高中数学 第1章 三角函数 133 函数yAsinωx+φ的图象教学设计 苏教版必修4文档格式.docx

高中数学 第1章 三角函数 133 函数yAsinωx+φ的图象教学设计 苏教版必修4文档格式.docx

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2．通过探究图象变换，会用图象变换法画出y＝Asin（ωx＋φ）图象的简图，并会用“五点法”画出函数y＝Asin（ωx＋φ）的简图．

3．通过学生对问题的自主探究，渗透数形结合思想．培养学生理解动与静的辩证关系，善于从运动的观点观察问题，培养学生解决问题抓主要矛盾的思想．

重点难点　　　　　

教学重点：

用参数思想分层次、逐步讨论字母φ、ω、A变化时对函数图象的形状和位置的影响，掌握函数y＝Asin（ωx＋φ）图象的简图的作法．

教学难点：

由正弦曲线y＝sinx到y＝Asin（ωx＋φ）的图象的变换过程．

课时安排　　　　　

2课时

第1课时

导入新课　　　　　

思路1.（情境导入）在物理和工程技术的许多问题中，都要遇到形如y＝Asin（ωx＋φ）的函数（其中A、ω、φ是常数）．例如，物体做简谐振动时位移y与时间x的关系，交流电中电流强度y与时间x的关系等，都可用这类函数来表示．这些问题的实际意义往往可从其函数图象上直观地看出，因此，我们有必要画好这些函数的图象．揭示课题：

函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象．

思路2.（直接导入）从解析式来看，函数y＝sinx与函数y＝Asin（ωx＋φ）存在着怎样的关系？

从图象上看，函数y＝sinx与函数y＝Asin（ωx＋φ）存在着怎样的关系？

接下来，我们就分别探索φ、ω、A对y＝Asin（ωx＋φ）的图象的影响．

推进新课　　　　　

函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象与函数y＝sinx的图象关系

振幅变换：

y＝Asinx（A>

0，A≠1）的图象，可以看作是y＝sinx图象上所有点的纵坐标都伸长（A>

1）或缩短（0<

A<

1）到原来的A倍（横坐标不变）而得到的．

周期变换：

y＝sinωx（ω>

0，ω≠1）的图象，可以看作是把y＝sinx的图象上各点的横坐标都缩短（ω>

1）或伸长（0<

ω<

1）到原来的倍（纵坐标不变）而得到的，由于y＝sinx的周期为2π，故y＝sinωx（ω>

0）的周期为.

相位变换：

y＝sin（x＋φ）（φ≠0）的图象，可以看作是把y＝sinx的图象上各点向左（φ>

0）或向右（φ<

0）平移|φ|个单位而得到的．

由y＝sinx的图象得到y＝Asin（ωx＋φ）的图象主要有下列两种方法．

分别在y＝sinx和y＝sin（x＋）的图象上恰当地选取一个纵坐标相同的点，同时移动这两点并观察其横坐标的变化，你能否从中发现，φ对图象有怎样的影响？

对φ任取不同的值，作出y＝sin（x＋φ）的图象，看看与y＝sinx的图象是否有类似的关系？

利用上述研究问题的方法，讨论探究参数ω对y＝sin（ωx＋φ）的图象的影响，为了作图的方便，先不妨固定为φ＝，从而使y＝sin（ωx＋φ）在ω变化过程中的比较对象固定为y＝sin（x＋）．

类似地，参数A对y＝sin（2x＋）的图象有什么影响呢？

为了研究方便，不妨令ω＝2，φ＝.此时，可以对A任取不同的值，利用计算器或计算机作出这些函数在同一坐标系中的图象，观察它们与y＝sin（2x＋）的图象之间的关系．

活动：

教师先引导学生阅读课本本节开头部分，并得出：

设物体做简谐运动时，位移s和时间t的关系为s＝Asin（ωt＋φ）（A>

0，ω>

0），其中A是物体振动时离开平衡位置的最大距离，称为振动的振幅；

往复振动一次所需的时间T＝，称为这个振动的周期；

单位时间内往复振动的次数f＝＝，称为振动的频率；

ωt＋φ称为相位，t＝0时的相位φ称为初相．

教师引导学生思考研究问题的方法，同时引导学生观察y＝sin（x＋）图象上点的坐标和y＝sinx的图象上点的坐标的关系，获得φ对y＝sin（x＋φ）的图象的影响的具体认识．然后通过计算机作动态演示变换过程，引导学生观察变化过程中的不变量，得出它们的横坐标总是相差的结论．并让学生讨论探究．最后共同总结出：

先分别讨论参数φ、ω、A对y＝Asin（ωx＋φ）的图象的影响，然后再整合．

由学生作出φ取不同值时，函数y＝sin（x＋φ）的图象，并探究它与y＝sinx的图象的关系，看看是否仍有上述结论．教师引导学生获得更多的关于φ对y＝sin（x＋φ）的图象影响的经验．为了研究的方便，不妨先取φ＝，利用计算机作出在同一直角坐标系内的图象，如图1，分别在两条曲线上恰当地选取一个纵坐标相同的点A，B，沿两条曲线同时移动这两点，并保持它们的纵坐标相等，观察它们横坐标的关系．可以发现，对于同一个y值，y＝sin（x＋）的图象上的点的横坐标总是等于y＝sinx的图象上对应点的横坐标减去.这样的过程可通过多媒体课件，使得图中A、B两点动起来（保持纵坐标相等），在变化过程中观察A、B的坐标、xB－xA、|AB|的变化情况，这说明y＝sin（x＋）的图象，可以看作是把正弦曲线y＝sinx上所有的点向左平移个单位长度而得到，同时多媒体动画演示y＝sinx的图象向左平移，使之与y＝sin（x＋）的图象重合的过程，以加深学生对该图象变换的直观理解．再取φ＝－，用同样的方法可以得到y＝sinx的图象向右平移后与y＝sin（x－）的图象重合．

