高等数学第七章微分方程试题及答案文档格式.docx
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即
，则原方程的通解为
。
，把
看作
的函数，则
把
的表达式代入原方程，得
—一阶方程，
设其解为
四．线性微分方程解的性质与结构
我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。
二阶齐次线性方程
（1）
二阶非齐次线性方程
（2）
1．若
为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合
（
为任意常数）仍为同方程的解，特别地，当
为常数），也即
与
线性无关时，则方程的通解为
2．若
为二阶非齐次线性方程的两个特解，则
为对应的二阶齐次线性方程的一个特解。
3．若
为二阶非齐次线性方程的一个特解，而
为对应的二阶齐次线性方程的任意特解，则
为此二阶非齐次线性方程的一个特解。
4．若
为对应的二阶齐次线性方程的通解（
为独立的任意常数）则
是此二阶非齐次线性方程的通解。
5．设
分别是
的特解，则
是
的特解。
五．二阶和某些高阶常系数齐次线性方程
1．二阶常系数齐次线性方程
其中
为常数，特征方程
特征方程根的三种不同情形对应方程通解的三种形式
（1）特征方程有两个不同的实根
则方程的通解为
（2）特征方程有二重根
则方程的通解为
（3）特征方程有共轭复根
，则方程的通解为
2．
阶常系数齐次线性方程
其中
为常数。
相应的特征方程
特征根与方程通解的关系同二阶情形很类似。
（1）若特征方程有
个不同的实根
则方程通解
（2）若
为特征方程的
重实根
则方程通解中含有y=
（3）若
重共轭复根
，则方程通解中含有
由此可见，常系数齐次线性方程的通解完全被其特征方程的根所决定，但是三次及三次以上代数方程的根不一定容易求得，因此只能讨论某些容易求特征方程的根所对应的高阶常系数齐次线性方程的通解。
六、二阶常系数非齐次线性方程
方程：
为常数
通解：
为对应二阶常系数齐次线性方程的通解上面已经讨论。
所以关键要讨论二阶常系数非齐次线性方程的一个特解
如何求？
1．
为
次多项式，
为实常数，
（1）若
不是特征根，则令
（2）若
是特征方程单根，则令
（3）若
是特征方程的重根，则令
2．
或
皆为实常数
（1）若
是特征根，则令
例题：
一、齐次方程
1.求
的通解
解：
2.
，令
.（将y看成自变量）
所以
.
二、一阶线形微分方程
1.
可得
.这是以y为自变量的一阶线性方程解得
.
.所以得解
2.求微分方程
变形得：
，是一阶线性方程
三、伯努力方程
，
解得
，于是
四、可降阶的高价微分方程
的通解
原方程化为
属于一阶线性方程
2.
，得到
得到
为关于y的一阶线性方程.
，解得
所以
于是
得解
五、二阶常系数齐次线形微分方程
特征方程
于是得解
得通解为
由
得到
得特解
六、二阶常系数非齐次线形微分方程
先求齐次方程的通解，特征方程为
，特征根为
因此齐次方程通解为
设非齐次方程的特解为
为特征根，因此设
代入原方程可得
，故原方程的通解为
2.求方程
特征方程为
因此齐次方程的通解为
由于题目中
不是特征根，
因此设
，代入原方程可得
解联立方程得
，因此
故原方程的通解为
3.
特征根为
，齐次方程的通解为：
待入原式得出：
，所以
故原方程的通解为
七、作变量代换后求方程的解
1.求微分方程
原方程化为
化简为
再令
最后Z再返回x,y,v也返回x,即可。
设
，因为
所以
3.
.得到
为一阶线性方程
.即
4.
则
.原方程化为
为贝奴利方程，
则
.方程化为
为一阶线性方程.
八、综合题
1.设f（x）＝x
－
，其中f（x）连续，求f（x）
由表达式可知f（x）是可导的，两边对x求导，则得
再对两边关于x求导，得
即
属于常系数二阶非齐次线性方程.
对应齐次方程通解
非齐次方程特解设
代入方程求出系数A,B,C,D则得
，故f（x）的一般表达式
由条件和导数表达式可知f（0）＝0，
可确定出
因此
2.已知
是某二阶线性非齐次常系数微分方程的三个解，求此微分方程及其通解.
