学年高中数学第三章指数函数和对数函数3指数函数二学案北师大版必修1含答案.docx

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学年高中数学第三章指数函数和对数函数3指数函数二学案北师大版必修1含答案

3指数函数

（二）

学习目标　1.掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判断.2.能借助指数函数性质比较大小.3.会解简单的指数方程、不等式.4.了解与指数函数相关的函数奇偶性的判断方法．

知识点一　不同底指数函数图像的相对位置

思考　y＝2x与y＝3x都是增函数，都过点（0,1），在同一坐标系内如何确定它们两个的相对位置？

梳理　一般地，在同一坐标系中有多个指数函数图像时，图像的相对位置与底数大小有如下关系：

（1）在y轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小．即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．这一性质可通过令x＝1时，y＝a去理解，如图．

（2）指数函数y＝ax与y＝x（a＞0且a≠1）的图像关于y轴对称．

知识点二　比较幂的大小

思考　若x1＜x2，则ax1与ax2（a＞0且a≠1）的大小关系如何？

梳理　一般地，比较幂大小的方法有

（1）对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的__________来判断．

（2）对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的________的变化规律来判断．

（3）对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过__________来判断．

知识点三　解指数方程、不等式

思考　若a＜a，则x1，x2的大小关系如何？

梳理　简单指数不等式的解法

（1）形如af（x）＞ag（x）的不等式，可借助y＝ax的______________求解．

（2）形如af（x）＞b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的__________求解．

（3）形如ax＞bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图像求解．

知识点四　与指数函数复合的函数单调性

思考　y＝的定义域与y＝的定义域是什么关系？

y＝的单调性与y＝的单调性有什么关系？

梳理　一般地，有形如y＝af（x）（a>0，且a≠1）函数的性质

（1）函数y＝af（x）与函数y＝f（x）有________的定义域．

（2）当a>1时，函数y＝af（x）与y＝f（x）具有________的单调性；当0

类型一　解指数方程

例1　解下列关于x的方程．

（1）81×32x＝x＋2；

（2）22x＋2＋3×2x－1＝0.

反思与感悟　

（1）af（x）＝b型通常化为同底来解．

（2）解指数方程时常用换元法，用换元法时要特别注意“元”的范围．转化为解二次方程，用二次方程求解时，要注意二次方程根的取舍．

跟踪训练1　解下列方程．

（1）33x－2＝81；

（2）＝；

（3）52x－6×5x＋5＝0.

类型二　指数函数单调性的应用

例2　比较下列各题中两个值的大小．

（1）1.7－2.5,1.7－3；

（2）1.70.3,1.50.3；

（3）1.70.3,0.83.1.

反思与感悟　当两个数不能利用同一函数的单调性作比较时，可考虑引入中间量，常用的中间量有0和±1.

跟踪训练2　比较下列各题中的两个值的大小．

（1）0.8－0.1,1.250.2；

（2）－π，1.

例3　解关于x的不等式：

a2x＋1≤ax－5（a>0，且a≠1）．

反思与感悟　解指数不等式的基本方法是先化为同底指数式，再利用指数函数单调性化为常规的不等式来解，注意底数对不等号方向的影响．

跟踪训练3　已知（a2＋a＋2）x>（a2＋a＋2）1－x，则x的取值范围是________．

例4　

（1）求函数y＝的单调区间；

（2）求函数y＝2x－8·x＋17的单调区间．

反思与感悟　复合函数单调性问题归根结底是由x1

跟踪训练4　求下列函数的单调区间．

（1）

（2）y＝.

1．若a＝0.5，b＝0.5，c＝0.5，则a、b、c的大小关系是（　　）

A．a＞b＞cB．a＜b＜c

C．a＜c＜bD．b＜c＜a

2．方程42x－1＝16的解是（　　）

A．x＝－B．x＝

C．x＝1D．x＝2

3．函数f（x）＝的递增区间为（　　）

A．（－∞，0]B．[0，＋∞）

C．（－1，＋∞）D．（－∞，－1）

4．设0＜a＜1，则关于x的不等式的解集为________．

5．若指数函数y＝ax在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a＝________.

1．比较两个指数式值的大小的主要方法

（1）比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax的单调性．

（2）比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且c>bn，则am>bn.

2．解简单指数不等式问题的注意点

（1）形如ax>ay的不等式，可借助y＝ax的单调性求解．如果a的值不确定，需分01两种情况进行讨论．

（2）形如ax>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解．

（3）形如ax>bx的不等式，可借助图像求解．

3．

（1）研究y＝af（x）型单调区间时，要注意a>1还是0

当a>1时，y＝af（x）与f（x）的单调性相同．

当0

（2）研究y＝f（ax）型单调区间时，要注意ax属于f（u）的增区间还是减区间．

答案精析

问题导学

知识点一

思考　经描点观察，在y轴右侧，2x＜3x，即y＝3x图像在y＝2x上方，经（0,1）点交叉，位置在y轴左侧反转，y＝2x在y＝3x图像上方．

知识点二

思考　当a＞1时，y＝ax在R上为增函数，所以ax1＜ax2，

当0＜a＜1时，y＝ax在R上为减函数，所以ax1＞ax2.

