专题一元二次不等式的几点解法.docx
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专题一元二次不等式的几点解法
一元二次不等式及其解法
目标认知
学习目标：
1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；
2．掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题。
3．培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力。
重点：
从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；熟练掌握一元二次不等式的解法.
难点：
理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系，设计求解一元二次不等式的程序框图。
知识要点梳理
知识点一：
一元二次不等式的定义
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。
比如：
.
任意的一元二次不等式，总可以化为一般形式：
或.
知识点二：
一般的一元二次不等式的解法
一元二次不等式或的解集可以联系二次函数的图象，图象在轴上方部分对应的横坐标值的集合为不等式的解集，图象在轴下方部分对应的横坐标值的集合为不等式的解集.
设一元二次方程的两根为且，，则相应的不等式的解集的各种情况如下表：
二次函数
（）的图象
有两相异实根
有两相等实根
无实根
注意：
（1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标；
（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；
（3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集。
知识点三：
解一元二次不等式的步骤
（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；
（2）写出相应的方程，计算判别式：
①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）；
②时，求根；
③时，方程无解
（3）根据不等式，写出解集.
知识点四：
用程序框图表示求解一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）的过程
规律方法指导
1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a是否为正；若为负，则将其变为正数；
2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；
3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；
4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系；
5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数
经典例题透析
类型一：
解一元二次不等式
1．解下列一元二次不等式
（1）；
（2）；（3）
思路点拨：
转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答.
解析：
（1）方法一：
因为
所以方程的两个实数根为：
，
函数的简图为：
因而不等式的解集是.
方法二：
或
解得或，即或.
因而不等式的解集是.
（2）方法一：
因为，
方程的解为.
函数的简图为：
所以，原不等式的解集是
方法二：
（当时，）
所以原不等式的解集是
（3）方法一：
原不等式整理得.
因为，方程无实数解，
函数的简图为：
所以不等式的解集是.
所以原不等式的解集是.
方法二：
∵
∴原不等式的解集是.
总结升华：
1.初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力；
2.当时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第1小题）.
3.当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答.
举一反三：
【变式1】解下列不等式
（1）；
（2）
（3）； （4）.
【答案】
（1）方法一：
因为
方程的两个实数根为：
，
函数的简图为：
因而不等式的解集是：
.
方法二：
∵原不等式等价于,
∴原不等式的解集是：
.
（2）整理，原式可化为,
因为,
方程的解，，
函数的简图为：
所以不等式的解集是.
（3）方法一：
因为
方程有两个相等的实根：
，
由函数的图象为：
原不等式的的解集是.
方法二：
∵原不等式等价于：
∴原不等式的的解集是.
（4）方法一：
因为，方程无实数解，
由函数的简图为：
原不等式的解集是.
方法二：
∵，
∴原不等式解集为.
【变式2】解不等式：
【答案】原不等式可化为不等式组
，即，即，
解得
∴原不等式的解集为.
类型二：
已知一元二次不等式的解集求待定系数
2．不等式的解集为，求关于的不等式的解集。
思路点拨：
由二次不等式的解集为可知：
4、5是方程的二根，故由韦达定理可求出、的值，从而解得.
解析：
由题意可知方程的两根为和
由韦达定理有，
∴，
∴化为，即
，解得，
故不等式的解集为.
总结升华：
二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键。
举一反三：
【变式1】不等式ax2+bx+12＞0的解集为{x|-3＜x＜2}，则a=_______,b=________。
【答案】由不等式的解集为{x|-3＜x＜2}知a＜0，且方程ax2+bx+12=0的两根为-3，2。
由根与系数关系得
解得a=-2,b=-2。
【变式2】已知的解为,试求、,并解不等式.
【答案】由韦达定理有：
，，∴,.
∴代入不等式得，
即，，解得，
故不等式的解集为：
.
【变式3】已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集.
【答案】由韦达定理有：
，解得,代入不等式得
，即，解得或.
∴的解集为：
.