由线性微分方程的解的结构定理可得，
对应的齐次方程的解，由解
的形式，可得齐次方程为
设该方程为
，代入
，得
所以，该方程为
，其通解为
3.设
内满足以下条件
（1）求
所满足的一阶和二阶微分方程
（2）求出
的表达式
可知
所满足的一阶微分方程为
（2）
将
于是
4.设函数
在
内具有二阶导数，且
的反函数
（1）试将
所满足的微分方程
变换为
满足的微分方程；
（2）求变换后的微分方程满足初始条件
的解。
（1）由反函数导数公式知
即
，两端关于x求导
得
代入原微分方程得
（*）
（2）方程（*）所对应的齐次方程
的通解为
设方程（*）的特解为
＝A
+B
，
代入方程（*）求得A＝0，B＝－
，故
＝－
从而
的通解是
由
，得
故所初值问题的解为
5.设
是以2
为周期的连续函数，
（1）求微分方程
的通解
（2）以上这些解中，有没有
以2
为周期的解？
若有，求出，若无，说明理由。
（1）先解对应的齐次方程：
带入上式
（2）若有以
为周期的解，满足：
关键是看
是否为周期函数：
不是周期函数，所以没有
为周期的解。
6.已知曲线y＝f（x）（x>
0）是微分方程2y//+y/-y=（4-6x）e-x的一条积分曲线，此曲线通过原点，且在原点处的切线斜率为0，试求：
（1）曲线y＝f（x）到x轴的最大距离。
（2）计算
齐次方程通解为：
，根据已知条件特解为：
特解代入原式得：
所以通解为：
，由已知得：
求
到
轴的最大距离，即求
的最大值。
，当
时，
轴的最大距离为
九、微分方程的几何和物理应用
1.设函数
二阶可导，且
过曲线
上任意一点
作该曲线的切线及
轴的垂线，上述两直线与
轴所围成的三角形的面积记为
区间
上以
为曲边的曲边梯形面积记为
，并设
恒为1，求此曲线
的方程。
在点
的切线方程为：
它与
轴的交点为
，由于
于是有
，又因为
，两边求导并化简得：
解上述微分方程：
，则上述方程化为
，即
根据
所以曲线方程为：
2.设曲线
的极坐标方程为
任一点，
上一定点，若极径
与曲线
所围成的曲边扇形面积值等于
上
两点间弧长值的一半，求曲线
因为
由已知可得：
，两边对
求导可得：
，设
3.有一在原点处与x轴相切并在第一象限的光滑曲线，P（x,y）为曲线上的任一点。
设曲线在原点与P点之间的弧长为S1，曲线在P点处的切线在P点与切线跟y轴的交点之间的长度为S2，且
=
，求该曲线的方程。
设曲线方程为
曲线在P点的切线方程为：
因此与
轴的交点为：
两边求导得出：
，解方程得出：
上连续，若曲线
，直线
轴围成平面图形绕
轴旋转一周所成旋转体的体积
，试求
所满足的微分方程，并求
的解.
由题意可知
则
，两边对t求导，
两边积分后得
，方程通解为
，再由
，可得
5.一个半球体状的雪球，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例常数
，假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为
的雪堆开始融化的3小时内，融化了其体积的
，问雪堆全部融化需要多少小时。
设雪堆在时刻
的体积
，表面积为
由已知可得
，于是
，由
，雪球全部融化时，
，即雪球全部融化需要6小时。
6.有一房间容积为100
，开始时房间空气中含有二氧化碳0.12%，为了改善房间的空气质量，用一台风量为10
/分的排风扇通入含0.04%的二氧化碳的新鲜空气，同时以相同的风量将混合均匀的空气排出，求排出10分钟后，房间中二氧化碳含量的百分比？
时刻二氧化碳的浓度为
，在时间间隔
，浓度改变
，两边积分可得：
7.有一容积为500
的水池，原有100
的清水，现在每分钟放进2
浓度为50%的某溶液，同时每分钟放出1
溶液，试求当水池充满时池中溶液浓度。
时刻溶液中溶质的量为
，质量改变
，这是一阶线性微分方程
先解对应的齐次方程：
，再解
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