积分上限函数性质及其应用数学毕业论文Word文档格式.docx

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设函数与在区间I上都有定义，若，XI则称为在区间上的一个原函数，函数在区间上的全体原函称为在上的不定积分，。

为方便可写：

于是又有

原函数存在定理是微积分学中基本定理。

牛顿–莱布尼茨公式：

若函数在上连续，且存在原函数，即，，则在上可积，且，这称为牛顿–莱布尼茨公式，

而在积分学中，为证明原函数存在定理及牛顿–莱布尼滋公式，引进了积分上限函数。

本文讨论此函数的相关性质，比如导数存在性，连续性，有界性，周期性等，除此之外本文讨论了一元积分上限函数在微分中值定理中的应用，在证明不等式中的应用，求极限中的应用以及相关问题，更进一步的讨论了二元积分上限函数的定义，性质和应用，而且有关它的问题。

1积分上限函数

定义：

设函数在区间上可积，则对于每一个取定，在上也可积，于是由定义了一个以积分上限为自变量的函数，这称为函数的积分上限函数（简称上限函数），也可以称为变限积分函数。

积分上限函数有明显的几何意义：

设有，则积分上限函数是区间上的上的区边梯形的面积，如图

（1）的阴影部分。

2上限积分函数的性质

（1）有界性

若在上可积，则积分上限函数在上有界。

证明：

因为，在上可积，则在上有界，即，使得，有

即证在上有界。

（2）单调性

若在上可积，且，则积分上限函数在上单调递增（递减）。

（3）连续性

如果函数在上是可积，则积分上限函数在区间上连续。

又由已知条件，在上有界，即，有，

，

，即，当时，即，在上连续

由在上的任意性，在上连续。

（4）奇偶性

设函数是（-A,A）上的连续函数，则有

1:

若是奇函数，则是偶函数。

2:

若是偶函数，则当时奇函数。

（5）可导性

如果函数在区间上连续，则积分上限所确定的函数

在区间上存在导数，并且，或者说：

积分上限函数所确定的函数是被积函数的一个原函数。

设取，使，则有：

，已知函数在闭区间连续，则由积分中值定理，至少存在一点，使

取

则或

又由函数在的连续性，有

即，

由此可见，尽管定积分与不定积分（原函数）的概念是完全不同的，但是二者之间存在着密切的关系。

所以在区间上的连续函数存在原函数，而积分上限函数

就是的一个原函数。

对上述导数存在定理，我们有如下推广：

（6）性质5的推广

如果函数在区间上连续

1:

当上限是可微函数时，有下面求道公式

当上限与下线都是的可微函数时，则有如下求导公式

1,取，使

由已知函数是可微函数，

故

又因为在连续，由积分中值定理则

是可微的，因此是连续，

取便所以

由已知，和都是可微函数

所以

又因为上连续，由积分中值定理

同理得

所以与可微，且它们是连续函数。

（7）周期性

周期为的可积函数的积分，当时以为周期的函数

为的可积函数

令

则

当时，成立，既当

时，函数为以为周期的的周期函数。

（8）进一步下面我们有更一般性的性质定理

若是周期为的连续函数，则

是周期为的函数，其中为任意常数。

（1）

又因为未周期为的连续函数，所以有

（2）

把

（2）代人

（1）得

故是以为周期的函数

该定理告诉我们当是具有周期为的连续函数，则

可以表示为一次函数与周期为的函数之和。

3积分上限函数的应用

3.1积分上限函数在积分中值定理中的应用

引理：

（积分上限函数的基本定理）

若在上连续，则在上可导。

定理3.1.1（积分中值定理）

若在上连续,则在内至少存在一点使

设积分上限函数在上连续，所以由引理知可导，且在对使用积分中值定理：

在内至少存在一点使，既。

定理3.2（推广的积分中值定理）

若函数与在区间上都连续，且在上不变号，则

上至少存在一点C使：

当时定理成立，现设构造两个积分上限函数：

满足微分中值定理的条件，且

在内一点使

由引理1知：

那么

又

故。

3.2积分上限函数在证明不等式中的应用

定理3.2.3设与为定义在上的两格可积函数，若则.

