中考数学平移与几何探究有答案Word文档下载推荐.docx
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点、线、面
⑵我们知道线可以看作是由许多点构成的，给出一条线段和它平移后的一个端点的位置，你能否作出它平移后的图形呢？
在进行平移作图时，要知道平移的距离和方向，利用平移的相关性质（如：
平移不改变图形的大小和形状等）作图，要找出图形的关键点．
⑶平移作图：
确定一个图形平移后的位置所需条件为：
①图形原来的位置；
②平移的方向；
③平移的距离．
４．平移变换的方法应用
⑴平移变换时通过作平行线的手段把图形中的某条线段或某个角移动到一个新的位置上，使图形中分散的条件与结论有机地联系起来．
⑵平移法在应用时有三种情况：
①平移条件：
把条件中的某条线段或角平移；
②平移结论：
把结论中的线段或角平移；
③同时平移条件或结论：
是把图形中条件或结论中的线段或角同时平移．
5．平移变换的主要功能：
把分散的线段、角相对集中起来，从而使已知条件集中在一个基本图形之中，而产生进一步的更加深入的结果，这种思想我们称之为“集散思想”．或者通过平移产生新的图形，而使问题得以转化．
应用平移变换可以把一个角在保持大小不变、角的两边方向不变的情况下移动位置．也可以使线段在保持平行且相等的条件下移动位置，从而达到相关几何元素相对集中、使元素之间的关系明朗化的目的．因为应用平移变换可以把角在保持大小不变、角的两边方向不变的情况下移动位置，也可以使线段在保持平行且相等的条件下移动位置，因此，当条件中有平行四边形、中点、中位线等情形时，常常可以作平移变换以集中条件、解决问题．
题型一：
作平行线构造平行四边形
题型说明：
涉及平移变换的几何证明题基本思想是构造平行四边形，转化线段之间的数量与位置关系，而辅助线多以作平行线的形式出现。
【例1】在中，，的延长线上截取，，有．
求证：
．
【答案】如图过作，过作,、交于点连接
∵，，∴为平行四边形，∴，
∵，，∴．
∵．∴．
∴在与中．
，∴
∴，∴为等边三角形．
∵，∴，
设．∴，，
∵又有，∴有，∴，
∴．
【例2】是平行四边形内的一点，且，求证：
【答案】过点作且，连接、
则易证四边形、为平行四边形
则，，，
∵∴∴点、、、四点共圆，则
∴
【例3】如图，的三条中线长分别为、、，则
【答案】过点作，交的延长线于点
易证，且，，
∵、、
∴，且
则，则
【例4】在中，点为的中点．
⑴如图1，求证：
；
⑵延长到，使得，延长到，使得，连结．
①如图2，连结，若，请你探究线段与线段之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明；
②请在图3中证明：
【答案】⑴略
⑵方法不唯一，只给出参考答案
①在上取一点，使得，连接、、
易证为等边三角形，四边形为平行四边形
则点、、共线，且，易证,则
②过点作且，连接、
易证四边形为平行四边形，
∴，∴，则
【例5】如图所示，在中，，为上的一点，且；
为上的一点，且．连接、交于点，求证：
【答案】如图所示，过点作且使．连接，则为平行四边形，
所以，．又因为，
连接，则，故．而，
因此，则，，
所以为等腰直角三角形．因为，故．
【例6】在中，，、分别为、延长线上的点，与的交点为
（1）若，，在图1中画出符合题意的图形，并直接写出的度数
（2）若，，求的度数
题型二：
构造中位线
涉及中点的时候，除了“倍长中线”，还有“中位线”，中位线不仅转化线段之间的“位置关系”，还转化了线段之间的“数量关系”。
【例7】我们给出如下定义：
有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形．请解答下列问题：
⑴写出一个你所学过的特殊四边形中是等邻角四边形的图形的名称；
⑵如图1，在中，，点在上，且，点、分别为、的中点，连接并延长交于点．求证：
四边形是等邻角四边形；
⑶如图2，若点在的内部，⑵中的其他条件不变，与交于点．图中是否存在等邻角四边形，若存在，指出是哪个四边形，不必证明；
若不存在，请说明理由．
【答案】⑴等腰梯形
⑵取的中点，连接,
易证，，且，
易证为等腰三角形，∴
∴，∴四边形是等邻角四边形
⑶图中存在等邻角四边形，四边形是等邻角四边形
取的中点，连接、，同理可证是等腰三角形
则，∴
∴四边形是等邻角四边形
题型三：
还原构造---平移
本类型题见的比较少，基本思想是利用平移变换，将图形还原构造，利用原有图形的基础，解决问题。
【例8】已知，正方形的边长为1，两直线，与之间的距离为1，、与正方形的边总有交点．
（1）如图1，当于点，交边、分别于、时，求的周长；
（2）把图1中的与同时向右平移，得到图2，问与的周长的和是否随的变化而变化，若不变，求出与的周长的和；
若变化，请说明理由；
（3）把图2中的正方形饶点A逆时针旋转，得到图3，问与的周长的和是否随的变化而变化，若不变，求出与的周长的和；
若变化，请说明理由．
（第25题图1）（第25题图2）（第25题图3）
【答案】
（1）如图1，正方形的边长为1，
