电磁场点电荷电场线电势MATLAB仿真中南大学Word格式文档下载.docx
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（式2）
对于点电荷，根据场论基础中的定义，有势场E的势函数为
（式3）
而（式4）
在Matlab中，由以上公式算出各点的电势U，电场强度E后，可以用Matlab自带的库函数绘出相应电荷的电场分布情况.
三.实验内容：
1.单个点电荷
点电荷的平面电力线和等势线
真空中点电荷的场强大小是E=kq/r^2,其中k为静电力恒量,q为电量,r为点电荷到场点P（x,y）的距离.电场呈球对称分布,取电量q>
0,电力线是以电荷为起点的射线簇.以无穷远处为零势点,点电荷的电势为U=kq/r,当U取常数时,此式就是等势面方程.等势面是以电荷为中心以r为半径的球面.
●平面电力线的画法
在平面上,电力线是等角分布的射线簇,用MATLAB画射线簇很简单.取射线的半径为（都取国际制单位）r0=0.12,不同的角度用向量表示（单位为弧度）th=linspace（0,2*pi,13）.射线簇的终点的直角坐标为:
[x,y]=pol2cart（th,r0）.插入x的起始坐标x=[x;
0.1*x].同样插入y的起始坐标,y=[y;
0.1*y],x和y都是二维数组,每一列是一条射线的起始和终止坐标.用二维画线命令plot（x,y）就画出所有电力线.
●平面等势线的画法
在过电荷的截面上,等势线就是以电荷为中心的圆簇,用MATLAB画等势线更加简单.静电力常量为k=9e9,电量可取为q=1e-9;
最大的等势线的半径应该比射线的半径小一点?
r0=0.1.其电势为u0=k8q/r0.如果从外到里取7条等势线,最里面的等势线的电势是最外面的3倍,那么各条线的电势用向量表示为:
u=linspace（1,3,7）*u0.从-r0到r0取偶数个点,例如100个点,使最中心点的坐标绕过0,各点的坐标可用向量表示:
x=linspace（-r0,r0,100）,在直角坐标系中可形成网格坐标:
[X,Y]=meshgrid（x）.各点到原点的距离为:
r=sqrt（X.^2+Y.^2）,在乘方时,乘方号前面要加点,表示对变量中的元素进行乘方计算.各点的电势为U=k8q./r,在进行除法运算时,除号前面也要加点,同样表示对变量中的元素进行除法运算.用等高线命令即可画出等势线contour（X,Y,U,u）,在画等势线后一般会把电力线擦除,在画等势线之前插入如下命令holdon就行了.平面电力线和等势线如图1,其中插入了标题等等.越靠近点电荷的中心,电势越高,电场强度越大,电力线和等势线也越密.
图1
●点电荷的立体电力线和等势面
立体电力线的画法
先形成三维单位球面坐标,绕z轴一周有8条电力线[X,Y,Z]=sphere（8）,每维都是9×
9的网格矩阵,将X化为行向量,就形成各条电力线的终点x坐标x=r0=X（:
）′,其他两个坐标也可同样形成终点坐标y=r0+Y（:
）'
z=r0+Z（:
.对x坐标插入原点x=[x（zeros（size（x））],其他两个坐标如下形成y=[y（zeros（size（y））],z=[z（zeros（size（z））],用三维画线命令plot3（x,y,z）,就画出所有电力线.
●立体等势面的画法
画5条等势面时,各面的电势为u=linspace（1,3,5）+u0,各等势面的半径为r=k6q./u,其中第一个球面的半径为rr=r
（1）.三维单位球面的坐标可由[X,Y,Z]=sphere命令形成,每维都是21×
21的网格矩阵,由于外球会包围内球,因此把球面的四分之一设为非数,表示割去该部分Z（X<
0&
Y<
0）=nan.用曲面命令可画出第一个曲面surf（rr6X,rr6Y,rr6Z）,只要取不同的半径就能画出不同的等势面.为了使等势面好看,可设置一个颜色浓淡连续变化的命令shadinginterp.点电荷的立体电力线和等势面如图2,旋转图片可从不同的角度观察.
图2
1一对点电荷
仍然用MATLAB的等高线命令画等势线.对于正负两个点电荷,电量不妨分别取q1=2e-9,q2=-1e-9,正电荷在x轴正方,负电荷在x轴负方,它们到原点的距离定为a=0.02;
假设平面范围为xx0=0.05,yy0=0.04,两个坐标向量分别x=linspace（-xx0,xx0,20）和y=linspace（-yy0,yy0,50）.设置平面网格坐标为[X,Y]=meshgrid（x）,各点到两电荷的距离分别为r1=sqrt（（X-a）.^2+Y.^2）和r2=sqrt（（X+a）.^2+Y.^2）.各点的电势为U=k6q1./r1+k6q2./r2,取最高电势为u0=50,最低电势取其负值.在两者之间取11个电势向量u=linspace（u0,-u0,11）,等高线命令contour（X,Y,U,u,'
k-'
）用黑实线,画出等势线如图4所示,其中,左边从里到外的第6条包围负电荷的等势线为零势线.
