近世代数教案资料Word文档下载推荐.docx

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整学期可安排1—2次相关讲座，介绍现代代数学的研究方法或研究成果。

本学期已经准备讲座内容：

群与Goldbach猜想。

教学手段：

黑板板书与Powerpoint课件相结合。

主要参考书：

1．张禾瑞,近世代数基础,1952第一版,1978年修订版,高等教育出版社

2.刘绍学,近世代数基础,（面向21世纪课程教材,“九五”国家级重点教材）高等教育出版社,1999

3.石生明,近世代数初步,高等教育出版社2002

4.B.L.VanderWaerden,代数学,丁石孙,曾肯成,郝鈵新,曹锡华译,1964卷1,1976卷2,科学出版社

5.M.Kline,古今数学思想,卷1-4,张理京,张锦炎,江泽涵译,上海科技出版社2002

第二章数环与数域

本章教学目标：

1.熟悉整数剩余类环的运算，了解整数剩余类环在数论研究中的作用。

2.数环就是数系，熟悉各种不同形态的数环与数域；

有限的、无限的；

交换的、不交换的。

3.学习整环的分式域、素域与扩域的理论。

4.综合应用数环与数域的初等方法证明欧拉二平方和定理、Lagrange四平方和定理。

5.本章通过若干数论定理的学习，使学生了解和熟悉环论的初等方法，为第3章与第5章学习系统的扩域理论奠定基础。

教学时数：

共6节，8学时

2.1整数剩余类环

复习引入：

通过整数的整除性问题，了解引入整数剩余类环的必要性，一方面使学生知道同余类方法是数论的基本工具，另一方面整数剩余类环也是一类重要的数环。

内容要点：

1.整数剩余类环的定义及基本性质。

2.环同态定义、理想定义、环同态基本定理。

3.整数剩余类环是整数环的同态像。

讲授内容：

整数的整除性是整数最重要的性质，它是数论研究的一个重要的内容。

整除性问题常常是数论中的困难问题。

法国数学家费马（PierredeFermat，1601-1665）曾经认为形如+1的数都是素数，直到大约100年之后+1的一个非平凡因子641才被数学家欧拉（LeonhardEuler，1707—1783）发现，欧拉得到分解232+1=4294967297=641×

6700417，可见整数的整除问题具有一定的难度。

研究整数整除性的一个重要工具是带余除法。

对于两个整数a，b（b>

0）存在整数q，r使a=qb+r且0≤r＜b。

式中q称为商，r称为余数。

在整除性问题中我们主要关心余数，而不关心商。

因此有下面的同余概念。

定义1假定m是一个正整数，两个整数a与b如果满足条件m︱a－b，则称a与b模m的同余，记为a≡b（m）。

由1.2节知模m同余是整数集Z上的一个等价关系，其商集记为Zm，其元素记为[a]，称之为模m的一个剩余类。

定义Zm上的加法与乘法运算：

[a]+[b]=[a+b]

[a]·

[b]=[ab]

