graph theory离散数学图论双语PPT文档格式.ppt

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因為每次經過一個點，都需要從一條邊進入該點，再用另一條邊離開，所以經過每個點一次要使用掉一對邊。

每個點上連接的邊數必須是偶數才行此種走法不存在,Q:

是否存在一種走法，可以走過每條邊一次，並回到起點？

Ch1-5,Anelementaryexampleofgraphs,4students:

A,B,C,D4positions:

FF,SC,W,BS四人各有喜好的工作：

（如下圖，連線表示有興趣）,Q:

Canallfourstudentsfindjobstheylike?

Ans:

No,（Ch6Matching）,Ch1-6,Definitionofagraph,AgraphGisafinitenonemptysetV（G）ofvertices（alsocallednodes,點）anda（possiblyempty）setE（G）of2-elementsubsetsofV（G）callededges（orlines,邊）.V（G）:

vertexsetofG（只有一個G時常簡寫為V）E（G）:

edgesetofG（只有一個G時常簡寫為E）常見的edge表示法:

u,v=v,u=uv（orvu）當邊有方向性時稱G為directedgraph（digraph）,Ch1-7,Example,AgraphG=（V,E）,whereV=u,v,w,x,y,zE=u,v,u,w,w,x,x,y,x,zE=uv,uw,wx,xy,xzG的diagram表示法:

Ch1-8,u,v:

verticesofagraphGuandvareadjacentinGifuvE（G）（uisadjacenttov,visadjacenttou）e=uv（ejoinsuandv）（eisincidentwithu,eisincidentwithv）,AdjacentandIncident,Ch1-9,Graphstypes,undirectedgraph:

（simple）graph:

loop（）,multiedge（）multigraph:

loop（）,multiedge（）Pseudograph:

loop（）,multiedge（）,Ch1-10,orderandsize,ThenumberofverticesinagraphGiscalleditsorder（denotedby|V（G）|）.Thenumberofedgesisitssize（denotedby|E（G）|）.Proposition1:

If|V（G）|=pand|E（G）|=q,thenAgraphoforderpandsizeqiscalleda（p,q）graph.,Ch1-11,Applicationofgraphs,一群人間兩兩互相認識或不認識（i.e.,沒有A認識B但B不認識A的情形），在安排一張圓桌的晚餐座位時，是否存在一種排法能讓坐在一起的人都相互認識？

eg.Tom,DickknowSue,Linda.HarryknowsDickandLinda.,acquaintancegraph:

（連線表示認識）,（Ch8Hamiltoniangraph）,Q:

圖中是否有一個通過所有點的cycle?

Ch1-12,eg.Animals:

A,B,C,D,EAC不能與BD同區，E不能與其他動物同區,Applicationofgraphs,動物園要用圍牆劃分區域，避免同區的動物互相捕食，至少需分多少區？

Q:

將圖形的點著色（一色表示一區），若相鄰兩點需塗不同色，最少需多少顏色才夠？

3色3區,（Ch10GraphColoring）,Ch1-13,Homework,Exercise1.1:

1,2,3,4,Ch1-14,Outline,1.1Whatisagraph?

1.2TheDegreeofaVertex1.3IsomorphicGraphs1.4Subgraphs1.5DegreeSequences1.6ConnectedGraphs1.7Cut-VerticesandBridges1.8Specialgraphs1.9Digraphs,Ch1-15,1.2Thedegreeofavertex,Definition.ForavertexvofG,itsneighborhoodN（v）=uV（G）|vuE（G）.Thedegreeofvertexvisdeg（v）=|N（v）|.,N（u）=x,w,v,N（y）=,deg（u）=3,deg（y）=0,Ch1-16,Notes,If|V（G）|=p,then0deg（v）p-1,vV（G）.Ifdeg（v）=0,thenviscalledanisolatedvertex（孤立點）.visanoddvertexifdeg（v）isodd.visanevenvertexifdeg（v）iseven.,Ch1-17,Handshakingtheorem,Theorem1.1（Handshakingtheorem）LetGbeagraph,pf.在計算degree總和時，每條邊會被計算兩次。

Example,Ch1-18,Handshakingtheorem,Corollary1.1Everygraphcontainsanevennumberofoddvertices.,pf.Ifthenumberofverticeswithodddegreeisodd,thenthedegreesummustbeodd.,Ch1-19,Regulargraph,Definition.AgraphGisr-regularifeveryvertexofGhasdegreer.AgraphGisregularifitsr-regularforsomer.,2-regular,Note.Thereisno1-regulargraphor3-regulargraphoforder5.（byCorollary1.1）,Example,Ch1-20,Complement,Definition.ThecomplementGofagraphGisagraphwithV（G）=V（G）,anduvE（G）iffuvE（G）.,Ch1-21,Applicationofdegree,Q:

npeople.（n2）Isitpossiblethateverytwoofthemareacquaintedwithadifferentnumberofpeopleinthegroup?

（SupposeifAknowsB,thenBknowsA.）,A:

Considertheacquaintancegraph。

若任兩人所認識的人數不等，表示圖形中所有點的degree都不相等。

n點的圖形中，degree只可能是0,1,n-1（共n種），必有一點x的degree為0，另一點y的degree為n-1，也就是x不認識y，但y認識x，矛盾。

Ch1-22,Exercise1Provethateverygraphofordern2hasatleasttwoverticeswiththesamedegree.,pf.Ifnot,thenthereexistverticesxandywithdeg（x）=0anddeg（y）=n-1.Itsimpossible.,（Hint.Theprobleminpreviouspage.）,Ch1-23,Exercise9.EveryvertexofagraphGoforder14andsize25hasdegree3or5.Howmanyverticesofdegree3doesGhave?

sol.Supposetherearexverticesofdegree3,thenthereare14-xverticesofdegree5.|E（G）|=25degreesum=503x+5（14-x）=50x=10,Ch1-24,Exercise10.AgraphGoforder7andsize10hassixverticesofdegreeaandoneofdegreeb.Whatisb?

sol.6a+b=20（a,b）=（0,20）（）（1,14）（）（2,8）（）（3,2）（）a=3,b=2.,Ch1-25,Homework,Exercise1.2:

4,7,11,Ch1-26,Outline,1.1Whatisagraph?

1.2TheDegreeofaVertex1.3IsomorphicGraphs1.4Subgraphs1.5DegreeSequences1.6ConnectedGraphs1.7Cut-VerticesandBridges1.8Specialgraphs1.9Digraphs,Ch1-27,1.3Isomorphicgraphs,v1,v3,v4,v5,u1,u2,u3,u4,u5,G1,G2,G1andG2arethesame（aftermovingsomevertices）.,Ch1-28,Isomorphic,Definition.TwographG1andG2areisomorphic（同構）（denotedbyG1G2）ifthereisa1-1andontofunctionfromV（G1）toV（G2）suchthatuvE（G1）ifff（u）f（v）E（G2）.（對應過去後，仍能保持兩點間相連與否的關係）Thefunctioniscalledanisomorphism.Inpreviouspage,f（vi）=uiforeachi.,Ch1-29,Isomorphic,Definition.TwographG1andG2areequalifV（G1）=V（G2）andE（G