又直线//直线，与之间的距离为1．
∴的周长为．
（2）与的周长的和不随的变化而变化．
如图2，把、向左平移相同的距离，使得过A点，
即平移到，平移到，过、分别做的垂线，
垂足为，．可证．
∴，，，．
∴与的周长的和为的周长，
由已知可计算的周长为2，
∴与的周长的和为2．
（3）与的周长的和不随的变化而变化．
如图3，把、平移相同的距离，使得过点，
垂足为，．过做做的垂线，垂足为．
可证，
∴与的周长的和为的周长．
如图4，过做的垂线，垂足为．连接、．
可证，∴，．
∴的周长为
题型四：
平移与等腰三角形
有的题型是利用平移变换的思想解决问题，有的题型仅仅跟平移有关，但是解决问题的关键并不在平移，下面的这道题就是这样的题
【例9】在中，，交的延长线于点．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为，一条直角边与边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点．
⑴在图1中请你通过观察、测量与的长度，猜想并写出与满足的数量关系，然后证明你的猜想；
⑵当三角尺沿方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与边在同一直线上，另一条直角边交边于点，过点作于点．此时请你通过观察、测量、与的长度，猜想并写出与之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；
⑶当三角尺在⑵的基础上沿方向继续平移到图3所示的位置（点在线段上，且点与点不重合）时，⑵中的猜想是否仍然成立？
（不用说明理由）
【答案】⑴，证明即可
⑵∵∴∴
∵∴
⑶结论依然成立
【例10】⑴如图1，已知矩形中，点是上的一动点，过点作于点，于点，于点，试证明;
⑵若点在、的延长线上，如图2，过点作于点，的延长线于点，于点，则、、三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；
⑶如图3，是正方形的对角线,在上，且，连结，点是上任一点，于点，于点，猜想、、之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；
【答案】略，请参考例7
题型五：
与“竞赛”有关的平移问题
就北京中考数学试题而言，所出的题型还是非常灵活，2010，2011年两年的中考试题中，都出现了由竞赛试题改编而来，因此有必要让学生了解一些。
【例11】在六边形中，，，，对边之差
．求证：
六边形的各内角均相等．
【答案】题设条件中有三组对边平行，且这三组对边之差相等，要证明六边形各内角相等，也就是都等于，为此，我们可以设法创造出角，这使我们想到通过平移构造出一个等边三角形来进行求解．平移线段到，平移线段到，平移线段到，如图所示，得到．易知，，．
由于，所以，
即是等边三角形，．
故．
同理，，
所以六边形的各内角均相等．
【例12】如图所示，一个六边形的六个内角都是，连续四边的长依次是、、、，则该六边形的周长是多少？
（方法1）：
如图所示，由于六边形的内角都是，易知，，．
把、、分别平移至、、，可得等边，
其边长．
在此基础上可求得、的长，进而求得六边形的周长：
，
故六边形的周长是．
（方法2）：
如图所示，将六边形补全为等边．
易得的边长为，
则，，
【例13】如图所示，设是矩形，为矩形所在平面上的一点，连接与均与相交．由点向直线引垂线，由点向直线引垂线，二垂线相交于，求证．
【答案】如图所示，设和分别是由点和向直线和所作的垂线，和为垂足．
分别平移和，使点移到点，点移到点，此时点移到点．
此时，，．
由于，，
所以．
又由于，，
于是线段和分别位于的两条高线之上，
从而点是的垂心，则．
又因为，所以、都在从点向所作的垂线上，
因此与所在的直线重合，故，即．
【例14】如图，梯形中，，以两腰，为一边分别向两边作正方形和，连接的垂直平分线交线段于点．求证：
点为的中点．
【答案】过、分别作的垂线，交于于．
如图，是之中点，过作交于，作交于，作交于，作交于．
在和中，有．
所以有．
又由，知．
从而得．
同理可知，而得，即有．
显然，，，又，
所以．从而有．
应知，四边形是平行四边形，其对角线互相平分，所以是的中点．
【例15】（第二届拉丁美洲数学奥林匹克竞赛试题）设、分别是凸四边形的边、上的点，且，求证：
直线与之间的夹角等于直线与之间的夹角．
【解析】法1：
要求证夹角相等，而题目中的线段太分散，我们尝试将线段进行集中．
如图所示，将平移至的位置，则，且．
过点作的平行线交于点，则，
因而由三角形的角平分线的判定定理可知平分．
另一方面，由及可知，
而，且，故，且，于是．
而，注意到平分，即得．
这就是说，直线与之间的夹角等于直线与之间的夹角．
法2连接，过点作，交于点．连接，由可知．
注意到，，
只要再证明、即即可．
注意到①，②，
①÷
②可得，
而，故．
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