容易知道上面的加、乘运算的定义与剩余类中代表元的选法无关，即当[a]=[a1]，[b]=[b1]时[a]+[b]=[a1]+[b1]，[a]·

[b]=[a1]·

[b1]。

定理2.1.1Zm成为一个环。

该定理证明没有太多困难，仅仅是按定义作常规验证。

证明留给读者作为练习。

Zm称为模m剩余类环，这是一个包含m个元素的有限环。

我们也可以把它看成一个有限数系。

借助环Zm常常可以简化整数中的计算问题，特别是整除性问题。

例Z2仅含两个元[0]与[1]，每个偶数与0同余，每个奇数与1同余。

如果我们用[0]代表偶，[1]代表奇，则剩余类环Z2中的运算实际上表示了整数运算的奇偶性法则：

奇+奇=偶，奇+偶=奇，偶+偶=偶

奇·

奇=奇，奇·

偶=偶，偶·

偶=偶

定义2设R与S是两个环，映射ƒ：

R→S若满足条件：

对每a，b∈R有ƒ（a+b）=ƒ（a）+ƒ（b），ƒ（ab）=ƒ（a）ƒ（b），则ƒ称为环同态。

若ƒ是满映射，则ƒ称为满同态；

若ƒ是单映射，则ƒ称为单同态；

若ƒ是既单又满的环同态，则称ƒ为环同构。

满同态记为ƒ：

R~S

环同构记为ƒ：

R≅S

定义3两个域同态或同构是指它们作为环同态或同构。

定理2.1.2定义映射ƒ：

Z→Zm使ƒ（a）=[a]，则ƒ是环同态。

证证明十分简单，略去。

为了进一步讨论整数剩余类环的性质，我们先证明一个整数方面的定理。

定理2.1.3两个整数a、b互素的充分必要条件是存在整数s、t使sa+tb=1。

证如果条件sa+tb=1成立，则a、b互素，因为这时a，b的公因子d∣sa+tb=1，d=±

1。

反过来假定a、b互素，不妨设a与b都是正整数。

对a+b作归纳。

由带余除法，存在整数q、r使a=qb+r且0≤r＜b。

如果r=0，则b|a，但因a、b互素，故b=1，当然存在整数s、t使sa+tb=1。

如果r≠0，则b，r互素。

由归纳存在整数s1，t1使s1b+t1r=1，于是t1a=t1qb＋t1r=t1qb＋1－s1b。

因此t1a＋（s1－t1q）b=1，定理得证。

定理2.1.4若p是素数，则Zp是域。

证只要证明Zp中的非零元素集成为一个乘法群。

设[a]≠[0]，由定理2.1.3存在整数s，t使sa＋tp=1，于是[s][a]=[1]，说明[s]是[a]在Zp中的逆元素，因而Zp中的全体非零元素集组成一个乘法群。

