第三章晶格振动和晶体热学性质Word文件下载.docx
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亦即
该式代表一维简单晶格中格波的色散关系，图为ω~q关系，即是一维简单晶格的振动频谱，其中取qa介于（-π，π）之间。
一维复式格子
考虑由两种不同原子组成的一维复式格子，相邻同种原子的距离为2a（复式格子的晶格常数），原子质量别离为M和m（M＞m）。
类似一维简单格子，可得：
该方程组的解也能够是角频率为ω的简谐振动：
把解代入运动方程，得
上式可改写为
若A、B有异于零的解，则其系数行列式必需等于零，即
由此能够解得
由上式可见，ω与q之间存在着两种不同的色散关系，即对一维复式格子，能够存在两种独立的格波，这两种不同的格波各有自己的色散关系。
为了保证xn的单值性，把q值限制在，则2qa介于（-π，π），所以ω1的最大值为而ω2的最小值为因为（M＞m），从而ω2的最小值比ω1的最大值还要大。
换句话说，ω1支的格波频率总比ω2支的频率低，实际上，ω2支的格波能够用光来激发，所以常称为光频支格波，简称光学波，而ω1支的格波则称为声频支格波，简称为声学波。
声学波和光学波
通过讨论简化，近似能够取得：
综合以上结果，可得：
（1）声学波的频率ω1最大值为，最小值为0；
（2）光学波的频率ω2最大值为，最小值为。
其色散关系如图
再看相邻两种原子振幅之比，
（1）对于声学波，也就是说，相邻两种不同原子的振幅都有相同的正号或负号，即对于声学波，相邻原子都是沿着同一方向振动，当波长很长时，声学波实际上代表原胞质心的振动。
（2）对于光学波，也就是说，相邻两种不同原子的振动方向是相反的，对于长光学波，原胞的质心维持不动。
光学波是代表原胞中两个原子的相对振动。
声学波光学波
周期性边界条件（玻恩-卡门边界条件）
假想在一长为Na的有限晶体边界之外，仍然有无穷多个相同的晶体，而且各块晶体内相对应的原子的运动情形一样，即第j个原子和第tN+j个原子的运动情形一样，其中t=1,2,3,…。
对于晶格，能够有如此的结论：
晶格振动波矢的数量=晶体原胞数
晶格振动频率的数量=晶体的自由度数
一维有限布喇菲格子（含N个原胞，每一个原胞一个原子）
一维有限复式格子（含N个原胞，每一个原胞有两个不同原子）
晶格振动的量子化声子
理论考虑：
（1）晶体中原子的集体振动-----格波，可展开成简谐平面波的线性迭加。
（2）对微弱振动（简谐近似），每个格波就是一个简谐波，格波之间的彼此作用可忽略，形成独立格波模式。
（3）在玻恩-卡门周期性边界条件下，取得分立的独立格波模式，可用独立简谐振子来表述。
晶格振动中的简谐振子的能量量子---声子。
数学处置：
晶格振动总能量（哈密顿量）=动能+势能（化成）=独立简谐振子能量之和
长波近似
在§
中,晶体被看做持续介质,从经典力学的角度推出了晶格振动的弹性波方程。
在§
中,咱们从晶体中每一个原子在其平衡位置周围振动的观点（再也不是持续介质）,推出晶格振动的声学波和光学波。
本节讨论q→0、λ→∞，即长声学波和长光学波的情形，并和持续介质结果作比较。
长声学波
当波长很长，即q很小时，长声学波的角频率ω1与波矢q的关系能够简化成：
而长声学波的波速νp可表示成：
式中是晶体的恢复力常数。
由此能够取得，长声学波的角频率与波矢存在线性关系，它的波速为一常数。
长声学波的这些特性与晶体中的弹性波完全一致，因此晶格能够近似地看成持续介质，而长声学波也就可以够近似地被以为是弹性波。
原子振动观点：
声学波
持续介质观点：
弹性波
结论：
对于长声学波，晶格能够看做持续介质，即长声学波和弹性波完全一样。
长光学波
对于光学波，相邻的不同离子振动方向相反，当波长比原胞的线度大得多，相邻的同一种离子的位移将趋于相同；
如此，在半波长的范围内，正离子所组成的一些布喇菲原胞同向地位移，而负离子所组成的另一些布喇菲原胞反向位移，使晶体中出现宏观的极化，所以长光学波又称为极化波。
极化方程：
用μ+代表质量为M的正离子位移，用μ-代表质量为m的正离子位移，由正、负离子相对位移所引发的宏观电场强度设为ξ，从宏观场强中减去该离子本身所产生的场强，称为有效场强（ξ有效）于是正负离子的运动方程是：
采用洛伦兹有效场近似，并用SI制来表示，则，其中ε0是自由空间的介电常数，而P代表极化强度：
，其中α代表原胞中正负离子极化率之和；
V代表晶体的体积，N代表复式格子的原胞数。
将ξ有效代入得：
利用折合质量，就可把运动方程改成：
引入位移参量度W,令于是能够取得著名的黄昆方程。
