正弦定理公式教学提纲Word格式文档下载.docx
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(1)三角公式
①在中,已知两角的三角函数值,求第三个角;
存在。
证明:
有解有解
即,要判断是否有解,只需。
(2)正弦定理
①在中,已知两角和任意一边,解三角形;
②在中,已知两边和其中一边对角,解三角形;
(3)余弦定理
①在中,已知三边,解三角形;
②在中,已知两边和他们的夹角,解三角形。
直接运用正弦定理、余弦定理的上述情况,是我们常见、常讲、常练的,因此,在这里就不加赘述,同学们可以自己从教材中找一些题目看一看!
二、间接运用公式、正弦定理、余弦定理
(1)齐次式条件(边或角的正弦)
若题目条件中出现关于角的齐次式或关于边的齐次式,可以根据角的异同选用公式弦切互化或正弦定理边角互化;
有些题中没有明显的齐次式,但经过变形得到齐次式的依然适用。
1.相同角齐次式条件的弦切互化
【例】在中,若,,求。
【解析】无论是条件中的,还是都是关于一个角的齐次式。
是关于的一次齐次式;
是关于的二次齐次式。
因此,我们将弦化切,再利用三角公式求解。
由;
由
或;
在中,,且。
代值可得:
①当,时,;
②当,时,(舍去)。
2.不同角(正弦)齐次式条件的边角互化
【例】在中,若,且,求的面积。
【解析】条件是关于不同角正弦的二次齐次式。
因此,我们利用正弦定理将角化为边,然后根据边的关系利用余弦定理求解。
显然这个形式符合余弦定理的公式,因此,可得。
又因为,所以。
3.不同边齐次式条件的边角互化
【例】的内角的对边分别为。
已知,,求。
【解析】条件是关于不同边的一次齐次式。
因此,我们利用正弦定理将边化为角,然后由将不同角转化为同角,利用化一公式求解。
由,又,,可得:
,运用化一公式得。
4.边角混合齐次式条件的边角互化
①边角混合——边为齐次式
【例】的内角的对边分别为,且,求。
【解析】条件是边角混合——关于不同边的一次齐次式,由于所求为切的值,所以将边化为角,然后将弦化为切求解。
由,又
,则
。
②边角混合——角(正弦)为齐次式
【例】的内角的对边分别为,且,,求。
【解析】条件是边角混合——角(正弦)为不同角的一次齐次式。
因此,我们将角的正弦化为边,然后根据等式形式利用余弦定理求解。
由,由于,我们可以得到:
,显然这个形式符合余弦定理公式,因此,可得。
从而得出。
③边角混合——边、角(正弦)都为齐次式
【解析】条件是边角混合——边、角(正弦)各为一次齐次式。
因此,我们可以随意边角互化,但是一般将角转化为边求解。
由,
显然这个形式符合余弦定理公式,因此,可得。
5.非三角形内角正弦但可化为角(正弦)齐次式
【例】的内角的对边分别为,且,求证:
的三边成等比数列。
【解析】条件显然不是齐次式,并且角也不全是三角形的内角。
因此,首先得把这些角转变为三角形的内角,然后再往齐次式化利用正弦定理求解。
由,只要将变换为,题中的条件就变成了关于不同内角正弦的二次齐次式:
(2)不同边的平方关系(余弦定理)
若题目条件中出现关于边的平方关系或求边的平方关系,可以选用余弦定理边角互化,在上面的一些情况中,有利用正弦定理转化出不同边的平方关系,可以作为参考例题。
【解析】条件含有不同边的平方关系,形式显然符合余弦定理公式。
由。
(3)存在消不掉的正弦、余弦值(两定理同时使用,边角互化)
若题目条件中的条件不是上述情况,且始终含有消不去的内角正弦、余弦,可以同时使用正弦、余弦定理边角互化,要么都化为角(正弦、余弦),要么都化为边。
【例】在中,已知,且,求。
【解析】由题目中条件可得,
接下来再利用余弦定理可得,又,
,所以或。
因为。
解三角形运用的原理简单,但是题目灵活多变,往往使学生感觉不易下手,以上结合例题谈了一下通过题中条件的特征,利用三角形内角和、边、角之间的关系快速入手的策略,但这仅仅是初探,更多的策略还需要同学们在解题中不断地归纳总结。