微积分学中辅助函数的构造.docx

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微积分学中辅助函数的构造

编号：

037

南阳师范学院2012届毕业生

毕业论文（设计）

题目：

微积分学中辅助函数的构造

完成人：

司玉会

班级：

2008-01

学制：

4年

专业：

数学与应用数学

指导教师：

葛玉丽

完成日期：

2012-03-31

摘要

（1）

0引言

（1）

1构造辅助函数的原则

（1）

将未知化为已知

（2）

将复杂化为简单

（2）

利用几何特征（3）

2构造辅助函数的方式探讨（3）

常数变易法（3）

罗尔定理应用举例（3）

构造辅助函数证明积分不等式（4）

原函数法（4）

微分方程法（6）

积分法（6）

函数增量法（7）

参数变易法（7）

3构造辅助函数在微分中值定理证明中的应用分析（8）

辅助函数构造在拉格朗日定理中应用（8）

应用举例（9）

4结束语（10）

参考文献（10）

Abstract（11）

微积分学中辅助函数的构造

作者：

司玉会

指导教师：

葛玉丽

摘要：

构造辅助函数是数学分析中解决问题的重要方式，在解决实际问题中有普遍应用．通过研究微积分学中辅助函数构造法，构造与问题相关的辅助函数，从而得出欲证明的结论．本文介绍了构造辅助函数的概念及其重要性，分析了构造辅助函数的原则，归纳了构造辅助函数的几种方式，并研究了构造辅助函数在微积分学中的重要作用和应用.

关键词：

原函数法；辅助函数；常数变易法；函数增量法

0引言

当某些数学问题利用通常办法按定势思维去考虑而很难奏效时，可按照题设条件和结论特征、性质展开联想，进而构造出解决问题的特殊模式——构造辅助函数．辅助函数构造法是数学分析中一个重要的思想方式，在数学分析中具有普遍的应用．构造辅助函数是把复杂问题转化为已知的容易解决问题的一种方式，在解题时，常表现为不对问题本身求解，而是构造一个与问题有关的辅助问题进行求解[1-2]．

微积分学中辅助函数的构造是在必然条件下利用微积分中值定理求解数学问题的方式．通过查阅现有的大量资料发觉，此刻国内外对微积分学中辅助函数构造法的研究比较多，其中有一部份研究的是辅助函数构造法的思路[3]，但大部份研究的是辅助函数的构造在微积分学解题中的应用[4]．

通过构造辅助函数，能够解决数学分析中众多难题，尤其是在微积分学证明题中应用颇广，且可达到事半功倍的效果．

1构造辅助函数的原则

辅助函数的构造是有必然的规律的.当某些数学问题利用通常的方式按定势思维去考虑很难奏效时，可按照题设条件和结论的特征,性质展开联想，进而构造出解决问题的特殊模式，这就是构造辅助函数解题的一般思路.

将未知化为已知

在一元微积分学中许多定理的证明都是在分析所给命题的条件、结论的基础上构造一个函数将要证的问题转化为可利用的已知结论来完成的.比如,柯西中值定理的证明就是通过对几何图形的分析,构造辅助函数转化为利用已知的罗尔定理加以证明;在牛顿-莱布尼兹公式的证明中也是构造辅助函数利用积分上限函数的性质取得证明的.

将复杂化为简单

一些命题较为复杂,直接构造辅助函数往往较困难,可通过恒等变形,由复杂转化为简单,从中探索辅助函数的构造,以达到解决问题的目的,这种通过巧妙的数学变换,将一般化为特殊,将复杂问题化为简单问题的论证思想,是一元微积分学中的重要而常常利用的数学思维表现.

例1设函数，都在上持续,在内可导,且.证明在开区间内存在一点,使得　　　　．

分析将证明的结论变形为,直接试探哪个函数求导后为,发觉不易找到那个函数.进一步考虑除以一个非零因子，不难发觉所证结论可变形为.因此,找到了辅助函数.对此函数在上应用罗尔定理即得要证的结论.

