高考数学难点《函数中的综合问题》Word文档下载推荐.docx
《高考数学难点《函数中的综合问题》Word文档下载推荐.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高考数学难点《函数中的综合问题》Word文档下载推荐.docx(10页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
认真分析处理好各知识的相互联系,抓住条件f(x1+x2)=f(x1)·
f(x2)找到问题的突破口.
错解分析:
不会利用f(x1+x2)=f(x1)·
f(x2)进行合理变形.
技巧与方法:
由f(x1+x2)=f(x1)·
f(x2)变形为是解决问题的关键.
(1)解:
因为对x1,x2∈[0,],都有f(x1+x2)=f(x1)·
f(x2),所以f(x)=≥0,
x∈[0,1]
又因为f
(1)=f(+)=f()·
f()=[f()]2
f()=f(+)=f()·
又f
(1)=a>
∴f()=a,f()=a
(2)证明:
依题意设y=f(x)关于直线x=1对称,故f(x)=f(1+1-x),即f(x)=f(2-x),x∈R.
又由f(x)是偶函数知f(-x)=f(x),x∈R
∴f(-x)=f(2-x),x∈R.
将上式中-x以x代换得f(x)=f(x+2),这表明f(x)是R上的周期函数,且2是它的一个
周期.
(3)解:
由
(1)知f(x)≥0,x∈[0,1]
∵f()=f(n·
)=f(+(n-1))=f()·
f((n-1)·
)
=……
=f()·
f()·
……·
f()
=[f()]n=a
∴f()=a.
又∵f(x)的一个周期是2
∴f(2n+)=f(),因此an=a
∴
[例2]甲、乙两地相距S千米,汽车从甲地匀速驶到乙地,速度不得超过c千米/小时,已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成,可变部分与速度v(km/h)的平方成正比,比例系数为b,固定部分为a元.
(1)把全程运输成本y(元)表示为v(km/h)的函数,并指出这个函数的定义域;
(2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?
本题考查建立函数的模型、不等式性质、最值等知识,还考查学生综合运用所学数学知识解决实际问题的能力.
运用建模、函数、数形结合、分类讨论等思想方法.
不会将实际问题抽象转化为具体的函数问题,易忽略对参变量的限制条件.
四步法:
(1)读题;
(2)建模;
(3)求解;
(4)评价.
解法一:
(1)依题意知,汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为,全程运输成本为y=a·
+bv2·
=S(+bv)
∴所求函数及其定义域为y=S(+bv),v∈(0,c.
(2)依题意知,S、a、b、v均为正数
∴S(+bv)≥2S①
当且仅当=bv,即v=时,①式中等号成立.若≤c则当v=时,有ymin;
若>
c,则当v∈(0,c时,有S(+bv)-S(+bc)
=S[(-)+(bv-bc)]=(c-v)(a-bcv)
∵c-v≥0,且c>
bc2,∴a-bcv≥a-bc2>
∴S(+bv)≥S(+bc),当且仅当v=c时等号成立,也即当v=c时,有ymin;
综上可知,为使全程运输成本y最小,当≤c时,行驶速度应为v=,当>
c时行驶速度应为v=c.
解法二:
(1)同解法一.
(2)∵函数y=x+(k>
0),x∈(0,+∞),当x∈(0,)时,y单调减小,当x∈(,+∞)时y单调增加,当x=时y取得最小值,而全程运输成本函数为y=Sb(v+),v∈(0,c.
∴当≤c时,则当v=时,y最小,若>
c时,则当v=c时,y最小.结论同上.
●锦囊妙计
在解决函数综合问题时,要认真分析、处理好各种关系,把握问题的主线,运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决,尤其是注意等价转化、分类讨论、数形结合等思想的综合运用.综合问题的求解往往需要应用多种知识和技能.因此,必须全面掌握有关的函数知识,并且严谨审题,弄清题目的已知条件,尤其要挖掘题目中的隐含条件.
●歼灭难点训练
一、选择题
1.(★★★★)函数y=x+a与y=logax的图象可能是()
2.(★★★★★)定义在区间(-∞,+∞)的奇函数f(x)为增函数,偶函数g(x)在区间[0,+∞)的图象与f(x)的图象重合,设a>
b>
0,给出下列不等式:
①f(b)-f(-a)>
g(a)-g(-b)②f(b)-f(-a)<
g(a)-g(-b)③f(a)-f(-b)>
g(b)-g(-a)④f(a)-f(-b)<
g(b)-g(-a)
其中成立的是()
A.①与④B.②与③C.①与③D.②与④
二、填空题
3.(★★★★)若关于x的方程22x+2xa+a+1=0有实根,则实数a的取值范围是_________.
三、解答题
4.(★★★★)设a为实数,函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R.
(1)讨论f(x)的奇偶性;
(2)求f(x)的最小值.
5.(★★★★★)设f(x)=.
(1)证明:
f(x)在其定义域上的单调性;
方程f-1(x)=0有惟一解;
(3)解不等式f[x(x-)]<
.
6.(★★★★★)定义在(-1,1)上的函数f(x)满足①对任意x、y∈(-1,1),都有f(x)+f(y)=f();
②当x∈(-1,0)时,有f(x)>
求证:
7.(★★★★★)某工厂拟建一座平面图(如下图)为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池,由于地形限制,长、宽都不能超过16米,如果池外周壁建造单价为每米400元,中间两条隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计,且池无盖).
