长沙市初中毕业学业水平考试数学试题及答案.docx
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长沙市初中毕业学业水平考试数学试题及答案
2013年长沙市初中毕业学业水平考试
数学试题（含答案全解全析）
（满分:
120分时间:
120分钟）
第Ⅰ卷（选择题,共30分）
一、选择题（在下列各题的四个选项中,只有一项是符合题意的.本题共10个小题,每小题3分,共30分）
1.下列实数是无理数的是（ ）
A.-1B.0C.D.
2.小星同学在“XX”搜索引擎中输入“中国梦,我的梦”,能搜索到与之相关的结果的条数约为61700000,这个数用科学记数法表示为（ ）
A.617×105B.6.17×106C.6.17×107D.0.617×108
3.如果一个三角形的两边长分别为2和4,则第三边长可能是（ ）
A.2B.4C.6D.8
4.已知☉O1的半径为1cm,☉O2的半径为3cm,两圆的圆心距O1O2为4cm,则两圆的位置关系是（ ）
A.外离B.外切C.相交D.内切
5.下列计算正确的是（ ）
A.a6÷a3=a3B.（a2）3=a8
C.（a-b）2=a2-b2D.a2+a2=a4
6.某校篮球队12名同学的身高如下表:
身高（cm）
180
186
188
192
195
人数
1
2
5
3
1
则该校篮球队12名同学身高的众数是（单位:
cm）（ ）
A.192B.188C.186D.180
7.下列各图中,∠1大于∠2的是（ ）
8.下列多边形中,内角和与外角和相等的是（ ）
A.四边形B.五边形C.六边形D.八边形
9.在下列某品牌T恤的四个洗涤说明图案的设计中,没有运用旋转或轴对称知识的是（ ）
10.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列关系式错误的是（ ）
A.a>0B.c>0C.b2-4ac>0D.a+b+c>0
第Ⅱ卷（非选择题,共90分）
二、填空题（本题共8个小题,每小题3分,共24分）
11.计算:
-= .
12.因式分解:
x2+2x+1= .
13.已知∠A=67°,则∠A的余角等于 度.
14.方程=的解为x= .
15.如图,BD是∠ABC的平分线,P是BD上的一点,PE⊥BA于点E,PE=4cm,则点P到边BC的距离为 cm.
16.如图,在△ABC中,点D,点E分别是边AB,AC的中点,则△ADE与△ABC的周长之比等于 .
17.在一个不透明的盒子中装有n个小球,它们只有颜色上的区别,其中有2个红球.每次摸球前先将盒中的球摇匀,随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中,通过大量重复摸球试验后发现,摸到红球的频率稳定于0.2,那么可以推算出n大约是 .
18.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=50°,∠C=80°,AE∥CD交BC于点E,若AD=2,BC=5,则边CD的长是 .
三、解答题（本题共2个小题,每小题6分,共12分）
19.计算:
|-3|+（-2）2-（+1）0.
20.解不等式组并将其解集在数轴上表示出来.
四、解答题（本题共2个小题,每小题8分,共16分）
21.“宜居长沙”是我们的共同愿景,空气质量倍受人们关注.我市某空气质量监测站点检测了该区域每天的空气质量情况,统计了2013年1月份至4月份若干天的空气质量情况,并绘制了如下两幅不完整的统计图.请根据图中信息,解答下列问题:
（1）统计图共统计了 天的空气质量情况;
（2）请将条形统计图补充完整,并计算空气质量为“优”所在扇形的圆心角度数;
（3）从小源所在班级的40名同学中,随机选取一名同学去该空气质量监测站点参观,则恰好选到小源的概率是多少?
22.如图,△ABC中,以AB为直径的☉O交AC于点D,∠DBC=∠BAC.
（1）求证:
BC是☉O的切线;
（2）若☉O的半径为2,∠BAC=30°,求图中阴影部分的面积.
