高考数学考点解读命题热点突破专题10 数列等差数列等比数列 理Word格式.docx
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（1）设bn＝，求证：
数列{bn}是等差数列；
（2）求数列的前n项和Sn.
【解析】解：
（1）证明：
因为an＋1an＋an＋1－an＝0（n∈N*），
所以bn＋1－bn＝－＝－＝1，
又b1＝＝1，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列.
（2）由
（1）知bn＝n，所以an＝.
令cn＝，则cn＝＝－，Sn＝c1＋c2＋…＋cn＝＋＋…＋＝1－＝.
【感悟提升】等差数列的判定与证明有以下四种方法：
①定义法，即an－an－1＝d（d为常数，n∈N*，n≥2）⇔{an}为等差数列；
②等差中项法，即2an＋1＝an＋an＋2（n∈N*）⇔{an}为等差数列；
③通项公式法，即an＝an＋b（a，b是常数，n∈N*）⇔{an}为等差数列；
④前n项和公式法，即Sn＝an2＋bn（a，b是常数，n∈N*）⇔{an}为等差数列．等比数列的判定与证明有以下三种方法：
①定义法，即＝q（q为常数且q≠0，n∈N*，n≥2）⇔{an}为等比数列；
②等比中项法，即a＝anan＋2（an≠0，n∈N*）⇔{an}为等比数列；
③通项公式法，即an＝a1qn－1（其中a1，q为非零常数，n∈N*）⇔{an}为等比数列．
【变式探究】若{an}是各项均不为零的等差数列，公差为d，Sn为其前n项和，且满足a＝S2n－1，n∈N*.数列{bn}满足bn＝，Tn为数列{bn}的前n项和．
（1）求an和Tn.
（2）是否存在正整数m，n（1<
m<
n），使得T1，Tm，Tn成等比数列？
若存在，求出所有m，n的值；
若不存在，请说明理由．
（2）假设存在正整数m，n（1<
n），使得T1，Tm，Tn成等比数列，则T1·
Tn＝T.
∵T1·
Tn＝＝<
，
∴T＝＝<
∴2m2－4m－1＜0，∴1－＜m＜1＋，又∵m∈N且m＞1，
∴m＝2，则T＝.令T1·
Tn＝＝，得n＝12，
∴当且仅当m＝2，n＝12时，T1，Tm，Tn成等比数列.
【命题热点突破三】 数列中an与Sn的关系问题
例3、【2016高考江苏卷】已知是等差数列，是其前项和.若，则的值是▲.
【答案】
【解析】由得，因此
【感悟提升】数列{an}中，an与Sn的关系为：
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1（*），当n＝1时，a1＝S1.若a1＝S1满足（*），则an＝Sn－Sn－1（n∈N*）；
若a1＝S1不满足（*），则an＝
【变式探究】已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足4（n＋1）·
（Sn＋1）＝（n＋2）2an，则数列{an}的通项公式为（ ）
A．（n＋1）3B．（2n＋1）2
C．8n2D．（2n＋1）2－1
【答案】A
【解析】当n＝1时，4×
（1＋1）×
（a1＋1）＝（1＋2）2a1，解得a1＝8.当n≥2时，4（Sn＋1）＝，4（Sn－1＋1）＝，两式相减，得4an＝－，即＝，所以an＝·
·
…·
a1＝×
×
…×
8＝（n＋1）3.检验知n＝1也符合该式，所以an＝（n＋1）3.
【命题热点突破四】等差数列与等比数列的综合
例4、已知数列{an}满足an＋2＝qan（q为实数，且q≠1），n∈N*，a1＝1，a2＝2，且a2＋a3，a3＋a4，a4＋a5成等差数列．
（1）求q的值和{an}的通项公式；
（2）设bn＝，n∈N*，求数列{bn}的前n项和．
（2）由
（1）得bn＝＝.
设{bn}的前n项和为Sn，则
Sn＝1×
＋2×
＋3×
＋…＋（n－1）×
＋n×
上述两式相减，得
Sn＝1＋＋＋…＋－＝－＝2－－，
整理得，Sn＝4－.
所以数列{bn}的前n项和为4－，n∈N*.
【感悟提升】在等差数列、等比数列的综合问题中，通过列方程（组）求基本量是基本而重要的方法．在数列的最值问题中，如果使用函数的方法，要充分考虑数列中的自变量是正整数．
【变式探究】已知等比数列的首项a1＝2，公比q>
1，且an，an＋1，an＋2成等差数列（n∈N*）.
（1）求数列的通项公式；
（2）记bn＝nan，数列的前n项和为Sn，若（n－1）2≤m（Sn－n－1）对于n≥2，n∈N*恒成立，求实数m的取值范围.