证明作辅助函数因为，都在上持续，在内可导,且　.

所以在上持续，在内可导，而且，，所以．

有罗尔定理知存在一点，使得即．

所以　　　　　　　．

利用几何特征

利用几何图形直观形象的特点构造辅助函数.在各类版本的“高等数学”和“数学分析”的书中,微分中值定理的证明大多是利用对几何图形的分析,探索辅助函数的构造,然后加以证明的.

2构造辅助函数的方式探讨

常数变易法

常数变易法的思想就是，将于证明题中的某个常量用变量代替而组成辅助函数，对辅助函数进行讨论，使欲证明题取得证明.

罗尔定理应用举例

在微分学等式证明中，咱们通过引入辅助函数来证明，而辅助函数构造是关键，一般情形下能够用常数变易发来构造辅助函数.

例2函数在区间上可微，证明在区间内至少存在一点，使得．

证明记，咱们来证明

因为，将此式中数用变量代替，组成辅助函数显然，

则，在在区间上持续，在区间内可导，且，有罗尔定理知，至少存在一点，使得即　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

．

　　　　　　，

　　　　　　.

由上面这些例子看出,一般说来在微分学中凡联系到区间端点的值与导数中间值的式子都能够用常数变易法加以证明.常数变易法在证明积分恒等式也是有效的.

2.1.2构造辅助函数证明积分不等式

例3设时，,证明

.

证明需证即可.

把常量换作变量，引入函数

所以

当时，由拉格朗日中值定理，所以又因为，所以是单调递增的，有，所以，注意到所以当时，有即

原函数法

在利用微分中值定理求解介值（或零点）问题时,欲证明的结论往往是某个函数的导函数的零点,因此可通过不定积分反求出原函数作为辅助函数.其步骤为:

（1）将欲证结论中的换成

（2）通过恒等变形,将结论化为易积分的形式.

（3）用观察法或凑微分等方式求出原函数,为简便起见,可将积分常数取为零.

（4）移项,使等式一边为零,则等式的另一边即为所需的辅助函数.

例4设在上持续，在内可导，则在内至少存在一点使．

分析要证明，即证至少存在一点，使，用替换得，积分后得辅助函数．

证明作辅助函数

则在上持续，在内可导，且

所以．

按照罗尔定理可知，至少存在一点使，即

　　　　．

例5若，在上可导，且则存在一个使

分析结论中换成有

即对等式两边积分，令得

即可肯定原辅助函数，

证明做辅助函数由题设条件知在上持续，在内可导，，

因此，，则知足罗尔定理的条件：

一个，使得即

所以．

微分方程法

所谓“微分方程法”，是指在碰到诸如“求证:

存在，使得之类的问题时,可先解微分方程得其通解，则辅助函数可构造为．

例6设函数在上持续,在内可导,且,试证至少存在一点，使．

证明将结论中的换成,得一阶线性微分方程,其通解为，即，于是可取辅助函数为则在上持续,在内可导,且而且,由罗尔定理知,存在,使,即有．

积分法

将要证的结论转化为对微分方程两头进行积分来构造辅助函数.

例7设在内可微,证明在的任何两个零点之间必有的一个零点.

分析设为的任何两个零点,要证的是存在一点使得．

由于可微,因此可用罗尔定理来证.其辅助函数构造如下,由得两头求不定积分得,,令,可得,即，,从而对辅助函数在上应用罗尔定理即可.

证明做辅助函数，令为的任意两个零点.由在内可微知在上持续，在内可导且.由罗尔定理知使得即即

函数增量法

Lagrange中值定理又称为有限增量公式,它将函数的增量与函数在一个点上的导数值联系起来,因此在应用中常常利用它来处置与函数增量有关的问题,因此利用函数的增量来构造辅助函数,也是常常利用的方式.

