学年高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数第3课时函数的奇偶性与周期性教案docdoc文档格式.docx

学年高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数第3课时函数的奇偶性与周期性教案docdoc文档格式.docx

《学年高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数第3课时函数的奇偶性与周期性教案docdoc文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《学年高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数第3课时函数的奇偶性与周期性教案docdoc文档格式.docx（17页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

（1）偶函数图像不一定过原点，奇函数的图像一定过原点.（　×

　）

（2）若函数y＝f（x＋a）是偶函数，则函数y＝f（x）关于直线x＝a对称.（　√　）

（3）函数f（x）在定义域上满足f（x＋a）＝－f（x），则f（x）是周期为2a（a>

0）的周期函数.（　√　）

（4）若函数y＝f（x＋b）是奇函数，则函数y＝f（x）关于点（b,0）中心对称.（　√　）

（5）如果函数f（x），g（x）为定义域相同的偶函数，则F（x）＝f（x）＋g（x）是偶函数.（　√　）

（6）若T是函数的一个周期，则nT（n∈Z，n≠0）也是函数的周期.（　√　）

1.（2015·

福建）下列函数为奇函数的是（　　）

A.y＝B.y＝|sinx|

C.y＝cosxD.y＝ex－e－x

答案　D

解析　对于D，f（x）＝ex－e－x的定义域为R，f（－x）＝e－x－ex＝－f（x），故y＝ex－e－x为奇函数.

而y＝的定义域为{x|x≥0}，不具有对称性，故y＝为非奇非偶函数.y＝|sinx|和y＝cosx为偶函数.故选D.

2.已知函数f（x）＝则该函数是（　　）

A.偶函数，且单调递增B.偶函数，且单调递减

C.奇函数，且单调递增D.奇函数，且单调递减

答案　C

解析　作出函数f（x）＝的图像，由图像可知此函数为奇函数，且在（－∞，＋∞）上单调递增.

3.（2015·

天津）已知定义在R上的函数f（x）＝2|x－m|－1（m为实数）为偶函数，记a＝f（log0.53），b＝f（log25），c＝f（2m），则a，b，c的大小关系为（　　）

A.a＜b＜cB.c＜a＜b

C.a＜c＜bD.c＜b＜a

答案　B

解析　由函数f（x）＝2|x－m|－1为偶函数，得m＝0，

所以f（x）＝2|x|－1，当x＞0时，f（x）为增函数，

log0.53＝－log23，

所以log25＞|－log23|＞0，

所以b＝f（log25）＞a＝f（log0.53）＞c＝f（2m）＝f（0），

故选B.

4.（2014·

天津）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1）时，f（x）＝则f（）＝________.

答案　1

解析　函数的周期是2，

所以f（）＝f（－2）＝f（－），

根据题意得f（－）＝－4×

（－）2＋2＝1.

5.（教材改编）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x（1＋x），则x<

0时，f（x）＝________.

答案　x（1－x）

解析　当x<

0时，则－x>

0，

∴f（－x）＝（－x）（1－x）.

又f（x）为奇函数，

∴f（－x）＝－f（x）＝（－x）（1－x），

∴f（x）＝x（1－x）.

题型一　判断函数的奇偶性

例1　判断下列函数的奇偶性：

（1）f（x）＝x3－x；

（2）f（x）＝（x＋1）；

（3）f（x）＝

解　

（1）定义域为R，关于原点对称，

又f（－x）＝（－x）3－（－x）＝－x3＋x＝－（x3－x）

＝－f（x），

∴函数为奇函数.

（2）由≥0可得函数的定义域为（－1,1].

∵函数定义域不关于原点对称，

∴函数为非奇非偶函数.

（3）当x>

0时，－x<

0，f（x）＝－x2＋x，

∴f（－x）＝（－x）2－x＝x2－x

＝－（－x2＋x）＝－f（x）；

当x<

0时，－x>

0，f（x）＝x2＋x，

∴f（－x）＝－（－x）2－x＝－x2－x

＝－（x2＋x）＝－f（x）.

∴对于x∈（－∞，0）∪（0，＋∞），

均有f（－x）＝－f（x）.

思维升华　

（1）利用定义判断函数奇偶性的步骤：

（2）分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围取相应的解析式化简，判断f（x）与f（－x）的关系，得出结论，也可以利用图像作判断.

（1）同时满足以下两个条件：

①定义域内是减函数；

②定义域内是奇函数的函数是（　　）

A.f（x）＝－x|x|B.f（x）＝x3

C.f（x）＝sinxD.f（x）＝

（2）函数f（x）＝loga（2＋x），g（x）＝loga（2－x）（a>

0且a≠1），则函数F（x）＝f（x）＋g（x），G（x）＝f（x）－g（x）的奇偶性是（　　）

A.F（x）是奇函数，G（x）是奇函数

B.F（x）是偶函数，G（x）是奇函数

C.F（x）是偶函数，G（x）是偶函数

D.F（x）是奇函数，G（x）是偶函数

答案　

（1）A　

（2）B

解析　

（1）A中，f（x）＝由函数性质可知符合题中条件，故A正确；

B中，对于比较熟悉的函数f（x）＝x3可知不符合题意，故B不正确；

C中，f（x）＝sinx在定义域内不具有单调性，故C不正确；

D中，定义域关于原点不对称，故D不正确.故选A.