（1）由an，an＋1，an＋2成等差数列，可得an＋an＋2＝an＋1.
又是等比数列，所以an＋q2an＝qan，又因为an≠0，所以2q2－5q＋2＝0，
因为q>
1，所以q＝2.
又a1＝2，所以数列的通项公式为an＝2n.
（2）因为bn＝nan＝n·
2n，所以Sn＝1×
2＋2×
22＋3×
23＋…＋n×
2n，
2Sn＝1×
22＋2×
23＋3×
24＋…＋（n－1）·
2n＋n·
2n＋1，
所以Sn＝－（2＋22＋23＋…＋2n－n·
2n＋1）＝－（－n·
2n＋1）＝（n－1）·
2n＋1＋2.
因为（n－1）2≤m（Sn－n－1）对于n≥2，n∈N*恒成立，所以
（n－1）2≤m[（n－1）·
2n＋1＋2－n－1]恒成立，即（n－1）2≤m（n－1）（2n＋1－1）恒成立，
于是问题转化为m≥对于n≥2，n∈N*恒成立.
令f（n）＝，n≥2，则f（n＋1）－f（n）＝－＝<
0，
所以当n≥2，n∈N*时，f（n＋1）<
f（n），即f（n）单调递减，
则f（n）≤f
（2）＝，
所以m≥.
故实数m的取值范围为.
【高考真题解读】
1.【2016高考新课标1卷】已知等差数列前9项的和为27,,则（）
（A）100（B）99（C）98（D）97
【答案】C
【解析】由已知,所以故选C.
2【2016高考浙江理数】如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且，，
（）.若（）
A．是等差数列B．是等差数列
C．是等差数列D．是等差数列
【答案】A
3.【2016年高考北京理数】已知为等差数列，为其前项和，若，，则_______..
4.【2016高考江苏卷】已知是等差数列，是其前项和.若，则的值是▲.
5、【2016高考新课标1卷】设等比数列满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为．
【答案】64
【解析】设等比数列的公比为，由得，解得.所以，于是当或时，取得最大值.
6.【2016高考江苏卷】
（本小题满分16分）
记.对数列和的子集T，若,定义;
若，定义.例如：
时，.现设是公比为3的等比数列，且当时，.
（2）对任意正整数，若，求证：
；
（3）设,求证：
.
（1）
（2）详见解析（3）详见解析
【解析】
（1）由已知得.
于是当时，.
又，故，即.
所以数列的通项公式为.
（2）因为，，
所以.
因此，.
（3）下面分三种情况证明.
①若是的子集，则.
②若是的子集，则.
③若不是的子集，且不是的子集.
令，则，，.
于是，，进而由，得.
设是中的最大数，为中的最大数，则.
由
（2）知，，于是，所以，即.
又，故，
从而，
故，所以，
即.
综合①②③得，.
1.【2015高考重庆，理2】在等差数列中，若=4，=2，则= （ ）
A、-1B、0C、1D、6
【答案】B
【解析】由等差数列的性质得，选B.
2.【2015高考福建，理8】若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于（）
A．6B．7C．8D．9
【答案】D
【解析】由韦达定理得，，则，当适当排序后成等比数列时，必为等比中项，故，．当适当排序后成等差数列时，必不是等差中项，当是等差中项时，，解得，；
当是等差中项时，，解得，，综上所述，，所以，选D．
3.【2015高考北京，理6】设是等差数列.下列结论中正确的是（）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
4.【2015高考新课标2，理16】设是数列的前n项和，且，，则________．
【解析】由已知得，两边同时除以，得，故数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以．
5.【2015高考广东，理10】在等差数列中，若，则=.
【答案】10．
【解析】因为是等差数列，所以，即，所以，故应填入．
6.【2015高考陕西，理13】中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为．
【答案】5
【解析】设数列的首项为，则，所以，故该数列的首项为，所以答案应填：
5．
7.【2015高考浙江，理3】已知是等差数列，公差不为零，前项和是，若，，成等比数列，则（）
A.B.C.D.
【答案】B.
【解析】∵等差数列，，，成等比数列，∴，
∴，∴，，故选B.
8.【2015高考安徽，理14】已知数列是递增的等比数列，，则数列的前项和等于.
9.【2014高考北京版理第5题】设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】对等比数列，若，则当时数列是递减数列；
若数列是递增数列，则满足且，故当“”是”数列为递增数列的既不充分也不必要条件.故选C.
10.【2014高考福建卷第3题】等差数列的前项和，若，则（）
【解析】假设公差为,依题意可得.所以.故选C.
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