例8设，在上可导，证明，使

分析左边考虑到左端是函数增量的形式,故考虑辅助函数,注意到,对在上利用拉格朗日中值定理

证明做辅助函数由在上可导，则在上可微则，使得即

所以

参数变易法

参数变易法是指把要证明的结论中的某个参数“变易”为变量,

从而构造出辅助函数的方式.

例9设在上单调递增且持续，求证：

证明不等式含有两个参数，将其中的参数“变易”为变量，构造如下辅助函数，

易知，在上可导，且

因为在上单调递增，所以当时，

从而故在上单调递增，即

．

在此归纳总结了辅助函数构造的六种方式和一般规律，一般的辅助函数构造都以用这几种方式来构造，另外还有分析法，尝试法，待定系数法[5]．构造辅助函数没有什么全能的方式，它是一种创造性思维的进程，具有较大的灵活性，运用大体的数学思想，通过认真的观察，深切试探构造辅助函数是解题关键.

3构造辅助函数在微分中值定理证明中的应用分析

罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，积分中值定理是微积分学中的重要内容[6]，这些定理贯穿了微积分学的始终，利用它们证明有关命题[7]，往往需要构造辅助函数，即可以把微积分学中较难的问题转化为易解决的问题，下面以拉格朗日中值定理为例说明辅助函数在解决微积分学问题中的应用．

辅助函数构造在拉格朗日中值定理中的应用

拉格朗日中值定理　若函数知足如下条件：

（1）在闭区间上持续；

（2）在开区间内可导；则在内至少存在一点，使得．

证明　记则作辅助函数则显然有又因为在闭区间上持续，在开区间内可导，所以显然有知足罗尔定理的条件：

（1）在闭区间上持续；

（2）在开区间内可导；

（3）；所以在内至少存在一点，使得，即从而定理得证．

应用举例

例10　对一切，成立不等式．

证明构造辅助函数，则由拉格朗日中值定理可得

，

当时，由可推知，

当时，由可推得．

从而取得所要证明的结论．

例11　设在上持续，在内可导，若不是线性函数，且，求证：

使得．

证明利用原函数法构造辅助函数，则，在内可导，且，因为不是线性函数，所以，使．

若，则在上应用拉格朗日中值定理，，使即.

若，则在上应用拉格朗日中值定理，使即．所以

4结束语

辅助函数的构造在数学分析中一直占有重腹地位，尤其是在微积分学中，构造辅助函数解题取得了普遍的应用[8]．

辅助函数的构造是咱们解决问题的重要工具，对它的研究从没中断过，众多数学工作者对微积分学中辅助函数的构造做了很多研究，也取得了很多学术功效[9]．本文从构造辅助函数的大体概念入手，总结了几种辅助函数的构造方式，对其在微积分学中的应用做了大量的问题举例，同时也表现出了构造辅助函数解决问题对培育学生创新思维能力的重要作用[10]．

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析（上册）[M].北京：

高等教育出版社，2001：

119-127.

[2]陈静等.浅析一元微积分学中的构造辅助函数方式[J].高等数学研究.2006（9）:

16-18.

[3]李君士.两个微分中值定理证明中辅助函数的多种作法[J].数学的实践与熟悉，2004，（10）；165-169.

[4]丁凯.微分中值定理在辅助函数构造中的应用初探[J].魅力中国.2010（4）:

47

[5]夏银红,王宝银Lagrange定理证明中辅助函数的构造[J].黄淮学院学报.

[6]惠存阳.对微分中值定理证明中辅助函数构造探讨[J].延安教育学报.1997

（2）:

26-27.

[7]同济大学应用数学系.高等数学（上册）[M].北京：

高等教育出版社，2002:

127-131.

[8]裴礼文.数学分析中的典型问题与方式[M].北京：

高等教育出版社，2006：

206-222.

[9]赵志云.微分中值定理教学的几点试探[J].阴山学刊，自然科学报.1998（12）:

72-73.

[10]曹金文.教学中如何培育学生