弹塑性力学-06PPT课件下载推荐.ppt

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,因而一定存在某一个函数，使得：

第六章弹塑性平面问题,11,将式（i）代入（e），式（j）代入（g），并将式（i）代入（f），即得通解：

（k）,将通解（k）与特解（d）叠加，即得微分方程（a）的全解：

函数称为平面问题的应力函数，也称为艾瑞应力函数。

（1）,为了应力分量

（1）同时也能满足相容方程（b），将

（1）代入式（b），即得：

上式可简化为：

第六章弹塑性平面问题,12,或者展开为：

进一步简写为：

（2）,二、逆解法与半逆解法,逆解法：

先设定各种形式的、满足相容方程

（2）的应力函数，用公式

（1）求出应力分量，然后根据应力边界条件来考察，在各种边界形状的弹性体上，这些应力分量对应于什么样的面力，从而得知所设定的应力函数可以解决什么问题。

按应力求解应力边界问题时，如果体力是常量，就只须由微分方程

（2）求解应力函数，然后用公式

（1）求出应力分量，但这些应力分量在边界上应当满足应力边界条件。

逆解法基本步骤：

第六章弹塑性平面问题,13,半逆解法：

针对所要求解的问题，根据弹性体的边界形状和受力情况，假设部分或全部应力分量为某种形式的函数，从而推出应力函数，然后来考察，这个应力函数是否满足相容方程，以及，原来所假设的应力分量和由这个应力函数求出的其余应力分量，是否满足应力边界条件和位移单值条件。

如果相容方程和各方面的条件都能满足，自然就得出正确的解答；

如果某一方面不能满足，就要另作假设，重新考察。

半逆解法基本步骤：

第六章弹塑性平面问题,14,应力函数取一次多项式,应力分量：

应力边界条件：

结论：

（1）线性应力函数对应于无面力、无应力的状态。

（2）把任何平面问题的应力函数加上一个线性函数，并不影响应力。

平面问题直角坐标解-例题,第六章弹塑性平面问题,15,3.应力函数能解决矩形板在方向受均布拉力（设）或均布压力（设）的问题。

如图3-1（c）。

应力函数取三次式,对应的应力分量：

（a）,结论：

应力函数能解决矩形梁受纯弯曲的问题。

如图所示的矩形梁。

对应的边界条件如右图所示,第六章弹塑性平面问题,16,应力函数取三次式,对应的应力分量：

能解决矩形梁受纯弯曲的问题。

注意,图中每单位宽度上的力偶矩为M量纲为mT-2,第六章弹塑性平面问题,17,现在考察这些应力分量能否满足边界条件,左右次要边界条件没有得到精确满足根据圣维南原理，在次要边界上，积分边界条件得到满足即可,第六章弹塑性平面问题,18,因此,这就是梁受纯弯曲时的应力分量，但是组成梁端面力的力偶矩必须是图所示的直线分布，解答才是精确的，如果面力按照其它方式分布，解答在端部是不准确的，离开梁端较远的地方，误差可以忽略不计。

第六章弹塑性平面问题,19,特别注意：

对于长度远大于深度的梁，上面答案是有实用价值的；

对于长度与深度同等大小的所谓深梁，这个解答是没有什么实用意义的。

第六章弹塑性平面问题,20,位移分量的求出,以矩形梁的纯弯曲问题为例，说明如何由应力分量求出位移分量。

一、平面应力的情况,将应力分量代入物理方程,第六章弹塑性平面问题,21,得形变分量：

（a）,再将式（a）代入几何方程：

得:

前二式积分得：

（b）,（c）,其中的和是任意函数。

将式（c）代入（b）中的第三式,第六章弹塑性平面问题,22,得:

等式左边只是的函数，而等式右边只是的函数。

因此，只可能两边都等于同一常数。

于是有：

积分以后得：

代入式（c），得位移分量：

其中的任意常数、须由约束条件求得。

（d）,第六章弹塑性平面问题,23,

（一）简支梁,梁轴的挠度方程：

第六章弹塑性平面问题,24,

（二）悬臂梁,第六章弹塑性平面问题,25,二、平面应变的情况,只要将平面应力情况下的形变公式和位移公式中的换为，换为即可。

第六章弹塑性平面问题,26,简支梁受均布载荷,设有矩形截面的简支梁，深度为，长度为，受均布载荷，体力不计，由两端的反力维持平衡。

如图所示。

取单位宽度的梁来考虑，可视为平面应力问题。

用半逆解法。

假设只是的函数，挤压应力主要由竖直方向直接载荷引起的，而直接载荷不随横坐标改变而改变，因此只是y的函数，即,则：

对积分，得：

解之，得：

（a）,（b）,其中，、是任意函数，即待定函数。

注意：

可以略去常数项，可以略去一次项,第六章弹塑性平面问题,27,现在考察，上述应力函数是否满足相容方程。

为此，对求四阶导数：

将以上结果代入相容方程，得：

第六章弹塑性平面问题,28,前面两个方程要求：

（c）,（b）,第六章弹塑性平面问题,29,这些应力分量满足平衡微分方程和相容方程。

如果要使全部应力边界条件都满足，除非常数、等于特定值，这样以上应力分量才是正确的解答。

第六章弹塑性平面问题,30,因为面是梁和荷载的对称面，所以应力分布应当对称于yz面。

这样，和应当是的偶函数，而应当是的奇函数。

于是由式（f）和（h）可见：

（一）考察上下两边的边界条件,将上式代入应力分量表达式，三个应力分量变为：

上式中共有六个待定常数，利用应力边界条件求出。

（i）,第六章弹塑性平面问题,31,整理，得：

由于这四个方程是独立的，互不矛盾的，而且只包含四个未知数，所以联立求解，得：

第六章弹塑性平面问题,32,

（二）考察左右两边的边界条件,由于对称性，只需考虑其中的一边。

考虑右边：

第六章弹塑性平面问题,33,将式（l）代入，上式成为：

第六章弹塑性平面问题,34,式（q）可以改写为：

各应力分量沿铅直方向的变化大致如图所示。

在的表达式中，第一项是主要项，和材料力学中的解答相同，第二项是弹性力学提出的修正项。

对于通常的浅梁，修正项很小，可以不计。

对于较深的梁，则需注意修正项。

的最大绝对值是，发生在梁顶。

在材料力学中，一般不考虑这个应力分量。

和材料力学里完全一样。

第六章弹塑性平面问题,35,楔形体受重力和液体压力,问题：

设有楔形体,如图所示，左面铅直,右面与铅直面成角，下端无限长，承受重力及液体压力，楔形体的密度为，液体的密度为，试求应力分量。

第六章弹塑性平面问题,36,采用半逆解法,首先用量纲分析方法来假设应力分量的函数形式,在楔形体的任意一点,应力分量都将有两部分组成,一部分由重力引起,应当与成正比,第二部分由液体压力引起,应当与成正比,由于应力的量纲是,和的量纲是,如果应力分量具有多项式解答,那么,它的表达式只可能是四项的组合,也就是说应力分量的表达式可能是纯一次多项式.其次,应力函数比应力分量的长度量纲高二次,应力函数应该是纯三次多项式。

因此,假设,不论应力函数的系数怎么取，纯三次多形式的应力函数总能满足相容方程,第六章弹塑性平面问题,37,体力分量,应力分量的表达式为,这些应力分量满足平衡微分方程和相容方程。

第六章弹塑性平面问题,38,代入应力表达式，得,应力表达式简化为,第六章弹塑性平面问题,39,右边是斜边，它的边界线方程是,在斜边上没有面力,将系数代入，得到应力表达式：

第六章弹塑性平面问题,40,各应力分量沿水平方向的变化大致如图所示。

第六章弹塑性平面问题,41,极坐标中的平衡微分方程,极坐标中几何方程,用极坐标解平面问题,第六章弹塑性平面问题,42,平面应变情况：

将上式中的换为，换为。

极坐标中的物理方程,平面应力情况：

第六章弹塑性平面问题,43,应力分量由极坐标向直角坐标的变换式为：

第六章弹塑性平面问题,44,应力分量,第六章弹塑性平面问题,45,第六章弹塑性平面问题,46,对于平面应变问题，须将上面公式换为，换为。

第六章弹塑性平面问题,47,如图，圆环的内半径为a，外半径为b，受内压力qa，外压力qb。

为轴对称问题。

根据上节有解为:

图,一、圆环或圆筒受均布压力,厚壁筒弹塑性解,第六章弹塑性平面问题,48,图,边界条件为:

第六章弹塑性平面问题,49,在这里只有两个方程，而有三个待定常数，需要从多连体的位移单值条件补充一个方程。

在环向位移表达式：

这样从上面两个方程中可解出A和C，代入应力分量表达式，得到拉密解答：

于是:

中，第一项是多值的，在同一r处，=1和=1+2时，环向位移相差，这是不可能的，因此，从位移单值条件必须有B=0。

第六章弹塑性平面问题,50,下面分别讨论内压力和外压力单独作用的情况。

（1）只作用均匀内压时（），例如液压缸，上面解答化为：

第六章弹塑性平面问题,51,应力分布大致如图所示。

当时，得到具有圆孔的无限大薄板，或具有圆形孔道的无限大弹性体，这时上面的解答成为：

（2）只有外压时（），例如液压柱塞，上面解答化为：

应力分布大致如图所示。

第六章弹塑性平面问题,52,二、压力隧洞,如图所示，受均匀内压力作用的圆筒埋在无限大弹性体中，圆筒和无限大弹性体的材料不同。

试分别讨论两者的应力和位移情况。

两者都属于轴对称应力问题，采用半逆解法。

设圆筒的应力表达式为：

第六章弹塑性平面问题,53,设无限大弹性体的应力表达式为：

由应力边界条件求待定常数、。

（1）在圆筒的内表面：

由此得：

（2）在无限大弹性体内距离圆筒很远处几乎没有应力。

（3）在圆筒和无限大弹性体的接触面上，应当有：

（1）,

（2）,第六章弹塑性平面问题,54,由此得：

圆筒：

无限大弹性体：

将以上两式简化后得：

（3）,第六章弹塑性平面问题,55,在接触面上，两者应具有相同的位移，即：

因此有：

因为这一方程在接触面上的任意一点都应当成立，也就是在取任何数值时都应当成立，所以方程两边的自由项必须相等。

简化后，得：

其中：

（4）,第六章弹塑性平面问题,56,联立方程

（1）、

（2）、（3）、（4）求出、，代入应力分量的表达式，得：

当时，应力分布大致如图所示。

第六章弹塑性平面问题,57,完全接触,非完全接触和摩擦接触三种形式,第六章弹塑性平面问题,58,图,楔形体的中心角为，下端为无限长。

顶部受集中力P设楔形体在楔顶受有集中力，与楔形体的中心线成角。

取单位宽度的部分来考虑，并令单位宽度上所受的力为。

楔形体内一点的应力分量决定