代数基本定理.doc

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学校代码：

10200学号：

1212408014

本科毕业论文

代数基本定理

学生姓名：

龚鹏

指导教师：

陈良云教授

所在学院：

数学与统计学院

所学专业：

数学与应用数学

中国·长春

2012年5月

代数基本定理

摘要

本论文主要讲解代数基本定理的复分析证明方法和群论证明方法，主要分为两大部分.部分一主要介绍复分析和复函数的一些基础理论知识，为后面代数基本定理的复分析证明方法奠定基础.部分一分为三节：

第一节是复函数和复分析；第二节是柯西-黎曼方程；第三节是保角映射和解析性.部分二主要介绍了运用伽罗瓦理论的知识来证明代数基本定理,使得代数基本定理更简单而且容易理解.部分二主要分为三节：

第一节是伽罗瓦理论概述；第二节是有限群理论的一些结论；第三节是伽罗瓦扩张.

关键词：

柯西-黎曼方程，保角映射，代数基本定理，置换群，伽罗瓦扩张

Abstract

Thisthesisexplainsthemethodofthefundamentalofalgebra,complexanalysistoprovethatthemethodsandgrouptheory,dividedintotwomajorcontents.Thecontentoneintroducescomplexanalysisandcomplexfunctionofthebasictheoreticalknowledge,tolaythefoundationbehindthecomplexanalysisofthefundamentaltheoremofalgebratoprove.Thecontentoneisdividedinthree:

Sectiononeisthecomplexfunctionsandanalysis;SectiontwoistheCauchy-Riemannequations;Sectionthreeistheconformalmappingandanalyticnature.ThecontentsoftwomainuseoftheknowledgeoftheGaloistheorytoprovethefundamentaltheoremofalgebra,fundamentaltheoremofalgebraissimpleandeasytounderstand.Thecontenttwoismainlydividedintothree:

SectiononeisanoverviewoftheGaloistheory;SectiontwoissomeoftheconclusionoftheGaloisexpansion.

Keywords:

Cauchy-Riemannequations,Conformalmapping,FundamentalTheoryofAlgebra,Permutationgroup,Galoisexpansion

目录

摘要 1

Abstract 2

目录 3

1复分析和复函数 4

1.1复函数和分析性 4

1.2柯西-黎曼方程 6

1.3保角映射和解析性 10

2伽罗瓦定理 12

2.1伽罗瓦理论概述 12

2.2有限群理论的一些结论 12

2.3伽罗瓦扩张 15

参考文献 17

致谢 18

1复分析和复函数

1.1复函数和分析性

本章的最后部分给出代数基本定理的证明仅运用了两个变量的实值函数微积分.然而，证明表明了一个更为普遍的结论，叫做刘维尔定理.从这个结论出发，代数基本定理将是一个很简单的结论.为了解释这种方法，我们必须先介绍复分析，复变函数的基本概念.

复函数w=f（z），函数f:

CC.w，zC.那么为复变函数的复平面的几何解释，一个复函数是从一个复平面的映射（或变换）到复平面上.若z=x+iy=（x，y），w=u+iv，u=u（x，y），v=v（x，y）是二元实值函数.所以任何复函数是由两个实质函数构成.w=f（z）=u（z）+v（z）函数u（z）称为f（z）的实部，记为Ref（z）;v（z）称为f（z）的虚部，记为Imf（z）.f（z）的分析问题很多情况都回归到分析u（x，y）与v（x，y）.

例1.1.1考虑复函数，决定于它的实部和虚部.

假设z=x+iy，那么.因此Ref（z）=，Imf（z）=2xy.

若且的一个开领域记为（）（）=.一个区域是任意复数集合.区域U是开的当且仅当对任意的.区域C是闭的当且仅当它的补集是开集.等价的说，C是闭集当且仅当所有的收敛序列都有.区域U是有界的当.复数域上一个闭集且有界的区域称为紧凑区域.从高深的微积分中可知，一个实值函数在一个紧凑区域D上是有界的，且能够取到最大值和最小值.一个开区域U是连通的当U中任意的两点能够被有限序列的连结，且这些线段在包含在U内.

现在我们在本质上以单变量实值函数同样的方式定义复函数的极限.

定义1.1.1都有.其中表示复平面上的距离.

所有的对初等微积分，求和，常数适用的极限定理都适用于复函数.实际上，计算极限通常转化为求函数的实部和虚部.

引理1.1.1若f（x）=u（z）+iv（z）则.

例1.1.2，求.

由引理1.1.1.运用极限，我们可以研究连续和可微.

定义1.1.2w=f（z）在z=是连续的当.f（z）在区域U上是连续的，当f（z）在U上的所有点是连续的.所有关于单变量的实值函数连续性的结论都适用于复函数.更进一步的说，连续性的问题归结于函数的实部和虚部的连续性.

引理1.1.2f（z）=u（z）+iv（z）在是连续的当且仅当实函数u（x，y），v（x，y）在点（是连续的.

复多项式是通过代数运算建立的，可以看做是f:

.且复多项式在C上是处处连续.因为||当|z|;|f（z）|当|z|.对任意的非常数多项式f（z），|f（z）|是连续的实函数且在任意紧凑的区域上有界.现在开始，我们将复多项式看成一个在复数域C上的多项式函数.