五、解答题（本题共2个小题,每小题9分,共18分）
23.为方便市民出行,减轻城市中心交通压力,长沙市正在修建贯穿星城南北、东西的地铁1、2号线.已知修建地铁1号线24千米和2号线22千米共需投资265亿元;若1号线每千米的平均造价比2号线每千米的平均造价多0.5亿元.
（1）求1号线,2号线每千米的平均造价分别是多少亿元;
（2）除1、2号线外,长沙市政府规划到2018年还要再建91.8千米的地铁线网.据预算,这91.8千米地铁线网每千米的平均造价是1号线每千米的平均造价的1.2倍,则还需投资多少亿元?
24.如图,在▱ABCD中,M,N分别是AD,BC的中点,∠AND=90°,连结CM交DN于点O.
（1）求证:
△ABN≌△CDM;
（2）过点C作CE⊥MN于点E,交DN于点P,若PE=1,∠1=∠2,求AN的长.
六、解答题（本题共2个小题,每小题10分,共20分）
25.设a,b是任意两个不等实数,我们规定:
满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间,表示为[a,b].对于一个函数,如果它的自变量x与函数值y满足:
当m≤x≤n时,有m≤y≤n,我们就称此函数是闭区间[m,n]上的“闭函数”.
（1）反比例函数y=是闭区间[1,2013]上的“闭函数”吗?
请判断并说明理由;
（2）若一次函数y=kx+b（k≠0）是闭区间[m,n]上的“闭函数”,求此函数的解析式;
（3）若二次函数y=x2-x-是闭区间[a,b]上的“闭函数”,求实数a,b的值.
26.如图,在平面直角坐标系中,直线y=-x+2与x轴,y轴分别交于点A,点B,动点P（a,b）在第一象限内,过点P向x轴,y轴所作的垂线PM,PN（垂足为M,N）分别与直线AB相交于点E,点F,当点P（a,b）运动时,矩形PMON的面积为定值2.
（1）求∠OAB的度数;
（2）求证:
△AOF∽△BEO;
（3）当点E,F都在线段AB上时,由三条线段AE,EF,BF组成一个三角形,记此三角形的外接圆面积为S1,△OEF的面积为S2.试探究:
S1+S2是否存在最小值?
若存在,请求出该最小值;若不存在,请说明理由.
答案全解全析：
1.D 选项A、B、C中的数都是有理数,只有选项D中的是无限不循环小数.故选D.
2.C 61700000=6.17×107.故选C.
3.B 设三角形的第三边长是x,则根据题意得4-24.B ∵1+3=4,即R+r=O1O2,∴两圆外切,故选B.
5.A a6÷a3=a6-3=a3,（a2）3=a2×3=a6≠a8,（a-b）2=a2-2ab+b2≠a2-b2,a2+a2=2a2≠a4,故选A.
评析 主要考查幂的运算性质、完全平方公式以及合并同类项法则等知识.熟记相关的法则是解题关键,属容易题.
6.B 由题中表格易知出现次数最多的数据是188,故选B.
7.D 在A中,∵AB=AC,∴∠1=∠2;在B中,根据对顶角相等,得∠1=∠2;在C中,∵a∥b,∴∠1的对顶角等于∠2的对顶角,∴∠1=∠2;在D中,∵三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角,∴∠1>∠2.故选D.
8.A ∵n边形的外角和是360°,内角和是（n-2）·180°,
∴（n-2）·180°=360°,解得n=4.故选A.
9.C 根据旋转和轴对称的知识可知选项A、D中的图案既是中心对称图形,又是轴对称图形;选项B中的图案只是轴对称图形;选项C中的图案,既没运用旋转的知识,又没运用轴对称的知识,故选C.
10.D 观察题中图象可知,抛物线的开口方向向上,抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上,与x轴有两个交点,所以a>0,c>0,b2-4ac>0,且当x=1时,y=a+b+c<0.显然选项A、B、C都正确,只有选项D错误.故选D.