上式的物理意义很明显，第一式代表振动方程，它的右方第一项b11W为准弹性恢复力，b11相当于离子本征振动频率平方的负值，第二项表示电场附加了恢复力，第二式代表极化方程，其右方第一项b21W表示离子位移引发了极化，第二项表示电场附加了极化。
对黄昆方程的求解，并考虑静电场和光频电场两种极端情形可得著名的LST（Lyddane-Saxhs-Teller）关系，
由此能够作出如下重要结论：
（1）由于静电介电系数εS恒大于光频介电常数ε∞，所以，长光学纵波的频率ωLO恒大于工光学波横波频率ωTO
（2）当ωTO→0，εS→∞，而εS→∞则意味着晶体内部出现自发极化。
把趋于零的ωTO称为光学软模。
固体比热
本节只讨论晶格振动对比热的奉献。
按照经典理论，摩尔原子比热为Cv=3NkB=焦耳/开·
摩尔，即比热是一个与无关的常数，这就是杜隆-珀替定律。
在高温时，这条定律和实验符合得专门好，但在低温时，实验指出绝缘体的比热按T3趋近于零，对导体按T趋近于零。
按照量子理论，在温度T时，频率为ω的振动的平均能量是
晶体的平均能量为:
则比热可写成
由此可见,用量子理论求比热时,问题的关键在于如何求角频率的散布函数ρ（ω）。
对于具体的晶体，ρ（ω）的计算超级复杂。
1．爱因斯坦模型
在这模型中，以为晶体中所有原子都以相同的频率振动，所以晶体的平均能量
而比热式中
称为爱因斯坦比热函数，通常常利用爱因斯坦温度θE代替频率ω，θE的概念为，可得
爱因斯坦温度θE的选取方式是，选取适合的θE值，使得在比热显著改变的广大温度范围内，理论曲线和实验数据相当好地符合。
当温度比较高时，Cv≈3NkB，与杜隆-珀替定律一致，能与实验较好符合。
但当温度超级低时，，则，不能与实验较好符合。
这是因为爱因斯坦模型忽略了各格波的频率不同，以为所有格波的频率相同，那个假设过于简单。
2．德拜模型
德拜关于固体比热的模型的主要特点是，把布喇菲晶格看做是各向同性的持续介质，即把格波看做是弹性波，而且还假定纵的和横的弹性波的小组速相等，都是νp。
通过计算能够取得：
式中，称为比热函数。
当T»
ΘD时，比热趋于经典极限，在极低温度下，能够把E的极分上限取为∞，则E的积分变成：
当ΘD«
T时，能量和比热别离为：
即在极低温度下，比热和温度T3成比例，叫做德拜定律。
温度愈低，德拜近似愈好，因为在超级低的温度下，只有长波的激发是主要的，对于长波，晶格是能够看做是持续介质的。
非简谐效应
对彼此作用势能作泰勒展开。
若保留到2次项，即为简谐近似，晶格振动可用一系列线性独立的谐振子描述，谐振子之间不发生作用，不互换能量。
但如果保留到3次项或更高次项，谐振子再也不是彼此独立的，有彼此作用，声子与声子间互换能量，一种频率的声子会湮灭，另一种频率的声子将产生，通过必然的弛豫时刻，各类频率的声子散布将达到热平衡（知足玻耳兹曼统计理论）。
非简谐项是使晶格振动达到热平衡的最主要原因，也是有限热传导和热膨胀的主要原因。
设两个彼此碰撞的声子的频率和波矢别离为ω1，q1和ω2，q2；
而第三个声子的频率和波矢为ω3，q3，则它们间必需知足：
（a）
（b）
由于晶格振动的波矢具有周期性，波矢（q+Kh）的晶格振动状态与波矢q的晶格振动状态完全一样，其中Kh代表倒格矢。
因此，下式
（c）一样有效。
对于知足（a）与（b）的声子碰撞进程，称为正常进程，简称N进程（Normalprocesses）,而知足（a）与（c）的声子碰撞进程，称为倒逆进程，简称U进程（Umklappprocesses）
热传导
若是晶体内存在温度梯度，则在晶体内将有能流密度Q（单位时刻内通过单位面积的热能）流过：
式中x是晶体的热导系数。
若是不考虑电子对热传导的奉献，则晶体中的热传导主要靠声子来完成，只考虑晶格振动（声子）对热传导的奉献
其中C为晶体单位体积热容量，v为声子平均速度，l为声子移动的平均自由程。
讨论
热膨胀
两原子之间的互作用势能曲线并非是严格的抛物线，而是不对称的复杂函数，如图中的实曲线所示，平衡位置的左侧较陡，右边较光滑，因此当原子振动后，随着振幅（或总能量）的增加，平均位置将向右边移动与各个能量相应的平均位置如图中的AB曲线所示，物体的热膨胀就是由于势能曲线的不对称性所致使。
肯定振动谱的实验方式
概念
光散射方式
光子与长声学波声子的彼此作用称为光子的布里渊散射
光子与光学波声子的彼此作用称为光子的喇曼散射
中子散射方式
晶格的自由能
本章前面的晶体比热、热膨胀等问题都可在自由能的基础上统一路来讨论。
自由能概念
晶体状态方程
称为格林爱森常数，和频率无关，但和晶格的非线性振动有关。
在简谐近似下
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