2017届云南中考数学题型专项（九）圆的证明与计算（含答案）Word文档格式.doc
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∴∠ACB＝90°
.
∵∠D＝30°
，∴∠A＝30°
∴AB＝2BC＝2.
∴AC＝.
∴S△AOC＝×
AC·
OF＝.
∵∠AOC＝120°
，OA＝1，
∴S扇形AOC＝＝.
∴S阴影＝S扇形AOC－S△AOC＝－.
类型2 与圆的切线有关的计算与证明
3．（2016·
云南模拟）如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB于点E，∠POC＝∠PCE.
（1）求证：
PC是⊙O的切线；
（2）若OE∶EA＝1∶2，PA＝6，求⊙O的半径．
（1）证明：
∵CD⊥AB，
∴∠CEP＝90°
∴∠PCE＋∠P＝90°
∵∠POC＝∠PCE，
∴∠POC＋∠P＝90°
，即∠OCP＝90°
∴PC是⊙O的切线．
（2）∵∠POC＝∠PCE，∠P＝∠P，
∴△CEP∽△OCP.
∴＝.
设半径为R，则OE＝，EA＝.
∴CP2＝OP·
EP.
∴（R＋6）2－R2＝（6＋R）·
（＋6）．
解得R＝3（R＝0舍去）．
∴⊙O的半径为3.
4．（2016·
永州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为直径，过点B的切线与AC的延长线交于点D，E是BD中点，连接CE.
CE是⊙O的切线；
（2）若AC＝4，BC＝2，求BD和CE的长．
连接OC.
∵BD是⊙O的切线，
∴∠CBE＝∠A，∠ABD＝90°
∴∠ACO＋∠BCO＝90°
，∠BCD＝90°
∵E是BD中点，
∴CE＝BD＝BE.
∴∠BCE＝∠CBE＝∠A.
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A.
∴∠ACO＝∠BCE.
∴∠BCE＋∠BCO＝90°
，
即∠OCE＝90°
，CE⊥OC.
∴CE是⊙O的切线．
（2）∵∠ACB＝90°
∴AB＝＝＝2.
∵tanA＝＝＝＝，
∴BD＝AB＝.
∴CE＝BD＝.
5．（2016·
云南模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D在AB延长线上，且∠BCD＝∠A.
DC是⊙O的切线；
（2）若∠A＝30°
，AC＝2，求图中阴影部分的面积．
，即∠ACO＋∠BCO＝90°
∴∠A＝∠ACO.
∵∠A＝∠BCD，
∴∠ACO＝∠BCD.
∴∠BCD＋∠BCO＝90°
∴DC是⊙O的切线．
（2）过点O作OE⊥AC于点E.
∵AC＝2，∴AE＝.
∵∠A＝30°
∴OE＝1，AO＝2，∠AOC＝120°
∴S扇AOC＝＝，
S△AOC＝×
2×
1＝.
∴S阴影＝－.
6．（2016·
昆明模拟）如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，∠DBC＝∠BAC.
BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，∠BAC＝30°
，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）．
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB＝90°
∴∠BAC＋∠ABD＝90°
∵∠DBC＝∠BAC，
∴∠DBC＋∠ABD＝90°
∴AB⊥BC.
∵OB为⊙O的半径，
∴BC是⊙O切线．
（2）连接OD，过O作OM⊥BD于点M.
∵∠BAC＝30°
∴∠BOD＝2∠A＝60°
∵OB＝OD，
∴△OBD是等边三角形．
∴OB＝BD＝OD＝2.
∴BM＝DM＝1.
由勾股定理得：
OM＝.
∴S△DOB＝×
∴阴影部分的面积S＝S扇形DOB－S△DOB＝－＝π－.
7．（2016·
红河模拟）如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且＝＝，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足为D.
CD是⊙O的切线；
（2）若CD＝2，求⊙O的半径．
∵＝，∴∠FAC＝∠BAC.
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.
∴∠FAC＝∠OCA.∴OC∥AF.
∵CD⊥AF，∴OC⊥CD.
∴CD是⊙O的切线．
（2）连接BC.
∵AB为直径，∴∠ACB＝90°
∵＝＝，∴∠BOC＝×
180°
＝60°
∴∠BAC＝30°
.∴∠DAC＝30°
在Rt△ADC中，CD＝2，∴AC＝2CD＝4.
在Rt△ACB中，BC＝AC＝×
4＝4，
∴AB＝2BC＝8.
∴⊙O的半径为4.
8．（2016·
普洱模拟）如图，在△ABC中，∠CAB＝90°
，以AB为直径的⊙O交CB于点D，点E是AC的中点，连接OE、DE.
（1）判断ED与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若tanC＝，DE＝2，求BD的长．
（1）结论：
ED与⊙O相切．理由如下：
连接OD.
∵点E是AC的中点，点O是AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线．
∴OE∥BC.
∴∠EOA＝∠B，∠EOD＝∠ODB.
又∵OD＝OB，∠ODB＝∠B，
∴∠EOA＝∠EOD.
又∵OA＝OD，OE＝OE，
∴△AOE≌△DOE（SAS）．
∴∠EAO＝∠EDO.
