最新初三数学圆知识点复习专题1Word格式.docx

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2、直线与圆相切有一个交点；

3、直线与圆相交有两个交点；

四、圆与圆的位置关系

外离（图1）无交点；

外切（图2）有一个交点；

相交（图3）有两个交点；

内切（图4）有一个交点；

内含（图5）无交点；

五、垂径定理

垂径定理：

垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：

（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

以上共4个定理，简称2推3定理：

此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：

①是直径②③④弧弧⑤弧弧

中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2：

圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：

在⊙中，∵∥

∴弧弧

例题1、基本概念

1．下面四个命题中正确的一个是（）

A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦

C．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心

2．下列命题中，正确的是（　　）．

　A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧　B．过弦的中点的直线必过圆心

　C．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心　D．弦的垂线平分弦所对的弧

例题2、垂径定理

1、在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm，那么油面宽度AB是________cm.

2、在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm，那么油的最大深度为________cm.

3、如图，已知在⊙中，弦，且，垂足为，于，于.

（1）求证：

四边形是正方形.

（2）若，，求圆心到弦和的距离.

4、已知：

△ABC内接于⊙O，AB=AC，半径OB=5cm，圆心O到BC的距离为3cm，求AB的长．

5、如图，F是以O为圆心，BC为直径的半圆上任意一点，A是的中点，AD⊥BC于D，求证：

AD=BF.

例题3、度数问题

1、已知：

在⊙中，弦，点到的距离等于的一半，求：

的度数和圆的半径.

2、已知：

⊙O的半径，弦AB、AC的长分别是、.求的度数。

例题4、相交问题

如图，已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=6cm，EB=2cm，∠BED=30°

，求CD的长.

例题5、平行问题

在直径为50cm的⊙O中，弦AB=40cm，弦CD=48cm，且AB∥CD，求：

AB与CD之间的距离.

例题6、同心圆问题

如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB，交小圆于C、D两点，设大圆和小圆的半径分别为.求证：

.

例题7、平行与相似

已知：

如图，是⊙的直径，是弦，，于.求证：

六、圆心角定理

圆心角定理：

同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。

此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，

只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，

即：

①；

②；

③；

④弧弧

七、圆周角定理

1、圆周角定理：

同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

∵和是弧所对的圆心角和圆周角

∴

2、圆周角定理的推论：

同弧或等弧所对的圆周角相等；

同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；

在⊙中，∵、都是所对的圆周角

半圆或直径所对的圆周角是直角；

圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。

在⊙中，∵是直径或∵

∴∴是直径

推论3：

若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

在△中，∵

∴△是直角三角形或

注：

此推论实是初二年级几何中矩形的推论：

在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。

【例1】用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图形3-3-19所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形？

