代数变形中常用的技巧.doc

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代数变形中常用的技巧

数学与应用数学专业

摘要：

代数变形是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶段，它属于技能性的知识，当然存在着技巧和方法，也就需要人们在学习代数的实践中反复操练才能把握，乃至灵活应用。

代数变形技巧是学习掌握代数的重要基础，这种变形能力的强弱直接关系到解题能力的发展。

本文就初等代数变形中的解题技巧，作一些论述。

关键词代数变形技巧

两个代数式A、B，如果对于其中所含字母的一切允许值它们对应的值都相等，则称这两个代数式恒等，记作A≡B或A=B，把一个代数式换成另一个和它恒等的代数式，叫做代数式的恒等变形。

恒等变形是代数的最基本知识，是学好中学数学的基础，恒等变形的理论依据是运算律和运算法则，所以，恒等变形必须遵循各运算法则，并按各运算法则在其定义域内进行变形。

代数恒等变形技巧是学习与掌握代数的重要基础,这种变形能力的强弱直接关系到解题能力的发展。

代数恒等变形实质上是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶段，它属于技能性的知识，当然存在着技巧和方法，也就需要人们在学习代数的实践中反复操练才能把握，乃至灵活与综合应用。

中学生在平时的学习中不善于积累和总结变形经验，在稍复杂的问题面前常因变形方向不清，而导致常规的化归、转化工作难以实施，甚至失败，其后果直接影响着应试的能力及效率。

代数的恒等变形包括的内容较多，本文着重阐述代数运算和解题中常见的变形技巧及应用。

一、整式变形

整式变形包括整式的加减、乘除、因式分解等知识。

这些知识都是代数中的最基础的知识。

有关整式的运算与化简求值，常用到整式的变形。

例1：

化简（y+z-2x）2+（z+x-2y）2+（x+y-2z）2-3（y-z）2-3（z-x）2-3（x-y）2

分析：

此题若按常规方法先去括号，再合并类项来进行恒等变形的话，计算会繁杂。

而通过观察发现此题是一个轮换对称多项式，就其特点而言，若用换元法会使变形简单，从而也说明了换元法是变形的一种重要方法。

解：

设y-z=a,z-x=b,x-y=c,则a+b+c=0，y+z-2x=b-c,x+z-2y=c-a,x+y-2z=a-b。

于是原式=（b-c）2+（c-a）2+（a-b）2-3a2-3b2-3c2

=b2-2ac+c2+c2-2ac+a2+a2-2ab+b2-3a2-3b2-3c2

=-a2-b2-c2-2ac-2ab-2bc

=-（a+b+c）2

=0

例2：

分解因式

①（1-x2）（1-y2）-4xy

②x4+y4+x2y2

分析：

本题的两个小题，若按通则变形，则困难重重，不知从何下手，但从其含平方的项来研究，考虑应用配方法会使变形迎刃而解。

①题先将括号展开，并把-4xy拆成-2xy和-2xy，再分组就可以配成完全平方式。

②题用添项、减项法加上x2y2再减去x2y2，即可配方，然后再进行变形分解。

解：

①原式=1-y2-x2+x2y2-2xy-2xy

=（1-2xy+x2y2）-（x2+2xy+y2）

=（1-xy）2-（x+y）2

=（1-xy+x+y）（1-xy-x-y）

②原式=x4+y4+x2y2+x2y2-x2y2

=（x2+y2）2-x2y2

=（x2+y2+xy）（x2+y2-xy）

以上两例充分说明了，配方法、因式分解法、换元法都是恒等变形的方法与基础，它们都是学习数学的有力工具，是解决数学问题的武器。

因此，这些变形技巧必须熟练掌握。

二、分式变形

众所周知，对学生而言，分式的变形较为复杂，也很讲究技巧。

通分化简是常规方法，但很多涉及分式的问题仅此而已是不够的，还需按既定的目标逆向变通，这时将分式分解成部分分式、分离常数、分子变位等便成了特殊的技巧，灵活应用这些变形技巧便会使问题迎刃而解。