又∵∠EAO＝90°
，∴∠EDO＝90°
∴OD⊥ED.
∵OD是⊙O的半径，
∴ED是⊙O的切线．
（2）连接AD.
∴∠ADC＝180°
－∠ADB＝90°
在Rt△ADC中，∵点E是斜边AC的中点，
∴AC＝2ED＝4.
∵tanC＝＝，
∴设AD＝x，CD＝2x.∵AD2＋DC2＝AC2，
∴（x）2＋（2x）2＝42.
解得x＝±
（负根不合题意，舍去）．
∴AD＝x＝.
在Rt△ADC中，∠C＋∠CAD＝90°
又∵∠BAD＋∠CAD＝90°
∴∠BAD＝∠C.
∴tan∠BAD＝tanC＝.
又在Rt△ADB中，∵tan∠BAD＝，
∴BD＝AD·
tan∠BAD＝×
9．（2016·
曲靖模拟）已知：
如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，过点C的切线与直径AB的延长线相交于点P，连接PD.
PD是⊙O的切线；
（2）求证：
PD2＝PB·
PA；
（3）若PD＝4，tan∠CDB＝，求直径AB的长．
连接OC、OD.
设AB与CD交于点E.
∵CP为⊙O的切线，
∴OC⊥CP.
∴∠OCP＝90°
∵OD＝OC，AB⊥CD，
∴∠ODE＋∠DOE＝∠OCE＋∠COE＝90°
又∵∠ODE＝∠OCE，
∴∠DOE＝∠COE.
又∵OD＝OC，OP＝OP，
∴△ODP≌△OCP（SAS）．
∴∠ODP＝∠OCP＝90°
∴PD是⊙O的切线．
（2）证明：
∵∠PDB＋∠ODB＝∠ADO＋∠ODB＝90°
∴∠PDB＝∠ADO.
又∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO.
∴∠PDB＝∠A.
又∵∠DPB＝∠APD，
∴△PBD∽△PDA.
∴＝，
即PD2＝PB·
PA.
（3）设BE＝x，则DE＝2x，BD＝x.
∵∠CDB＋∠ADC＝∠A＋∠ADC＝90°
∴∠A＝∠CDB.
∴tanA＝.
∴AE＝2DE＝4x，AB＝AE＋BE＝5x，AD＝2x.
由
（2）知△PBD∽△PDA.
得PB＝8－5x.
又∵PD2＝PB·
PA，
∴16＝（8－5x）（5x＋8－5x）．
得x＝.
∴AB＝5x＝6.
10．（2016·
红河模拟）如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，BC的延长线与⊙O的切线AF交于点F.
∠ABC＝2∠CAF；
（2）若AC＝2，CE∶EB＝1∶4，求CE，AF的长．
连接BD.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠DAB＋∠ABD＝90°
∵AF是⊙O的切线，
∴∠FAB＝90°
即∠DAB＋∠CAF＝90°
∴∠CAF＝∠ABD.
∵BA＝BC，∠ADB＝90°
∴∠ABC＝2∠ABD.
∴∠ABC＝2∠CAF.
（2）连接AE.∵AB是⊙O直径，
∴∠AEB＝90°
设CE＝x，
∵CE∶EB＝1∶4，
∴EB＝4x，BA＝BC＝5x，AE＝3x.
在Rt△ACE中，AC2＝CE2＋AE2.
即
（2）2＝x2＋（3x）2.
∴x＝2（x＝－2舍去）．
∴CE＝2.
∴EB＝8，BA＝BC＝10，AE＝6.
∵tan∠ABF＝＝，
∴AF＝.
11．（2016·
昆明模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于点F，连接PF.
（1）若∠POC＝60°
，AC＝12，求劣弧PC的长；
（结果保留π）
OD＝OE；
（3）求证：
PF是⊙O的切线．
（1）∵AC＝12，
∴CO＝6.
∴l＝＝2π.
∵PE⊥AC，OD⊥AB，
∴∠PEA＝∠ADO＝90°
在△ADO和△PEO中，
∴△POE≌△AOD（AAS）．
∴OD＝OE.
（3）证明：
连接AP，PC.
∵OA＝OP，∴∠OAP＝∠OPA.
由
（2）得OD＝EO，∴∠ODE＝∠OED.
又∵∠AOP＝∠EOD，∴∠OPA＝∠ODE.
∴AP∥DF.
∵AC是直径，∴∠APC＝90°
∴∠PQE＝90°
，即PC⊥EF.
又∵DP∥BF，∴∠ODE＝∠EFC.
∵∠OED＝∠CEF，∴∠CEF＝∠EFC.
∴CE＝CF.
∵PC为EF的中垂线，
∴∠EPQ＝∠QPF.
∵△CEP∽△CPA，
∴∠EPQ＝∠EAP.
∴∠QPF＝∠EAP.
∴∠QPF＝∠OPA.
∵∠OPA＋∠OPC＝90°
∴∠QPF＋∠OPC＝90°
∴OP⊥PF.
∴PF是⊙O的切线．
12．（2016·
德州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交⊙O于点E，交BC于点D，过点E作直线l∥BC.
（1）判断直线l与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠ABC的平分线BF交AD于点F，求证：
BE＝EF；
（3）在
（2）的
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