见两个切点关于轴对称，故要使得，点必须在轴上．

故设，，，，

抛物线的方程为，求导得，所以切线的斜率，

直线的方程为，又点在直线上，

所以，整理得，

同理可得，

故和是一元二次方程的根，由韦达定理得，

可见时，恒成立，

所以存在定点，使得恒成立．

22.解：

（Ⅰ），

①当，即时，时，，时，，

所以在区间上单调递减，在区间上单调递增；

②当，即时，和时，，时，，

所以在区间上单调递减，在区间和上单调递增；

③当，即时，和时，，时，，

④当，即时，，所以在定义域上单调递增；

综上：

①当时，在区间上单调递减，在区间和上单调递增；

②当时，在定义域上单调递增；

③当时，在区间上单调递减，在区间和上单调递增；

④当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增．

（Ⅱ）令，

原问题等价于在区间上恒成立，可见，

要想在区间上恒成立，首先必须要，

而，

另一方面当时，，由于，可见，

所以在区间上单调递增，故，所以在区间上单调递减，

∴成立，故原不等式成立．

综上，若在区间上恒成立，则实数的取值范围为