（2）F（x），G（x）定义域均为（－2,2），

由已知F（－x）＝f（－x）＋g（－x）＝loga（2－x）＋loga（2＋x）＝F（x），

G（－x）＝f（－x）－g（－x）＝loga（2－x）－loga（2＋x）＝－G（x），

∴F（x）是偶函数，G（x）是奇函数.

题型二　函数的周期性

例2　

（1）设f（x）是定义在R上的周期为3的函数，当x∈[－2，1）时，f（x）＝则f等于（　　）

A.0B.1C.D.－1

（2）已知f（x）是定义在R上的偶函数，并且f（x＋2）＝－，当2≤x≤3时，f（x）＝x，则f（105.5）＝______.

答案　

（1）D　

（2）2.5

解析　

（1）因为f（x）是周期为3的周期函数，

所以f＝f＝f＝4×

2－2＝－1.故选D.

（2）由已知，可得f（x＋4）＝f[（x＋2）＋2]

＝－＝－＝f（x）.

故函数的周期为4.

∴f（105.5）＝f（4×

27－2.5）＝f（－2.5）＝f（2.5）.

∵2≤2.5≤3，由题意，得f（2.5）＝2.5.

∴f（105.5）＝2.5.

思维升华　

（1）函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质.对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值.

（2）函数周期性的三个常用结论：

①若f（x＋a）＝－f（x），则T＝2a，

②若f（x＋a）＝，则T＝2a，

③若f（x＋a）＝－，则T＝2a（a>

0）.

　设函数f（x）（x∈R）满足f（x＋π）＝f（x）＋sinx.当0≤x<

π时，f（x）＝0，则f＝____.

答案　

解析　∵f（x＋2π）＝f（x＋π）＋sin（x＋π）＝f（x）＋sinx－sinx＝f（x），∴f（x）的周期T＝2π，

又∵当0≤x<

π时，f（x）＝0，∴f＝0，

即f＝f＋sin＝0，

∴f＝，∴f＝f＝f＝.

题型三　函数性质的综合应用

命题点1　函数奇偶性的应用

例3　

（1）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）－g（x）＝x3＋x2＋1，则f

（1）＋g

（1）等于（　　）

A.－3B.－1C.1D.3

（2）（2015·

课标全国Ⅰ）若函数f（x）＝xln（x＋）为偶函数，则a＝________.

答案　

（1）C　

（2）1

解析　

（1）因为f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，所以f

（1）＋g

（1）＝f（－1）－g（－1）＝（－1）3＋（－1）2＋1＝1.故选C.

（2）f（x）为偶函数，则ln（x＋）为奇函数，

所以ln（x＋）＋ln（－x＋）＝0，

即ln（a＋x2－x2）＝0，∴a＝1.

命题点2　单调性与奇偶性、周期性结合

例4　

（1）（2015·

石家庄一模）已知f（x）是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f

（1）<

1，f（5）＝，则实数a的取值范围为（　　）

A.（－1,4）B.（－2,0）

C.（－1,0）D.（－1,2）

（2）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x－4）＝－f（x），且在区间[0,2]上是增函数，则（　　）

A.f（－25）<

f（11）<

f（80）

B.f（80）<

f（－25）

C.f（11）<

f（80）<

D.f（－25）<

f（11）

答案　

（1）A　

（2）D

解析　

（1）∵f（x）是定义在R上的周期为3的偶函数，

∴f（5）＝f（5－6）＝f（－1）＝f

（1），

∵f

（1）<

1，f（5）＝，∴<

1，即<

解得－1<

a<

4，故选A.

（2）∵f（x）满足f（x－4）＝－f（x），

∴f（x－8）＝f（x），∴函数f（x）是以8为周期的周期函数，则f（－25）＝f（－1），

f（80）＝f（0），f（11）＝f（3）.

由f（x）是定义在R上的奇函数，

且满足f（x－4）＝－f（x），

得f（11）＝f（3）＝－f（－1）＝f

（1）.

∵f（x）在区间[0,2]上是增函数，

f（x）在R上是奇函数，

∴f（x）在区间[－2,2]上是增函数，

∴f（－1）<

f（0）<

f

（1），

即f（－25）<

f（11）.

思维升华　

（1）关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题.

（2）掌握以下两个结论，会给解题带来方便：

①f（x）为偶函数⇔f（x）＝f（|x|）.②若奇函数在x＝0处有意义，则f（0）＝0.

（1）若f（x）＝ln（e3x＋1）＋ax是偶函数，则a＝________.

（2）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x>

0时，f（x）＝x2－4x，则不等式f（x）>

x的解集用区间表示为________________.

答案　

（1）－　

（2）（－5,0）∪（5，＋∞）

解析　

（1）函数f（x）＝ln（e3x＋1）＋ax是偶函数，故f（－x）＝f（x），即ln（e－3x＋1）－ax＝ln（e3x＋1）＋ax，化简得ln＝2ax＝lne2ax，即＝e2ax，整理得e3x＋1＝e2ax＋3x（e3x＋1），所以2ax＋3x＝0，解得a＝－.

（2）∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）＝0.

又当x<

0，∴f（－x）＝x2＋4x.

又f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x），

∴f（x）＝－x2－4x（x<

0），

∴f（x）＝

①当x>

0时，由f（x）>

x得x2－4x>

x，解得x>

5；