图1

如果再变换φ的值，类似的情况将不断出现，这时φ对y＝sin（x＋φ）的图象的影响的铺垫已经完成，学生关于φ对y＝sin（x＋φ）的图象的影响的一般结论已有了大致轮廓．

y＝sin（x＋φ）（其中φ≠0）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左（当φ>

0时）或向右（当φ<

0时）平行移动|φ|个单位长度而得到．

教师指导学生独立或小组合作进行探究ω对图象的影响，教师作适当指导．注意提醒学生按照从具体到一般的思路得出结论．具体过程是：

（1）以y＝sin（x＋）为参照，把y＝sin（2x＋）的图象与y＝sin（x＋）的图象作比较，取点A、B观察．发现规律：

如图2，对于同一个y值，y＝sin（2x＋）的图象上点的横坐标总是等于y＝sin（x＋）的图象上对应点的倍．教学中应当非常认真地对待这个过程，展示多媒体课件，体现伸缩变换过程，引导学生在自己独立思考的基础上给出规律．

（2）取ω＝，让学生自己比较y＝sin（x＋）的图象与y＝sin（x＋）的图象．教学中可以让学生通过作图、观察和比较图象、讨论等活动，得出结论：

把y＝sin（x＋）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）就得到y＝sin（x＋）的图象．

图2

当取ω为其他值时，观察相应的函数图象与y＝sin（x＋）的图象的关系，得出类似的结论．这时ω对y＝sin（ωx＋φ）的图象的影响的铺垫已经完成，学生关于ω对y＝sin（ωx＋φ）的图象的影响的一般结论已有了大致轮廓．教师指导学生将上述结论一般化，归纳y＝sin（ωx＋φ）的图象与y＝sin（x＋φ）的图象之间的关系，得出结论：

函数y＝sin（ωx＋φ）的图象可以看作是把y＝sin（x＋φ）的图象上所有点的横坐标缩短（当ω>

1时）或伸长（当0<

1时）到原来的倍（纵坐标不变）而得到．

教师适时点拨学生，探索A对图象的影响的过程，与探索ω、φ对图象的影响过程完全一致，鼓励学生独立完成．学生观察y＝3sin（2x＋）的图象和y＝sin（2x＋）的图象之间的关系．如图3，分别在两条曲线上各取一个横坐标相同的点A、B，沿两条曲线同时移动这两点，并使它们的横坐标保持相同，观察它们纵坐标的关系．可以发现，对于同一个x值，函数y＝3sin（2x＋）的图象上的点的纵坐标等于函数y＝sin（2x＋）的图象上点的纵坐标的3倍．这说明，y＝3sin（2x＋）的图象，可以看作是把y＝sin（2x＋）的图象上所有的点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变）而得到的．通过实验可以看到，A取其他值时也有类似的情况．有了前面两个参数的探究，学生得出一般结论：

图3

函数y＝Asin（ωx＋φ）（其中A>

0）的图象，可以看作是把y＝sin（ωx＋φ）上所有点的纵坐标伸长（当A>

1时）或缩短（当0<

1时）到原来的A倍（横坐标不变）而得到，从而，函数y＝Asin（ωx＋φ）的值域是[－A，A]，最大值是A，最小值是－A.

由此我们得到了参数φ、ω、A对函数y＝Asin（ωx＋φ）（其中A>

0）的图象变化的影响情况．一般地，函数y＝Asin（ωx＋φ）（其中A>

0）的图象，可以看作用下面的方法得到：

先画出函数y＝sinx的图象，再把正弦曲线向左（右）平移|φ|个单位长度，得到函数y＝sin（x＋φ）的图象；

然后使曲线上各点的横坐标变为原来的倍，得到函数y＝sin（ωx＋φ）的图象；

最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍，这时的曲线就是函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象．

最后教师引导学生类比得出，也可先伸缩后平移，其顺序是：

先伸缩横坐标（或纵坐标），再伸缩纵坐标（或横坐标），最后平移．但学生很容易在第三步出错，在图象变换时，对比变换可以引起学生注意，并体会一些细节．

由此我们完成了参数φ、ω、A对函数图象影响的探究．教师适时地引导学生回顾思考整个探究过程中体现的思想：

由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想．

规律总结

先伸缩后平移（提醒学生尽量先平移）的步骤程序如下：

y＝sinx的图象

得y＝Asinx的图象

得y＝Asin（ωx）的图象

得y＝Asin（ωx＋φ）的图象．

先平移后伸缩的步骤程序如下：

得y＝sin（x＋φ）的图象

得y＝sin（ωx＋φ）的图象

思路1

例1见课本本节例1.

变式训练

　画出函数y＝2sin（x－）的简图．

本例训练学生的画图基本功及巩固本节所学知识．

（1）可引导学生从图象变换的角度来探究，这里的φ＝－，ω＝，A＝2，鼓励学生根据本节所学内容自己写出得到y＝2sin（x－）的图象的过程：

只需把y＝sinx的曲线上所有点向右平行移动个单位长度，得到y＝sin（x－）的图象；

再把后者所有点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），得到y＝sin（x－）的图象；

再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）而得到函数y＝2sin（x－）的图象．如图4所示．

图4

（2）学生完成以上变换后，为了进一步掌握图象的变换规律，教师可引导学生做换个顺序的图象变换，要让学生自己独立完成仔细体会变化的实质．

（3）学生完成以上