梳理　

（1）单调性　

（2）图像　（3）中间值

知识点三

思考　当f（x）在区间[m，n]上单调递增（减）时，若x1，x2∈[m，n]，则f（x1）＜f（x2）⇔x1＜x2（x1＞x2）．

所以，当0＜a＜1时，a＜a⇔x1＞x2，

当a＞1时，a＜a⇔x1＜x2.

此原理可用于解指数方程、不等式．

梳理　

（1）单调性　

（2）单调性

知识点四

思考　由于y＝ax（a＞0且a≠1）的定义域为R，故y＝的定义域与y＝的定义域相同，故研究y＝的单调性，只需在y＝的定义域内研究．若设0＜x1＜x2，则＞，＜，不等号方向的改变与y＝x，y＝的单调性均有关．

梳理　

（1）相同　

（2）相同　相反

题型探究

例1　解　

（1）∵81×32x＝x＋2，

∴32x＋4＝3－2（x＋2），

∴2x＋4＝－2（x＋2），

∴x＝－2.

（2）∵22x＋2＋3×2x－1＝0，

∴4×（2x）2＋3×2x－1＝0.

令t＝2x（t＞0），

则方程可化为4t2＋3t－1＝0，

解得t＝或t＝－1（舍去）．

∴2x＝，解得x＝－2.

跟踪训练1　解　

（1）∵81＝34，∴33x－2＝34，

∴3x－2＝4，解得x＝2.

（2）∵＝，∴5＝5，

∴＝，解得x＝.

（3）令t＝5x，则t>0，

原方程可化为t2－6t＋5＝0，

解得t＝5或t＝1，即5x＝5或5x＝1，

∴x＝1或x＝0.

例2　解　

（1）∵1.7＞1，

∴y＝1.7x在（－∞，＋∞）上是增函数．

∵－2.5＞－3，∴1.7－2.5＞1.7－3.

（2）方法一　∵1.7＞1.5，

∴在（0，＋∞）上，y＝1.7x的图像位于y＝1.5x的图像的上方．

而0.3＞0，∴1.70.3＞1.50.3.

方法二　∵1.50.3＞0，

且＝0.3，

又＞1,0.3＞0，∴0.3＞1，

∴1.70.3＞1.50.3.

（3）∵1.70.3＞1.70＝1,0.83.1＜0.80＝1，

∴1.70.3＞0.83.1.

跟踪训练2　解　

（1）∵0＜0.8＜1，

∴y＝0.8x在R上是减函数．

∵－0.2＜－0.1，∴0.8－0.2＞0.8－0.1，

即0.8－0.1＜1.250.2.

（2）∵0＜＜1，

∴函数y＝x在R上是减函数．

又∵－π＜0，∴－π＞0＝1，

即－π＞1.

例3　解　

（1）当0

∵a2x＋1≤ax－5，

∴2x＋1≥x－5，解得x≥－6.

（2）当a>1时，∵a2x＋1≤ax－5，

∴2x＋1≤x－5，解得x≤－6.

综上所述，当01时，不等式的解集为{x|x≤－6}．

跟踪训练3　（，＋∞）

解析　∵a2＋a＋2＝（a＋）2＋>1，

∴（a2＋a＋2）x>（a2＋a＋2）1－x⇔x>1－x⇔x>.

∴x∈（，＋∞）．

例4　解　

（1）y＝的定义域为R.

在（－∞，3]上，y＝x2－6x＋17是减少的，

∴y＝在（－∞，3]上是增加的．

在[3，＋∞）上，y＝x2－6x＋17是增加的，

∴y＝在[3，＋∞）上是减少的．

∴y＝的增区间是（－∞，3]，

减区间是[3，＋∞）．

（2）设t＝x，又y＝t2－8t＋17在（0,4]上递减，

在[4，＋∞）上递增．

令x≤4，得x≥－2.

∴当－2≤x1，

即4≥t1>t2，∴t－8t1＋17

∴y＝2x－8·x＋17的单调增区间是[－2，＋∞）．同理可得减区间是（－∞，－2]．

跟踪训练4　解　

（1）设y＝au，u＝x2＋2x－3，由u＝x2＋2x－3＝（x＋1）2－4，得u在（－∞，－1]上为减函数，在[－1，＋∞）上为增函数．

当a>1时，y关于u为增函数；

当0

∴当a>1时，原函数的增区间为[－1，＋∞），减区间为（－∞，－1]；

当0

（2）已知函数的定义域为{x|x≠0}．

设y＝，u＝0.2x，易知u＝0.2x为减函数．而根据y＝的图像可知在区间（－∞，1）和（1，＋∞）上，y是关于u的减函数，∴原函数的增区间为（－∞，1）和（1，＋∞）．

当堂训练

1．B　2.B　3.A

4．（1，＋∞）

解析　∵0＜a＜1，∴y＝ax在R上是减函数，

又∵

∴2x2－3x＋2＜2x2＋2x－3，解得x＞1.

5.

解析　若0

即a2＋a－1＝0，

解得a＝或a＝（舍去）．

若a>1，则a－a－1＝1，即a2－a－1＝0，

解得a＝或a＝（舍去）．

综上所述a＝.