【例2】如图，已知⊙O中，AB为直径，AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD和BD的长．

【例3】如图所示，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于D，BC=4cm．

AC⊥OD；

（2）求OD的长；

（3）若2sinA－1=0，求⊙O的直径．

【例4】四边形ABCD中，AB∥DC，BC=b，AB=AC=AD=a，如图，求BD的长．

【例5】如图1，AB是半⊙O的直径，过A、B两点作半⊙O的弦，当两弦交点恰好落在半⊙O上C点时，则有AC·

AC＋BC·

BC=AB2．

（1）如图2，若两弦交于点P在半⊙O内，则AP·

AC＋BP·

BD=AB2是否成立？

请说明理由．

（2）如图3，若两弦AC、BD的延长线交于P点，则AB2=．参照

（1）填写相应结论，并证明你填写结论的正确性．

八、圆内接四边形

圆的内接四边形定理：

圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

在⊙中，

∵四边形是内接四边形

∴

例1、如图7-107，⊙O中，两弦AB∥CD，M是AB的中点，过M点作弦DE．求证：

E，M，O，C四点共圆．

九、切线的性质与判定定理

（1）切线的判定定理：

过半径外端且垂直于半径的直线是切线；

两个条件：

过半径外端且垂直半径，二者缺一不可

∵且过半径外端

∴是⊙的切线

（2）性质定理：

切线垂直于过切点的半径（如上图）

推论1：

过圆心垂直于切线的直线必过切点。

推论2：

过切点垂直于切线的直线必过圆心。

以上三个定理及推论也称二推一定理：

①过圆心；

②过切点；

③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

十、切线长定理

切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

∵、是的两条切线

平分

利用切线性质计算线段的长度

例1：

如图，已知：

AB是⊙O的直径，P为延长线上的一点，PC切⊙O于C，CD⊥AB于D，又PC=4，⊙O的半径为3．求：

OD的长．

利用切线性质计算角的度数

例2：

AB是⊙O的直径，CD切⊙O于C，AE⊥CD于E，BC的延长线与AE的延长线交于F，且AF=BF．求：

∠A的度数．

利用切线性质证明角相等

例3：

AB为⊙O的直径，过A作弦AC、AD，并延长与过B的切线交于M、N．求证：

∠MCN=∠MDN．

利用切线性质证线段相等

例4：

AB是⊙O直径，CO⊥AB，CD切⊙O于D，AD交CO于E．求证：

CD=CE．

利用切线性质证两直线垂直

例5：

△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于D，DE切⊙O于D，交AC于E．求证：

DE⊥AC．

十一、圆幂定理

（1）相交弦定理：

圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。

在⊙中，∵弦、相交于点，

（2）推论：

如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

在⊙中，∵直径，

（3）切割线定理：

从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

在⊙中，∵是切线，是割线

（4）割线定理：

从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。

在⊙中，∵、是割线

例1.如图1，正方形ABCD的边长为1，以BC为直径。

在正方形内作半圆O，过A作半圆切线，切点为F，交CD于E，求DE：

AE的值。

例2.⊙O中的两条弦AB与CD相交于E，若AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，那么CE＝_________cm。

图2

例3.如图3，P是⊙O外一点，PC切⊙O于点C，PAB是⊙O的割线，交⊙O于A、B两点，如果PA：

PB＝1：

4，PC＝12cm，⊙O的半径为10cm，则圆心O到AB的距离是___________cm。

图3

例4.如图4，AB为⊙O的直径，过B点作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D，

（1）求证：

；

（2）若AB＝BC＝2厘米，求CE、CD的长。

图4

例5.如图5，PA、PC切⊙O于A、C，PDB为割线。

求证：

AD·

BC＝CD·

AB

图5

例6.如图6，在直角三角形ABC中，∠A＝90°

，以AB边为直径作⊙O，交斜边BC于点D，过D点作⊙O的切线交AC于E。

图6

求证：

BC＝2OE。

十二、两圆公共弦定理

圆公共弦定理：

两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。

如图：

垂直平分。

∵⊙、⊙相交于、两点

∴垂直平分

十三、圆的公切线

两圆公切线长的计算公式：

（1）公切线长：

中，；

（2）外公切线长：

是半径之差；

内公切线长：

是半径之和。

十四、圆内正多边形的计算

（1）正三角形

还有一点就是ｂｅａｄｗｏｒｋ公司在“碧芝自制饰品店”内设立了一个完全的弹性价格空间：

选择饰珠的种类和多少是由顾客自己掌握，所以消费者可以根据自己的消费能力进行取舍；

此外由于是顾客自己制作，所以从原料到成品的附加值就可以自己享用。

在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：

5、就业机会和问题分析

（2）正四边形

同理，四边形的有关计算在中进行，：

（3）正六边形

同理，六边形的有关计算在中进行，.

随科技的迅速发展，人们的生活日益趋向便捷、快速，方便，对于我国传统的手工艺制作，也很少有人问津，因此，我组想借此创业机会，在校园内开个DIY创意小屋。

它包括编织、刺绣、串珠等，让我们传统的手工制作也能走进大学，丰富我们的生活。

据了解，百分之八十的饰品店都推出“DIY饰品”来吸引顾客，一方面顺应了年轻一代喜欢与众不同、标新立异的心理；

另一方面，自制饰品价格相对较低，可以随时更新换代，也满足了年轻人“喜新厌旧”的需要，因而很受欢迎。

十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式

（2）东西全1、扇形：

（1）弧长公式：

（2）扇形面积公式：

（二）上海的人口环境对饰品消费的影响：

圆心角：

扇形多对应的圆的半径：

扇形弧长：

扇形面积

当然，在竞争日益激烈的现代社会中，创业是件相当困难的事。

我们认为，在实行我们的创业计划之前，我们首先要了解竞争对手，吸取别人的经验教训，制订相应竞争的策略。

我相信只要我们的小店有自己独到的风格，价格优惠，服务热情周到，就一定能取得大多女孩的信任和喜爱。

2、圆柱：

开了连锁店，最大的好处是让别人记住你。

“漂亮女生”一律采用湖蓝底色的装修风格，简洁、时尚、醒目。

“品牌效应”是商家梦寐以求的制胜法宝。

（1）圆柱侧面展开图