类型三：
二次项系数含有字母的不等式恒成立恒不成立问题
3．已知关于x的不等式（m2+4m-5）x2-4（m-1）x+3＞0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。
思路点拨：
不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。
解析：
（1）当m2+4m-5=0时，m=1或m=-5
若m=1，则不等式化为3＞0,对一切实数x成立，符合题意。
若m=-5，则不等式为24x+3＞0，不满足对一切实数x均成立，所以m=-5舍去。
（2）当m2+4m-5≠0即m≠1且m≠-5时，
由此一元二次不等式的解集为R知，抛物线y=（m2+4m-5）x2-4（m-1）x+3开口向上，且与x轴无交点，
所以，
即，∴1＜m＜19。
综上所述，实数m的取值范围是{m|1≤m＜19}。
总结升华：
情况
（1）是容易忽略的，所以当我们遇到二次项系数含有字母时，一般需讨论。
举一反三：
【变式1】若关于的不等式的解集为空集，求的取值范围.
【答案】关于的不等式的解集为空集
即的解集为R
当时，原不等式为：
，即，不符合题意，舍去.
当时，原不等式为一元二次不等式，只需且，
即，解得，
综上，的取值范围为：
.
【变式2】若关于的不等式的解为一切实数，求的取值范围.
【答案】当时，原不等式为：
，即，不符合题意，舍去.
当时，原不等式为一元二次不等式，只需且，
即，解得，
综上，的取值范围为：
.
【变式3】若关于的不等式的解集为非空集，求的取值范围.
【答案】当时，原不等式为：
，即，符合题意.
当时，原不等式为一元二次不等式，显然也符合题意
当时，只需，
即，解得，
综上，的取值范围为：
.
类型四：
含字母系数的一元二次不等式的解法
4．解下列关于x的不等式
（1）x2-2ax≤-a2+1；
（2）x2-ax+1＞0；
（3）x2-（a+1）x+a＜0；
解析：
（1）
∴原不等式的解集为。
（2）Δ=a2-4
当Δ＞0，即a＞2或a＜-2时，原不等式的解集为
当Δ=0，即a=2或-2时，原不等式的解集为。
当Δ＜0，即-2＜a＜2时，原不等式的解集为R。
（3）（x-1）（x-a）＜0
当a＞1时，原不等式的解集为{x|1＜x＜a}
当a＜1时，原不等式的解集为{x|a＜x＜1}
当a=1时，原不等式的解集为。
总结升华：
对含字母的二元一次不等式，一般有这样几步：
①定号：
对二次项系数大于零和小于零分类，确定了二次曲线的开口方向；
②求根：
求相应方程的根。
当无法判断判别式与0的关系时，要引入讨论，分类求解；
③定解：
根据根的情况写出不等式的解集；当无法判断两根的大小时，引入讨论。
举一反三：
【变式1】解关于x的不等式：
【答案】原不等式化为
①a=1或a=-1时，解集为；
②当0＜a＜1或a＜-1时，，解集为：
；
③当a＞1或-1＜a＜0时，，解集为：
。
【变式2】解关于的不等式：
（）
【答案】
当a＜0或a＞1时，解集为；
当a=0时，解集为；
当0＜a＜1时，解集为；
当a=1时，解集为；
5．解关于x的不等式：
ax2－（a+1）x+1＜0。
解析：
若a=0，原不等式－x+1＜0x＞1；
若a＜0，原不等式或x＞1；
若a＞0，原不等式，
其解的情况应由与1的大小关系决定，故
（1）当a=1时，原不等式；
（2）当a＞1时，原不等式；
（3）当0＜a＜1时，原不等式
综上所述：
当a＜0，解集为；
当a=0时，解集为{x|x＞1}；
当0＜a＜1时，解集为；
当a=1时，解集为；
当a＞1时，解集为。
总结升华：
熟练掌握一元二次不等式的解法是解不等式的基础，对最高项含有字母系数的不等式，要注意按字母的取值情况进行分类讨论，分类时要“不重不漏”。
举一反三：
【变
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