利用MATLAB的箭头命令,可用各点的电场强度方向代替电力线.根据梯度可求各点的场强的两个分量[Ex,Ey]=gradient（-U）,合场强为E=sqrt（Ex.^2+Ey.^2）.为了使箭头等长,将场强Ex=Ex./E,Ey=Ey./E归一化,用箭头命令quiver（X,Y,Ex,Ey）可标出各网点的电场强度的方向,异号点电荷对的场点方向如图3所示.
为了画出连续的电力线,先确定电力线的起点.电荷的半径可取为r0=0.002,如图4所示,假设第一条电力线的起始角为30度,其弧度为q=30+pi/180,起始点到第一个点电荷的坐标为x1=r0+cos（q）,y=r0+sin（q）,到第二个点电荷的坐标只有横坐标x2=2+a+x1不同.用前面的方法可求出该点到两个电荷之间的距离r1和r2,从而计算场强的两个分量以及总场强Ex=q1+x1/r1^3+q2+x2/r2^3,Ey=q1+y/r1^3+q2+y/r2^3,E=sqrt（Ex6Ex+Ey6Ey）.下面只要用到场强分量与总场强的比值,在计算场强分量时没有乘以静电力常量k.由于电力线的方向与场强的切线方向相同,取线段为s=0.0001,由此可求出终点的坐标为x1=x1+s#Ex/E,y=y+s+Ey/E,从而计算x2.以终点为新的起点就能计算其他终点.当终点出界时或者到达另一点电荷时,这个终点可作为最后终点.这种计算电力线的方法称为切线法.
图3
图4
图5
部分M-file;
1.点电荷的平面电力线和等势线
%点电荷的平面电力线和等势线
%平面电力线的画法
q=1e-9;
r0=0.12;
th=linspace（0,2*pi,13）;
[x,y]=pol2cart（th,r0）;
x=[x;
0.1*x];
y=[y;
0.1*y];
plot（x,y）;
gridon
holdon
plot（0,0,'
o'
'
MarkerSize'
12）
xlabel（'
x'
fontsize'
16）
ylabel（'
y'
title（'
单个点电荷的电场线与等势线'
20）
%平面等势线的画法
k=9e9;
r0=0.1;
u0=k*q/r0;
u=linspace（1,3,7）*u0;
x=linspace（-r0,r0,100）;
[X,Y]=meshgrid（x）;
r=sqrt（X.^2+Y.^2）;
U=k*q./r;
holdon;
contour（X,Y,U,u）
2.一对电荷平面等势线和电场线图
%一对电荷平面等势线和电场线图
clearall;
clf;
q1=2e-9;
q2=-1e-9;
a=0.02;
%到原点的距离
xx0=0.05;
yy0=0.04;
x=linspace（-xx0,xx0,20）;
y=linspace（-yy0,yy0,50）;
r11=sqrt（（xx0/1.7-a）^2+（yy0/1.7）^2）;
r22=sqrt（（xx0/1.7+a）^2+（yy0/1.7）^2）;
r1=sqrt（（X-a）.^2+Y.^2）;
%各点到点电荷的距离
r2=sqrt（（X+a）.^2+Y.^2）;
U=k*q1./r1+k*q2./r2;
%各点的电势
u0=k*q1/r11+k*q2/r22;
u=linspace（u0,-u0,11）;
%取21个等势向量
contour（X,Y,U,u,'
k-'
）;
plot（a,0,'
12）;
plot（-a,0,'
16）;
[Ex,Ey]=gradient（-U）;
E=sqrt（Ex.^2+Ey.^2）;
Ex=Ex./E;
Ey=Ey./E;
quiver（X,Y,Ex,Ey）;
一对不相等的电荷的等势线图和电场线图'
clear;
3.立体电力线的画法
%立体电力线的画法
[X,Y,Z]=sphere（8）;
r0=0.18;
r1=0.2;
x=r1*X（:
;
y=r1*Y（:
z=r1*Z（:
zeros（size（x））];
zeros（size（y））];
z=[z;
zeros（size（z））];
plot3（x,y,z）
%立体等势线之画法
u=linspace（1,3,5）*u0;
%画5条等势面时,各面的电势为u=linspace（1,3,5）+u0,
r=k*q./u;
%各等势面的半径为r=k6q./u
[X,Y,Z]=sphere;
Z（X<
0）=nan;
surf（r
（1）*X,r
（1）*Y,r
（1）*Z）;
%第一到第五个球面
surf（r
（2）*X,r
（2）*Y,r
（2）*Z）;
surf（r（3）*X,r（3）*Y,r（3）*Z）;
surf（r（4）*X,r（4）*Y,r（4）*Z）;
surf（r（5）*X,r（5）*Y,r（5）*Z）;
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