注：

Zp是我们过去在代数中未遇到过的有限域。

像整数模n剩余类环一样，对于一般的环也可以作剩余类环。

为此我们引入一个在环论研究中十分重要的定义，这个定义称为“理想”。

定义4设R是一个环，A是R的一个子环，如果A满足下面条件：

对每r∈R有rA，Ar⊆A，其中rA={ra|a∈A}，Ar={ar|a∈A}，则称A是R的理想。

如果A是R的理想，定义R上的一个二元关系a~b当且仅当a-b∈A。

容易检验~是R上的一个等价关系，商集合记为=R/A。

的元记为[r]=r+A，定义上的运算[a]+[b]=[a+b]，[a][b]=[ab]。

这样成为一个环，称之为模A剩余类环。

我们有下面的同态基本定理

定理2.1.5

（1）假定R与是两个环，并有环同态ϕ：

R~，则A={r∈R|=}是R的理想，且有环同构≅R/A。

上面的ϕ称为自然同态，记A=kerϕ，称之为同态ϕ的核。

（2）反之，若A是R的理想，则有环同态R~R/A=。

证

（1）对每a、b∈A，ϕ（a-b）=-=，故a-b∈A，说明A是一个加群。

进一步若r∈R，a∈A，则ϕ（ra）==，ra∈A，同样ar∈A。

因此A是R的理想。

容易验证ψ：

→r+A是环同构≅R/A。

（2）容易知道映射ϕ：

R→R/A使ϕ（r）=是环同态。

思考问题4问定理2.1.2中环同态ƒ：

Z→Zm的同态核A=？

解答：

同态核A=（m）={am|a∈Z}，因此由定理2.1.5Zm≌Z/（m）。

练习作业

1.设m是一个正整数，证明同余的性质

（1）若a≡b（m），c=d（m），则a±

c≡b±

d（m）

（2）若a≡b（m），c=d（m），则ac≡bd（m）

（3）若a≡b（m），则ad≡bd（m）

（4）若ad≡bd（m），且（d，m）=1，则a≡b（m）

2.Z是整数环，2Z=｛2a︱a∈Z｝在整数运算之下成为一个环，可以称它为偶数环，ƒ：

a→2a是Z→2Z的一个映射，问ƒ是不是环同构？

3.设R是一个有单位元的环，a，b∈R，证明1-ab可逆当且仅当1-ba可逆。

4.假定R是一个交换环，证明A={a∈R|存在某个正整数n使an=0}是R的一个理想。

这个理想称为幂零元理想。

2.2整环的分式域

上节我们从整数环出发，构造整数模n剩余类环Zn，由同态基本定理，剩余类环Zn≌Z/（n）。

这样，我们实际从一个无限数系得到一有限数系。

有限数系Zn在数论研究中有重要价值。

数系发展的另一个方向是从整数系统构造出分数系统，既有理数系统。

本节我们将把这样的数系扩充推广到一般的整环上。

1.证明整环嵌入分式域定理。

2.整环的分式域是包含这个整环的最小域。

3.了解一些常见整环分式域的实例。

讲解内容：

在数系发展的历史上，由整数系到有理数系的扩展是最简单、最容易被认识的一次，这种数系的扩展理论作为“比与比例论”是由古希腊数学家Eudoxus建立的，并被收入欧几里德（Eudid）《几何原本》的第五卷。

两个可公度的量a与b可以通过下面的方法来比较。

选定一个（足够小的）公共单位量，使量a是单位量的整数倍，b也是单位量的整数倍。

在这一观点之下，量a与b实际都可认为与一个整数对应。

现在量a与b的比就是两个整数的比a/b。

Eudoxus发现这种“比”可以进行运算，其运算法则是

（1）

（2）

（3）

上面这种整数的“比例论”实际上就是有理数系的代数理论。

Eudoxus的比例论启发我们可以用类似的“比例论”方法把一个具有与整数环性质相当的环扩展成为一个域。

由此我们有下面的整环的定义。

定义1设R是一个环，对R的每两个非零元a、b，如果ab=0则a称为R的左零因子，b称为R的右零因子。

当R是交换环时零因子没有左、右的区别。

一个有单位元的交换环若没有零因子，则称为整环。

例整数环当然是整环；

域上的多项式环也是整环；

Zn是整环当且仅当n是素数。

定义2设R是一个环，S是R的一个非空子集，如果S在R的加法与乘法运算之下也成为一个环，则S称为R的子环，我们说一个环S1可以嵌入环R，是指环S1与R的一个子环S同构。

下面的定理与Eudoxus的比例论相当。

定理2.2.1每一个整环都可以嵌入一个域。

证证明分为以下三步

（1）设已知的整环为R。

作集合A=｛（a，b）∣a，b∈R，b≠0｝。

定义A上的关系（a，b）～（c，d）当且仅当ad=bc，容易验证这是一个等价关系。

记F为A的等价类作成的集合，把F的元素表为，定义F上的运算

+=;

.

容易验证上面的运算与等价类代表元的取法无关，即如果

=,=则+=+,.=..

（2）验证F在上面定义的运算之下成为一个域。

首先F成为一个加群，其零元素是,-=,F对于乘法封闭,且F中的非零元成为一个群,群的单位元是,而且（）-1=。

分配律成立:

（+）=（）=（）=

+=.+.,因此F是一个域。

（3）F的子集R1={|a,bR,b0}组成F的一个子环，命ϕ:

RR1使ϕ（a）=,由于b1≠0时=,故ϕ是R到R1上的映射。

若=，则a1b1b=abb1,于是（a1－a）bb1=0,但因R是整环，没有零因子，故a1=a，说明ϕ是一一映射。

容易验证ϕ是环同构，因此R与域F的一个子环同构。

定理得证。

注1.定理2.2.1的证明不依赖R有单位元这一条件，因此实际上我们证明了每个没有零因子的交换环都可以嵌入一个域。

2.由整环R所构造的域F，其元素形如,因此F称为R的分式域。

3.整数环的分式域是有理数域。

下面的定理说明分式