定理3.2.4若与在上可积，则

若在区间上连续，其中等号当且仅当存在常数，

使得时成立（不同时为零）。

4.有关积分上限函数性质的例题

例1设函数

在处连续，求?

解：

例2若连续且在点可导，

求

由导数定义知道：

例3设并且，证明函数

在内为增函数。

时，分母

在内有定义，

由定理1-7得当

时，

从而在内为增函数。

例4设是上连续奇函数且单调上升，

求证：

是奇函数

故是奇函数。

5.有关一元积分上限函数应用的题

5.1积分上限函数在求极限中的应用

例1

令则是的简短点

是的可去简短点

在上连续

从而

5.2积分上限函数在不等式中的应用

例1已知在上连续，为任意实数

求证:

（1）

证明:

（1）式左端第一项应用Schwarz不等式

（2）

同理（3）

式

（2）+（3）既得式

（1）。

5.3积分上限函数在微分中值定理中的应用

例1设在连续，且单调增加，试证明对任何，恒有

令,则

。

通过这个例子我们可以知道一般涉及某两点的函数值差的题目，可考虑用微分中值定理或微分积分基本公式。

6二元积分上限函数性质和应用

设是定义在矩形区域上的二元函数，当取上某定值时，函数则是定义在上以为自变量的一元函数，倘若这时在上可积，则其积分值是在上取值的函数，记为，就有。

一般地设为定义在区域

上的二元函数，其中在上的连续函数，若对于上的每一

固定的值，作为的函数在闭区间上可积，则其积分值是在上取值的函数，记作时，就有。

6.1二元积分上限函数的性质

定理6.1.1（连续性）

若二元函数在矩形区域上连续，则函数

在上连续。

设，对充分小的，有

由于在有界闭区域上连续，从而一直连续，即对人给的正数，总存在某个正数，对R内任意两点与，只要

就有

（2）

所以由

（1）和

（2）可推得：

当有

这就证得在上连续。

定理6.1.2（可微性）

若函数与其偏导数都在矩形区域

上连续，则

在上可微，

且

对于内任意一点，设，则

由微分学的拉格郎日中值定理及，在有界区域上连续，对任给正数，存在正数，只要当时，就有

其中，因此

这就证得对一切有

定理6.1.3（可积性）

若在矩形区域上连续，则和分别在和上可积，这就是说：

在连续性假设下，同时存在两个求积顺序不同的积分。

例1求：

因为，所以

通过交换积分顺序得到

求解完毕.

总结

本文中主要讨论积分上限函数的性质和应用，在学习积分上限函数时，要注意区分积分上下限变量与积分变量，不要混淆。

对积分上限函数求导是针对积分限变量的，还有利用积分上限函数的性质而求解函数的解，证明不等式题，积分中值定理是很方便的，很容易达到目的的，因此，深刻理解积分上限函数的定义，准确掌握相关性质，是解决各种积分上限函数有关问题的关键，除此之外二元积分上限函数的应用和用处给了我们很大的帮助，在解决多元函数积分学中二元函数是提供我们基础知识。

参考文献：

[1]华东师范大学数学系编。

数学分析（上册）[M]，高等教育出版社（第三版），2001.220～222

[2]华东师范大学数学系编。

数学分析（下册）[M]。

高等教育出版社（第三版），2001.（2009重印）172～174

[3]裴礼文。

数学分析中的典型问题与方法[M]。

高等教育出版社，1993258

[4]王少英，王淑云。

积分上限函数，唐山师范学院学报[J]，（第30卷第5期）2008.9。

20～22页。

[5]高智民。

原函数存在定理在不等式证明题中的应用，高等数学研究[J]，（第6卷第4期）2003.1232～33页。

[6]高鸿。

积分上限函数的主要性质及其应用，湖南商学院学报[J]（双月刊）。

（第9卷第3期）2002.5138～139页。