(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(米)的函数关系式,并指出其定义域.
(2)求污水处理池的长和宽各为多少时,污水处理池的总造价最低?
并求最低总造价.
8.(★★★★★)已知函数f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上有定义,且在(0,+∞)上是增函数,f
(1)=0,又g(θ)=sin2θ-mcosθ-2m,θ∈[0,],设M={m|g(θ)<
0,m∈R},N={m|f[g(θ)]<
0},求M∩N.
[学法指导]怎样学好函数
学习函数要重点解决好四个问题:
准确深刻地理解函数的有关概念;
揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系;
把握数形结合的特征和方法;
认识函数思想的实质,强化应用意识.
(一)准确、深刻理解函数的有关概念
概念是数学的基础,而函数是数学中最主要的概念之一,函数概念贯穿在中学代数的始终.数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等是以函数为中心的代数.近十年来,高考试题中始终贯穿着函数及其性质这条主线.
(二)揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系.函数是研究变量及相互联系的数学概念,是变量数学的基础,利用函数观点可以从较高的角度处理式、方程、不等式、数列、曲线与方程等内容.在利用函数和方程的思想进行思维中,动与静、变量与常量如此生动的辩证统一,函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式.
所谓函数观点,实质是将问题放到动态背景上去加以考虑.高考试题涉及5个方面:
(1)原始意义上的函数问题;
(2)方程、不等式作为函数性质解决;
(3)数列作为特殊的函数成为高考热点;
(4)辅助函数法;
(5)集合与映射,作为基本语言和工具出现在试题中.
(三)把握数形结合的特征和方法
函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合,有效地揭示了各类函数和定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性,体现了数形结合的特征与方法,为此,既要从定形、定性、定理、定位各方面精确地观察图形、绘制图形,又要熟练地掌握函数图象的平移变换、对称变换.
(四)认识函数思想的实质,强化应用意识
函数思想的实质就是用联系与变化的观点提出数学对象,抽象数量特征,建立函数关系,求得问题的解决.纵观近几年高考题,考查函数思想方法尤其是应用题力度加大,因此一定要认识函数思想实质,强化应用意识.
参考答案
难点磁场
令x=y=0,得f(0)=0
令y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x),即f(-x)=-f(x)
∴f(x)是奇函数
(2)解:
1°
任取实数x1、x2∈[-9,9]且x1<x2,这时,x2-x1>
0,f(x1)-f(x2)=f[(x1-x2)+x2]-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x1)=-f(x2-x1)
因为x>
0时f(x)<0,∴f(x1)-f(x2)>
∴f(x)在[-9,9]上是减函数
故f(x)的最大值为f(-9),最小值为f(9).
而f(9)=f(3+3+3)=3f(3)=-12,f(-9)=-f(9)=12.
∴f(x)在区间[-9,9]上的最大值为12,最小值为-12.
歼灭难点训练
一、1.解析:
分类讨论当a>
1时和当0<a<1时.
答案:
C
2.解析:
用特值法,根据题意,可设f(x)=x,g(x)=|x|,又设a=2,b=1,
则f(a)=a,g(a)=|a|,f(b)=b,g(b)=|b|,f(a)-f(b)=f
(2)-f(-1)=2+1=3.
g(b)-g(-a)=g
(1)-g(-2)=1-2=-1.∴f(a)-f(-b)>
g
(1)-g(-2)=1-2=-1.
又f(b)-f(-a)=f
(1)-f(-2)=1+2=3.
g(a)-g(-b)=g
(2)-g
(1)=2-1=1,∴f(b)-f(-a)=g(a)-g(-b).
即①与③成立.
二、3.解析:
设2x=t>
0,则原方程可变为t2+at+a+1=0①
方程①有两个正实根,则
解得:
a∈(-1,2-2.
(-1,2-2
三、4.解:
(1)当a=0时,函数f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x),此时f(x)为偶函数;
当a≠0时,f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,f(-a)≠f(a),f(-a)≠-f(a).此时函数f(x)既不是奇函数也不是偶
函数.
(2)①当x≤a时,函数f(x)=x2-x+a+1=(x-)2+a+,若a≤,则函数f(x)在(-∞,a上单调递减,从而,函数f(x)在(-∞,a上的最小值为f(a)=a2+1.
若a>
则函数f(x)在(-∞,a上的最小值为f()=+a,且f()≤f(a).
②当x≥a时,函数f(x)=x2+x-a+1=(x+)2-a+;
当a≤-时,则函数f(x)在[a,+∞上的最小值为f(-)=-a,且f(-)≤f(a).若a>
-,则函数f(x)在[a,+∞)上单调递增,从而,函数f(x)在[a,+∞]上的最小值为f(a)=a2+1.
综上,当a≤-时,函数f(x)的最小值是-a,当-<a≤时,函数f(x)的最小值是a2+1;
当a>
时,函数f(x)的最小值是a+.
5.
(1)证明:
由得f(x)的定义域为(-1,1),易判断f(x)在(-1,1)内是减函数.
∵f(0)=,∴f--1()=0,即x=是方程f--1(x)=0的一个解.若方程f--1(x)=0还有另一个