引理1.1.3f（z），则有:

（1）f（z）在C上是连续的.

（2）当f（z）是非常值函数.

（3）|f（z）|在C中所有紧凑型区域上是有界的.

现在我们以定义实函数导数的方式来定义复函数的导数.

定义1.1.3若f（z）是复函数，那么在的导数是

，当极限存在.若存在，则f（z）在是可微的.若f（z）在区域上的每一个点都可微，则f（z）在区域上是可微的.

引理1.1.4若，则在每一个存在，且.若f（z）且degf（z），则且deg=degf（z）-1.若f（z）=是常值函数，则=0.

若y=f（x）是单变量实函数，则是表示在点的切线的斜率.复导数也能够有几何解释，我们将在1.3进行说明.首先，我们介绍大致思路.

定义1.1.4w=f（z）在点是解析的当f（z）在区域上是可微的.f（z）在区域U上是解析的当f（z）在U中每一个点都是解析的.若f（z）在C上是解析的，则称f（z）是整函数.

从引理1.1.4可知，每一个复多项式都是整函数.

我们以一个函数为例，此函数在点复导数存在，但在处不解析.为了理解这个例子，我们需要先介绍下面的结论.

若，则定义，.

引理1.1.5若w=f（z）是实值函数，则当存在，有.

证明:

从定义知，因为f（z）是实值函数，必须有相同的实部，所以f（z）=u（z）所以因为存在，所以极限是独立的.沿着一条平行线接近实轴，综上所述可知:

.类似的，沿着一条平行线接近虚轴，可得到.

例1.1.3若f（z）=，存在.但是f（z）是在z=0处不解析.

若，f（z）=，.因此，存在，且=0.但是f（z）在z=0处不解析.若z=x+iy，.若存在，则由引理4.1.5可知:

这导数存在仅仅在y=x这条线上，所以不存在满足f（z）在上可微.所以f（z）=在z=0处不解析.在下一部分，我们将给出f（z）=仅在z=0处是连续的.

1.2柯西-黎曼方程

若f（z）=u（z）+iv（z）在处可微，则

由于极限存在，让以平行于实轴方向靠近0，这种情况下，

=+

=

让以平行于虚轴方向去靠近0，在这种情况下，

=+

=

因为导数存在，这两个表达式必须相等，因此在点我们有:

，

这些关系我们称为柯西-黎曼方程.

定义1.2.1u（x，y）v（x，y）满足柯西-黎曼方程如果

，.

定理1.2.1若f（z）=u（z）+iv（z）在可微，则，，，在处存在且满足柯西-黎曼方程，即=

更一般地，若f（z）在区域U上是解析的，则它的实部和虚部在U上必须满足柯西-黎曼方程.若f（z）=u（z）+iv（z），且u（z），v（z）在Ｕ上连续且满足柯西-黎曼方程，则f（z）在U上是解析的.下面将给出证明.

，我们必须证明存在.考虑:

=

因为u（x，y），v（x，y）在（）偏导连续，有和.所以，运用柯西-黎曼方程有:

现在则上式成为其中有.

，.因此，故f（z）在 处可微.

定理1.2.2

（1）若f（z）=u（z）+iv（z），若在处存在，则u（x，y）v（x，y）在必须满足柯西-黎曼方程.

（2）若f（z）=u（z）+iv（z），若u（x，y）v（x，y）在连续，且满足柯西-黎曼方程，则存在，即f（z）在处可微.

推论1.2.1假若f（z）=u（z）+iv（z），u（x，y）v（x，y）在UC上连续，则f（z）在U上是解析的当且仅当u，v满足柯西-黎曼方程.

例1.2.1，则f（z）在C处是解析的且有.u（x，y）=v（x，y）=是连续可微的双变量实函数.因此，为了表明f（z）是解析的，我们必须验证它们满足柯西-黎曼方程.

，，，.

故对所有C中的点均满足此等式.所以f（z）在C上是解析的，即

以上例子中的函数是复指数函数.若z=x+iy，则所以=.由欧拉方程和以上的例子可知:

若f（z）=，则满足指数函数的结论.

例1.2.2运用柯西-黎曼方程证明f（z）=在C上解析且.

若z=x+iy，则f（z）=+i（2xy）.u（x，y）=，v（x，y）=2xy计算偏导数得:

很显然，u（x，y）v（x，y）在C上是连续的且满足柯西-黎曼方程，所以.

推论1.2.2

（1）唯一的实值解析函数是常值函数.

（2）若=0在区域U上均满足，则f（z）是常值函数.

证明:

（1）f（z）是实值函数，则f（z）=u（z）且v（z）=0.若f（z）是解析的，则满足柯西-黎曼方程，所以.因此，，故f（z）是常值函数.

（2）若，则.意味着.因此u（x，y），v（x，y）是常值函数.

例1.1.2中在z=0处可导但不解析.从这个结果可以看出它不能在任一处解析，因为它是实值函数且不是常值函数.

定义1.2.2实值函数u（x，y）是调和函数当存在二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方程.

引理1.2.1若f（z）=u