有关分式的计算、化简、求值、证明，常常采用分式的变形技巧。

（一）将已知条件变形，再直接代入

例：

已知=a,=b,=c,且x+y+z≠0,试求++的值。

分析：

此题若按常规方法，把已知条件直接代入所求进行计算，计算会很复杂，也不容易求得正确答案。

通过观察已知和未知的式子，考虑将已知条件进行变形，再整改代入未知中去，计算起来比较简单。

因此，对已知条件进行变形也是非常必要的。

解：

由已知得1+a=1+=

所以=，同理=，=

所以原式=++==1

（二）应用比例的基本性质进行恒等变形

例：

已知==，求的值。

解：

由已知条件知a≠0，b≠0，把已知条件中的等式变形并利用等比性质消去b，得

=====1

∴a=3b

∴原式===

（三）利用倒数知识进行恒等变形

例：

已知a、b、c为实数，且=，=，=，求的值。

解：

显然a、b、c均不为零，故将三个条件分式两边分别取倒数，得：

=3，=4，=5

再逆用分式加法法则变形得：

+=3，+=4，+=5

三式相加，得++=6，再通分变形得=6，两边取倒数得=，∴原式=

本题多次应用了通分，逆用通分，取倒数等恒等变形，使问题得到了解决，说明这些方法都是代数变形的重要方法，这些技巧应理解掌握。

（四）利用常值代换进行恒等变形

例：

已知abc=1,求++的值。

解：

∵abc=1

∴原式=++

==1

本题的解法很巧，若将所求通分化简，再代入已知或将已知变形再代入所求都不易求出结果。

习惯上是将字母代换成数，而此题是将数代换成字母，反而收效较好。

因此，常值代换也是恒等变形的重要技巧。

（五）利用设比例系数进行恒等变形

例：

已知==，求的值。

解：

设===k（k≠0）,则x=（a-b）k，y=（b-c）k，z=（c-a）k

∴原式=0

此变形是解有关等比问题的重要技巧。

（六）利用添项拆项进行恒等变形

例：

已知abc≠0，a+b+c=0，求a（+）+b（+）+c（+）的值。

解：

由abc≠0，知++=3，故

原式=a（++）+b（++）+c（++）-3

=（a+b+c）（++）-3=-3

（七）利用运算定律进行恒等变形

例：

求值

（+++…+）+（+++…+）+（+++…+）+…+（+）=

解：

原式=+（+）+（++）+…+（++…+++）

=+++…+=（1+2+3+…+59）

=×=885

（八）利用整体代换思想进行变形

例：

已知x2-3x+1=0，求x3+1/x3=3的值。

分析：

此题若用常规方法先求出x的值，再代入x3+1/x3=3中进行计算是很繁的，如果注意到运用立方和公式及整体代换进行变形，问题就很简单了。

解：

由x2-3x+1=0，可知x+=3，故

原式=（x+）[（x+）2-3]=3（32-3）=18

本题还运用了配方，等式两边除以同一个不为零的数的变形技巧，这样做的目的是使已知条件与所求式之间的关系更加明朗化，便于代入，使运算更简便。

（九）利用逆用通分进行恒等变形

例：

化简++…+

分析：

这类问题在通常情况下是整体通分，但本题这样做显然很繁，若在每个分式中逆用通分进行“裂项”的恒等变形，则十分简捷。

解：

原式=-+-+…+-

=-=

（十）利用分离常数的方法进行恒等变形

例：

解方程+=+

分析：

如果按照常规思路整体去分母，显然运算很繁杂，若采用分段化简，分离常数，可化繁为简。

解：

原方程可化为

1++1+=1++1+

即+=+

再进行变形得-=-

∴=

∴=

∴x=8

（十一）利用换元再约简的方法进行恒等变形

约分是分式化简的重要手段之一。

这种变形技巧贯穿整个分式的学习过程中。

例：

化简

解：

设=x，则

原式===

（十二）利用主元代入及消元思想进行恒等变形

例：

若4x-3y-6z=0,x+2y-7z=0,则

等于（）

（A）（B）（C）-15（D）-13

4x-3y=6z

x+2y=7z

解：

以x、y为主元，由已知得

利用消元变形求得x=3z，y=2z

∴原式==－13故选（D）

由以上的论述可知：

分式的变形一般有三种思路，先变形条件，以便运用；先化简待求式，这是为了利用条件；将条件和待求式同时变形，容易看出二者的关系。

也就更容易找到变形技巧，使变形简单明了，更具可操作性。

三、根式变形

有关根式的计算、比较大小、化简、求值等，经常应用到根式的变形技巧，特别是二次根式的运算，它是中学代数中的一个难点，不少题目用常规方法去解比较繁琐，所以解题中要根据题目的特点，巧用一些运算技巧，才能达到事半功倍的效果。

（一）巧用运算性质进行恒等变形

例：

计算（+）2004（-）2004（-）

分析：

逆用运算性质，再用平方差公式

解：

原式=（+）2004（-）2004（-）

=[（+）（-）]2004（-）

=（6-5）2004（-）

=-

（二）巧用因式分解进行恒等变形

例：

计算（++）（+-）

解：

原式=（++）··（+-）

=·[（+）2-8]=·=30

（三）利用分母有理化进行恒等变形

例：

计算

解：

原式

=

=

=

===

（四）巧用平方进行恒等变形

例：

化简

解：

∵（）2=

==2

又∵>0

∴=

（五）利用拆项技巧进行恒等变形

例：

计算

解：

原式=

==

（六）利用换元技巧进行恒等变形

例：

化简

解：

设，，则

原式=

=

===3

（七）利用配方法进行恒等变形

例：

化简

分析：

本题若采用分母有理化，计算会很复杂，若采用将分子配方，再分解因式后，与分母约分的方法会很简单。

解：

原式==

==

（八）利用分子有理化进行恒等变形

例：

不求根式的值，比较与的大小。

解：

==

==

∵>>0

∴<

∴<

以上所述的这些二次根式的变形技巧，在解决二次根式的问题时，有很大的用处，因此，它作为一种代数变形技巧应被很好的掌握。

四、指数变形

有关指数的变形，一般都是利用幂运算法则进行较简便，而对一些比较大小的题目，就更讲究变形的技巧，主要是将底数变了相同，或将指数变了相同。

（一）放缩变形

例：

设a=19,b=（999991）,则a-b是（）

（A）不大于-1的数（B）不小于1的数

（C）绝对值大于0且小于1的数（D）0

解：

∵b=（999991）<（19×8）=192

a=1991=1976·1915

∴a-b>1976（1915-257）>1976（1615-257）=1976（260-257）

=1976·260（8-1）>1

故选（B）

（二）利用开方进行变形

例：

350，440，530的大小关系为（）

（A）350<440<530（B）530<350<440

（C）530<440<350（D）440<530<350

解：

∵=35=243，=44=256，=53=125

∴<<

∴530<350<440

故选（B）

（三）利用乘方进行变形

例：

设m=（），n=（），p=（），则m、n、p的大小关系是（）

（A）m

解：

∵m20=（）=p20=（）=

∴m20>p20∴m>p

又∵p12=（）=n12=（）=

∴p12>n12

∴p>n

∴m>p>n

（四）利用求商进行变形

例：

已知a=2255，b=3344，c=5533，d=6622，则a、b、c、d的大小关系是（）

（A）a>b>c>d（B）a>b>d>