评析 本题主要考查二次函数的图象与性质的应用以及与二次函数各项系数相关的常见关系式的符号判断,充分体现了对学生的数形结合思想的考查.其解答关键是能借助二次函数图象的开口方向、对称轴、与抛物线的交点个数以及特殊位置的函数值获取相关信息.属中等难度题.
11.答案
解析 -=2-=,故填.
12.答案 （x+1）2
解析 x2+2x+1=（x+1）2.
13.答案 23
解析 ∵两角互余,∴两角之和为90°,∴∠A的余角为90°-67°=23°.
14.答案 1
解析 方程两边同乘以x（x+1）得2x=x+1,解得x=1.检验:
当x=1时,x（x+1）=2≠0.
∴原分式方程的解是x=1.故答案为1.
15.答案 4
解析 根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”这一性质,可知点P到边BC的距离为4cm.
16.答案 1∶2
解析 ∵点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点,∴DE∥BC,DE=BC.∴△ADE∽△ABC,且DE∶BC=1∶2.
∴△ADE与△ABC的周长之比=DE∶BC=1∶2.故答案为1∶2.
评析 本题主要考查了三角形中位线的性质、相似三角形的判定与性质在计算中的应用,属容易题.
17.答案 10
解析 由题意可得,≈0.2,解得n≈10.∴可以推算出n大约是10.故答案为10.
18.答案 3
解析 ∵在梯形ABCD中,AD∥BC,AE∥CD,∴四边形AECD是平行四边形.
又∵∠C=80°,AD=2,∴∠AEB=∠C=80°,EC=AD=2,CD=AE.
又∵∠B=50°,∠BAE+∠B+∠AEB=180°,∴∠BAE=180°-∠AEB-∠B=180°-80°-50°=50°,
∴BE=AE,∴CD=BE.
∵BC=5,∴CD=BE=BC-EC=5-2=3.故答案是3.
19.解析 原式=3+4-1=6.
20.解析 ∵2（x+1）≤x+3,解得x≤1;∵x-4<3x,解得x>-2,∴该不等式组的解集为-221.解析
（1）100.
（2）条形统计图中,空气质量为“优”的天数为100×20%=20（天）,∴要补画一个高20的长方形,图略;空气质量为“优”所在扇形统计图中对应的圆心角度数为360°×20%=72°.
（3）在40名同学中,随机选取一名同学去参观,恰好选到小源的概率是.
评析 本题是统计与概率知识的综合应用题,第
（1）
（2）小题的解题关键是读懂统计图,能准确从中获取相关信息数据,第（3）小题属于概率计算题,直接利用公式进行计算即可,属容易题.
22.解析
（1）证明:
∵AB是直径,∴∠ADB=90°,∴∠BAC+∠DBA=90°.
又∵∠BAC=∠DBC,∴∠DBA+∠DBC=90°,即∠ABC=90°.∴BC是☉O的切线.
（2）如图,连结OD,∵∠BAC=30°,∠BAC和∠BOD分别是弧BD所对的圆周角和圆心角,∴∠BOD=60°.∵OB=OD,且☉O的半径为2,∴△BOD是边长为2的等边三角形.
∴S阴影=×π×22-×22=π-.
评析 本题主要考查关于圆的几个重要定理的应用和利用扇形面积公式对圆中不规则图形面积进行计算.正三角形面积为可以要求学生记忆与掌握.其中
（2）问中对不规则图形面积的计算,通过“化归”求解.属中等难度题.
23.解析
（1）设2号线每千米的平均造价为x亿元,则1号线每千米的平均造价为（x+0.5）亿元.根据题意,得24（x+0.5）+22x=265,解得x=5.5,∴x+0.5=6.因此1号线每千米的平均造价为6亿元,2号线每千米的平均造价为5.5亿元.
（2）还需投资91.8×6×1.2=660.96（亿元）.
24.解析
（1）证明:
∵四边形ABCD
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